Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 89
Текст из файла (страница 89)
5. [231. Оценка числа решений уравнения (6.10) при условии, что некоторые переменные х, имеют заранее заданные порядки в группе К', получена Карлицом [Саг!1[г [371, 157!). Тот частный случай уравнения (6.10), когда все показатели йг совпадают, привлек внимание главным образом в связи с проблемой Варинга представления чисел суммами данного числа и-х степеней. Рекуррентные формулы для числа решений такого уравнения были получены Лебегом (1еЬездие [11) и Халлом (Ни]1 [1]). Сегре (Веяге [!01, [11]) при изучении таких уравнений применял геометрический подход. О дальнейших результатах см. 01с]гзоп [46], [471, [48], Нц]1 [11, Муегзоп [21, [31, ]Ч[!11- абаз К.
5. 117] и Демьянов 11]. Случай, когда' все й; равны 3, рассмотрен в статьях СЬож]а, Сом 1ез, Сочг]ез 111, Муегзоп [11, 5ейге [101 и %1!1[агни К. Я. [11, о случае, когда все й, равны 4, см. Муегзоп 1! 1 и Веяге [101, когда все й; равны 5, см. НауазЬ] 111 и Яеяге [101 и, когда все /г; = 7, см.
Веяге [101. Случай, когда уравнение (6.10) рассматривается над полем Г,* и общее значение всех й, является делителем числа д + 1, рассмотрен Карлицом (Саг!1[г [71!), О связи с проблемой Варинга см. Нагбу, ].11- 11еюооб [3], [4], а также АуоцЬ [1, сЬ. 4], ЕИ]зоп [! ], Ниа [9, сЬ. 81, Нпз1оп [11, К]ооз[еггпап [41, Еапбап [2, раг1 Ч11, 14], 5[еде1 [21 и ЧапяЬап К. С. [1, сЬ. 21. Результат, полученный в примере 6.38, по существу принадлежит Смоллу (5та11 [21). Согласно замечанию 6.25, каждый элемент поля ]г можно представить как сумму двух квадратов. За исключением случаев д = 4 и 7, каждый элемент поля Г„можно представить также в виде суммы двух кубов; см.
5[го!егй [31 и Наде!1 111 для случая простого д и 5]пдЬ [41 для общего случая. Существуют примеры, когда некоторые элементы поля ие могут быть представлены в виде суммы какого бы то ни было числа й-х степеней, поскольку все суммы й-х степеней могут содержаться в каком-либо собственном подполе поля и». Так, если д = р', где р — простое число, то необходимым и достаточным условием представимости каждого элемента [г', в виде суммы л-х степеней является отсутствие у числа й делителей вида (д— — 1)7(рл — 1), где Й вЂ” собственный делитель числа е или 1. Это было доказано в статье ТогпЬепп [1] для простого числа й и в статье ВЬаз]гагап [1] для произвольного натурального числа ~; см.
также Апдегзоп [11 и 3о]у [1], [5]. Лроблема Варинип состоит в нахождении наименьшего числа д (й, р) из натуральных чисел п, таких, что любой элемент поля ]Тр можно представить в виде суммы из а й-х степеней. Эта проблема становится тривиальной, если е] = НОд (й, р — 1) ) (р — 1)[2. для г[ < (р— 26 зе . ггг 402 Гл. 6. Уравнения над коиечнымн нолямн — !)72 Харди и Литтлвуд (Наг|(у, [.!Шешоос$ [4 1) показали, что д(К р) < lг; см.
также СЬо|н(а, Мапп, 5!гана [1), Р!синоп [47],: Зо(у [51, Ьапбан (2, ра|1 У!1 и ТогпЬепп [(1 о близких к этому '., результатах. Первая оценка вида д (й, р) = О (й') с показателем ' с < 1 была получена в работе СЬочч(а 1. (41. В статье Ро|(зоп [2) к эта оценка улучшена до показателя с =- 7,'8, в работе; Т!е1ана!пеп (131 получено с = — 3/5 + н для любого е ) О, и,, наконец, в статье Ро|(зоп, Т!е1ача!пеп 111 показано,, что в предположении е[ < (р — !)/2 всегда выполняется оценка д (й, р) = О (йпа ((од й)'). Последняя оценка является наилуч- 'З шей возможной в том смысле, что в той же самой статье построено: бесконечное семейство натуральных чисел й, таких, что 4 д(й, р) ) (~' Зй — !)|2 для некоторого р, удовлетворяющего не- !) равенству |! < (р — !)/2. Другие результаты о числе д(й, р);,, см.
в работах Вочеу (41 и 5|па!] [11, (31. Аналогичный вопрос для:,~ произвольных полей [['ч рассматривается в статьях БсЬжагг (51,':; 5(еш|п!ег (!1, Т!е1ача!пеп (61 и ТогпЬепп (1). Случай более об- | щих колец рассмотрен в статьях СЬ!пЬцгн (1) и Зо!у (11. В ра- 1' боте 0|(!уз(со, 81ап1еу (11 оценивается число подмножеств группы'7 Г', для которых сумма й-х степеней элементов равна заданному;;! элементу поля Кр. условия, при которых диагональное уравнение а,ха| + ...+ а„х„' = Ь с данными коэффициентами а; ~[['," имеет решении',; ,!р в [["," для любого Ь Е Кч, были получены в работах Ьапбан [2~:,,' раг! У!1, Р!сйзоп [47), Кес1е! (31 и СЬоче!а, Мапп, 8!гана [1$' для простого д и в работах ЯсЬчкагг [61, [81, (9), (!01 и Т!е.(, !ача|пеп [91 для общего случая, При Ь = 0 возникает вопрос';: о нетривиальной разрешимости этого уравнения.
Из следствия' 6.6 вытекает, что нетривиальное решение (т. е. для которого': не все ай равны 0) существует, если и ) й. Небольшие усилении' ': этого результата получены в статьях Р!с(своп 1471 (см. также'", Рачепро|1, [.еча!з (51, Росеч, Рппйгоч [!1 и .!о1у (51), Сгау [1]| '; (.еас!з (31 и Т!е!ача!пеп 191. Обозначим через 6 (й, р) наимены-:, шее нз натуральных чисел п, таких, что уравнение а,ха + ... ... + а„х„= 0 имеет нетривиальное решение в (Г" для любых а„... , а„Е Кр. Важным достижением стал результат С.
Човлы (СЬочк(а 5. (91, (15]), который показал, что для любого е ) О выполняется неравенство 6 (я, р) < (2 + е) (оиа й для достаточно больших простых чисел й. Аналогичный результат был установлен в статьях СЬоч|!а, БЬ!пшга (! ) и Т!е!ача!пеп [! ), 121 для всех достаточно больших нечетных чисел й. Верхняя граница для чисел 6 (й, р) порядка (она й была установлена Човлой (СЬоч!а $.
18), (101) при условии, что элемент — 1 является й-й степенью в поле Гр, этот результат был обобщен на случай про извольного поля (Г, в работах Т|е1ача!пеп (!1, 121 и Не!з!ет Комментарии (2]. В статье Т!е!ача!пеп [!!1 установлен наилучший возможный результат, а именно б (й, р) < (1 + н) 1одз й для всех достаточно больших нечетных чисел й. В статье Т!обзоп [21 показано, что 6(й, р) < йннз)~' для всех достаточно больших четных чисел й, не делящихся на р — 1, а в статье Т1е1ача!пеп [161 показатель улучшен до !!2 + е. Аналогичные исследования для кольца к/(р') были проведены в статьях Вочеу 111, [21, 131, СЬотч1а 5. [!51, СЬотч1а, 5Ь!шита (11, ь1ачепрог1, 1.етч!з [5], Подзон [1), [31, [4), Нагбу, 1!!!!етчоод [41, Нца [9, сЬ.
81, Нцз!оп 111, Ыог!оп [11 и Т!е!ача!пеп [121'). Примеры, когда уравнение пах) + ... + анхь = О над полем Кр не имеет решения (с„..., св) ~ Ц, где все с; отличны от О, можно найти в работах бедепЬацег (31 и Уапс(!чег 18], Нижние границы для числа элементов поля Кс, представимых в виде суммы азх" + ... а ю + анх„, получены в статье СЬотч!а, Мапп, Ягацз [11 (см.
также Мапп [3, сЬ. 21) для простого числа д и в статье Р!бегг!сЬ, Мапп (!] для произвольного поля ([',. В статьях 1еЬпег Е. [2] и Кар!ап [11 результаты о числе решений уравнения х| + ... + х„" = = Ь в ~р используются для исследования вопроса о вычетах и изучения законов взаимности; см. также %!1!!атз К. 5. [331. В статье Нос(нез [151 рассматривается уравнение в определителях вида а, бе! (Хз)ь+ ...
+ а„с(е! (Х„)' = 5, где Х„..., Մ— неизвестные матрицы одного и того же порядка над полем Гс. Теоремы 6.41 и 6.42 установлены в статьях Мог!ауе [11 и 3о!у 151. Метод их доказательства восходит к Лебегу (1еЬездце [11), который установил некоторые сравнения по модулю р для числа решений диагональных уравнений над простым полем ([' .
Дальнейшие результаты этого типа получены в статьях За[ау (31, (5! и Мог!ауе 1!1. Теорема 6.43 доказана Карлицом (Саг1Вг [65']), который обобщил результат Шварца (5сЬтчагг [6 1), полученный для случая, когда д — константа. Следствие 6.44 тоже было установлено Карлицом (Саг!!!г [651). Уравнения вида ~ (хз) + ... + !' (х„) = Ь Е (['„с произвольным многочлеиом ! над ([' рассматривались еще Дйксоном (О!с(сноп [47)); см. также Нца (21 н Нца, М!п [11. Случай кубического многочлена !' более подробно изучался в работах СЬеп! [11 и Нца [41, [51, 18!.
Уравнения вида 7, (х,) + ... + 1„(х„) = Ь Е )[' с произвольными многочленами 7"„..., 7'„над г' рассматривались в работах Саг!![г [43], СагИ1г, [.еьч!з, М!!!з, Ягацз (11 и Т!е!ача!пеп 1! 1, 12], [61, (7), а в работах Саг(йг, Согзоп [11, [21 рассматривался даже более общий случай, когда ~, являются многочленами ') См. также Карацуба (з*1, где выясняются условна разрешимости в кольце Хдрт) уравнения х, + ...
+ ха = а. — Прим. нерев. 26" Гл. 6. Уравнения над конечными полями от непересекающихся множеств переменных. Случай, когда /! —: некоторые рациональные функции, появляется в статьях Сага, !!12 [43[ и Вгеппег, Саг[!12 [1!. Системы двух диагональных уравнений исследовались в ра-,,' ботах Согзоп [1], Рауепрог1, ) еи!з [6), [7], Магйоугс [1], Браск.'" тап [1] и Т!е(ауа)пеп [8[. Более общие системы диагональных, уравнений были рассмотрены в статьях Ай)!(аг [1], Саг1116« ' Ъ'е!!з [1], 1)ауепрог1, [.ету!з [8!, Нна [9, сй.
11], [10], М[(т [1], йег[е! [7[, Брас[апап [1[, [2], Т!е1ача)пеп [1[, [2), [6], з 'ьт/е1!з [2], Карацуба [1], [2], Коробов [3), [7! и Линник [1], В статье Т!е1ауа!пеп [6) показано, что система уравнений,:: и ~„'а!ух/ — — О, ! =- 1,, /, над полем 1' имеет нетРивиальи 1=! решение в Ц для нечетного числа !/ = НОД (й, г/ — 1) > 1,':, если п > 2/ (1 + !оиз (с( — 1)). В статье Брас[сгпап [2 ] получены.",." результаты о распределении решений и о существовании «малыхв.,' решений для систем диагональных уравнений, В статьях Т)е1а--',,',.
уанпеп [1]„ !2], [6) рассматривались системы уравнений вид~'. и /ы (х,) = О, ! =- 1, ..., /, где /;, — многочлены над полем [['«,7 1=1 обладающие свойством /;, (0) = О, и получены условия сущест'.",„ вования нетривиального решения. Такие же системы над коль.~.
цом вычетов г/(р') рассматривались в работе чап с)ег Согрн1 [1]й[ О результате, полученном в упр. 6,72, и его обобщениях см,'«'. статьи Саг!!(з, Же!!з [1] и %еИз [2]. 9 4. Метод, описываемый в этом параграфе, развит С. А. Ста' пановым '), а усовершенствован н упрощен В. Шмидтом. 0 з представляет собой успешную попытку доказать элементарныМ: путем результаты А.
Вейля, который для той же цели использп~', вал изощренную технику алгебраической геометрии. Этот нето)й был впервые применен в статье Степанова [1[, где был доказа!й,' результат типа теоремы 6.53 для уравнения уз =- / (х) над прот етым полем Г с многочленом / нечетной степени (см. также Елистратов [6]по более позднем результате того же типа).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
