Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 85
Текст из файла (страница 85)
С) 6.62. Следствие. Пуств1 Е К (х) — многочлен степени и ) ) 1, причем НОЛ (п, с) = 1, й пусть Е = гч», где з Е Й. Тогда число Л( решений уравнения уе — у = ) (х) в Е' удовлетворяет неравенству ~ У вЂ” ~* ( < (у — 1) (и — 1) ум . Доказательство. Согласно теореме 2.25, для фиксированного элемента у ~ Е равенство ре — р = — 1" (у) выполняется при некотором р ~ Е в том и только том случае, когда Тге((р Д (у)) = е = — О.
Кроме того, если для элемента у ~ Е найдется такое()а ~ Е, что выполнЯетсЯ Равенство Рее — Р» = 1 (У), то сУЩествУет в общей сложности д элементов () ~ Е, удовлетворяющих условию ()е — () = ~ (у), причем все они имеют вид р = ()е + с, где с Е Таким образом, Ф = фЧ (О).
Остальное вытекает из теоремы 6.61. (:) 6.63. Пример. В качестве дальнейшего приложения метода, рассмотренного в этом параграфе, мы приведем доказательство теоремы 5.44 для нечетного а. Будем использовать обозначения из теоремы 5.43, и пусть Е = Ее». Тогда К(2(»~; а, Ь) = ~~ У(Тге1р (аУ+ЬУ ')) = ~~ М(с))((с), (6.37) тб е »6 к'е где М (с) — число элементов у Е Е*, таких, что ТгЕ(р. (ау+ Р + Ьу ') = с, Если ()а — фиксированный элемент поля Е, удовлетвоРЯющий РавенствУ Тге((г фе) = с, то, согласно теоРеме 2.25, равенство ТгЕ1(Г (ау + Ьу ') = — с выполняется в том и только том случае, когда ау + Ьу-' = 1)е — р + 1)е для некоторого (1 ~ Е, а это эквивалентно условию аут — (()е — () + + ре) у + Ь = О.
Пусть У вЂ” число решений уравнения ау'— — (хе — х + ()е) у + Ь = О в Е'. Тогда из доказательства следствия 6.62 можно получить, что тт' = вМ (с). При нечетном в очевидные выкладки показывают, что У является также числом решений ') уравнения у' = (хе — х + ре)т — 4аЬ = ) (х) в Е'. Так как ~' (х) = — 2 (хе — х + ре), то многочлен ): имеет лишь ') Так как уравнения Вэ = 7 (х») н аут — (х~~ — хо + ро) у+ Ь = О для х» 6 Е имеютвполе Епоодному решению, если((х») = О, подав, если /(х») — квадрат некоторого элемента иэ Е', и нн одного, если 1(х) не является квадратом в поле Е. — Прим. пеРе, 2о» Гл. б.
Уравнения иад конечными нолямн 3 простые корни (в силу теоремы 1.66, поскольку аб ~ О), Отсюда4 следует, что многочлен у' — 7 (х) абсолютно неприводим согласно" лемме 6.54. Поэтому из теоремы 6.57 получаем [ й! — д' [ < (24 — !) дм'. в Таким образом, если записать М (с) = д' — '+ )х (с) и вспом 1, нить, что М (с) == й[7д, то получим, что [)с (с) [ ( 2дм'.
Вместед с (6.37) и (5.9) это дает [К()[ы~; а, Ь)[=~ ~; (д-~+)7(с))~(с)~=! ~; )7(с)~(с)~ < 4 [ 6 !Ге ! [е61д [Я(с)[ (2д ды-', '6 [Г» так что по теореме 5.43 ~ го~ + оз' ~ < 24 д'~ . Поскольку это неравенство выполняется для всех а == 1, 2, ...,:й из леммы 6.55 получаем, что [ соз [ ( дп' для у =- 1, 2. Болей[4 того, в доказательстве теоремы 5.43 мы установили равенств[[~ С (г) = 1 + Кг + дга =- (1 — оцг) (1 — гонг), из которого, в частности, вытекает, что а,гоа = д. Таким образом' 5 ы [ — [ы [ цпг [:[': Комментарии $ !.
Первый важный результат о числе решений уравнений:.;", над конечными полями принадлежит Лагранжу (1аягапие [2[)1„л он состоит в том, что многочлен от одной переменной степени"„,' а ~ 0 над простым полем Гр имеет не более и корней. Это пред.'3 ложение справедливо, разумеется, для любого поля (см. теорему',1 1.66). Условия, при которых все п корней принадлежат основ-;:,,' ному полю Гч, получены Фейтом и Рисом (Ре!1, асеев [1!); см,' также 5сйопегпапп [2[, ТЬоцчепо[, СЬа1е[е1 [1[ и Шатуновскн4 ~ [1 ! для случая, когда и — простое число, а также комментарих[.", к Э 3 гл.
4. В статьях М!апов! [5[, [6 ! изучаются такие элементы!' Ь Е Кч, для которых многочлен ! (х) [ Ь Е Гч [х! имеет г[еИ (7); различных ненулевых корней в Кч. Теорема 6.1 доказана Кенигом, а первое опубликованное изложение появилось в статье [[ацззп![г [1[. Вскоре ее доказатель- . ства были получены Гегенбауэром (ОеиепЬацег [1[), Кронекером (Кгопес[гег [7 !) и Радошом (Кас[оз [1 !). Доказательства этой теоремы можно также найти в работах ОеяепЬапег [6[, [7! йег[е! [10, сЬ.
8 [, а также Таганка [! ! для частного случая. Близ,- кий результат, использующий вместо ранга циркулянтной мат;, рицы сумму всех ее главных миноров фиксированного порядка;, Коммеитарии установлен в статье Ребе!, Тцгап [11. Как обобщение теоремы Кенига — Радоша можно рассматривать формулы, полученные в работах Нога]точа, ВсЬтчагг 111 и 3сЬтиагг 1141, которые выражают число нормированных неприводимых делителей данной степени некоторого многочлена через ранги соответствующих матриц. В работах цацввп![г [1], Веяге [31, [41 и Ъ'ацйЬап Т.
Р. [11 показано, что через ранг циркулянтной матрицы можно выразить также число таких решений уравнения 7 (х) = О, 7 Е ][и [х[, которые являются т-ми степенями элементов из Ц. Гегенбауэр (ОеяепЬацег [41) получил аналогичное выражение для числа общих ненулевых корней двух многочленов. Вопрос же о существовании общих корней двух многочленов можно решить с помощью теории результантов (см.
э 4 гл. 1); в связи с этим см. также цае[ов [31 и Уой1, Вове [1]. Гегенбауэр (ОеяепЬапег [2]) использовал результанты в формулах для числа общих ненулевых корней двух многочленов, а также для числа различных ненулевых корней одного многочлена над простым полем Гр[ см. также Оге [11. Другие типы формул для числа решений полиномиального уравнения 7" (х) = 0 в конечном простом поле см. в статьях Ве!!тап 111 и Сагаси [11. Оре (Оге [71) указал оценку для числа решений в поле Гр уравнения а, + а,х + ... ...+ ар ехи ' = О, коэффициенты которого удовлетворяют некоторому линейному рекуррентному соотношению.
Для г ~ Гч 1х] число тт' решений уравнения 7' (х) = 0 в поле Г, можно определить по модулю характеристики р поля Гч с помощью следующего простого закона, найденного Лебегом (1 еЬевяце [11): У = ~ [1 — )'(с)е — '1 (пюс1 р). 'Е [Ге Этот прием был затем развит в работах С!ро!1а [31, Р1с[твоп [191 и Нцгъп[г [11. Другой подход был применен Шварцом (ЯсЬтчагг [3]), который показал, что если 7" — нормированный многочлен без кратных сомножителей, то Ф = Тг (В) (глод р), где Тг (В) обозначает след матрицы В = (Ьы), определенной выражением (4.4).
Зтот метод обобщен в статье Шварца 3сЬтчагг [13]; см. также комментарии к ~ 1 гл. 4. Сравнение по модулю р для числа Ф получено также в статье М1япов[ [71. Сравнения по модулю р для числа общих корней конечного множества многочленов, которые не являются корнями никакого многочлена из другого конечного множества многочленов, можно найти в статье М[япов! ! 31. Много результатов о числе решений уравнения 7" (х) = 0 получено для различных специальных классов многочленов Г. Так, о кубических многочленах 7' и многочленах 7' четвертой степени см. работы Вове, СЬотч]а, Као [31, СагИг [1031, Сагаев, Гл. 6.
Уравнении над конечными полями Ь!гапон(с! [!1, Согдопе 111, Исйзоп [40, сп. 8], 1еопаг<1 (3], (41,' М!гппапоН 1(1, О((гагпаге 1! ], йег(е! (5], (61, ((О, сй. (!1,~' Ьсптчагх 131, берге [(01, 8(го(еш ! (1, [2], [41, Т(1оцчепо! ((1,; Тпоптепо[, С(та!е!е! [! ), Вороной [(, гл. 11, (21 и Гребенюк (21.,:; Особенно простым является случай, когда 7' — двучлен; для про-( извольного конечного поля Гч он был рассмотрен Дедекиндом ([)еде(г(пд ((1), но для простых конечных полей он привлек' внимание исследователей значительно раньше (см.
обширную[ библиографию в книге Ис(гзоп [40, с(1. 7]). Относительно трех-,,', членов см. 1еопагг( (21, (лапп ((1, Вериге [(О] и Ч((апоъа [1],' О линеаризованных и аффинных многочленах 7' см. Вег(е(гатр" [4, с(1. ! ! ], [.(апд [! ), Бепге (!О) и Ъ((апона 1(1. Карлиц (Саг-,' 1Вг [1!8)) доказал, что для 4 > и, > йа » ...
й, ) ! сущест-,'~ вуют элементы а,, ..., а, ~ Гч, такие, что многочлен а,х' + „..,' и + а,х а + ! имеет по крайней мере з различных корней в поле [Гч,: Леонард (Беопагб [(1) получил с помощью доказательства из'"„ работы В(гс(1, Би(ппег!оп-Оуег (!1 асимптотическую формулу' для числа элементов б ~ Г,, таких, что многочлен 7'(х) + [1: имеет заранее заданное число корней в поле Гч, в предположении, '., что 7' является многочленом определенного вида. В статье Юп(!е-", шап (41 устанавливается зависимость между квадратичным раз*,"~ биением простого числа р и числом решений квадратного н кубиче;, ского уравнений над полем (гр.
Методы отыскания корней много-й членов рассматриваются в 9 3 гл. 4, Следствия 6.6 и 6.9 принадлежат Шевалле (С(зета((еу (! )),,! тогда как усиления, содержащиеся в теоремах 6.5, 6.8 и 6.((,, были вслед за тем установлены Варнингом (Фагп(пд (! )). Ре- зультат следствия 6.6 был сформулирован Диксоном в статье-~,' Исйзоп 128) и доказан там для однородных многочленов не выше,' третьей степени, а в статье Ис(гзоп (321 — для любых однород--'„ ных многочленов над полем Га.
Доказательство теорем Шевалле —,'. Варнинга можно найти также в следующих источниках: Ах [!1,:, Огеепйегд ((, сп. 21, !ге(апг(, ][озеп [(, сп. (О), Зо!у [51,',', 5с!1гп(б! %. М. (3, сп. 41, Бегге 11, сп. (1 и Боревич, Шафаревич','.! [(, гл.! 1. Другое доказательство леммы 6.3 см, в работах Ис(г"...' зоп (21, (7, раг! ], с(1, 41; об аналогичной кратной сумме см.
%((((ашз %. Б. О, (51, а об аналоге суммы степеней для квадрат- ных матриц см. Вгатт!еу, Саг((!з, БетЛпе (! ]. Теорему Шевалле::!~* можно использовать для доказательства теоремы Веддерберна (теорема 2.55); см. Зо(у' [51 и МсСппппоп 1! 1. По поводу других ее приложений см. статьи Ах (21, Ах, Кос(зеп (Ц, Саг(([г 1321 и Львов 1(1. Результаты типа теорем Шевалле — Варнинга для (: систем уравнений имеются также в статье Берге [71. В статье,'4~:,, Саг(((з [65] показано, что если г' ~ г"„[хп ..., хв] — однород- ный многочлен степени и и число АГ решений уравнения 7 (х„ Коммент»рая ..., х„) = 0 не делится на характеристику р поля Г», то для каждого многочлена л ~ К [х,, ..., х„1 степени, меньшей а, уравнение 7 (х„..., х„) = я ~х,, ..., х„) имеет по крайней мере одно решение в К».
Если жеФделитсн нар и приэтомд (О, О, ..., 0) = О, то число Решений УРавнениЯ 7 (хь ..., х„) = и (хь ..., х„) в [['"» делится на р, и этот результат можно распространить на системы аналогичных уравнений (см. Саг!Их [871). О близких к этому результатах для случая дед (г) = а см. также Тег!ап!ап 1!1 и ]о!у 15). В статье Рта!!!и! 121 найдено условие, при котором однородному уравнению удовлетворяют значения переменных, отличные друг от друга и от нуля.
Результаты Брауэра (Вгаиег К. [1]) о системах однородных уравнений над произвольными полями можно рассматривать как обобщение следствия 6.9. Другое обобщение следствия 6.9 для однородных многочленов получено в статье РпИоп %. [!) о многообразиях над конечными полями.
Теоремы Шевалле — Варнинга для кольца ~l(р») установлены в работах ВгоъЫп []! и Ьспаппе] [!1. Важным усилением теоремы 6.5 является теорема Акса (Ах 1!!), состоящая в том, что если ) ~ Г» [х„... х„] — многочлен степени дел (г) = д < и и Ь вЂ” наибольшее целое число, которое меньше аЯ, то число решений уравнения /'(х„..., х„) = 0 делится на 4»; доказательство этого результата имеется также в статье Ло!у [51. Обобщение указанного результата на случай системы уравнений получено Катцом (Ка!г 111). Близкий результат содержится в статье Ре!заг!е, МсЕИесе [! ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
