Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Для фиксированного ь Е (/, имеем и ~ (/; тогда и только тогда, когда аь — ' Е (/а, что в свою очередь эквивалентно условию еаь — ' = ра для некоторого р ~ Е". Пусть А, — число элементов у Е Е, для которых д (у) ~ (/,, т. е. ь — 'и (7) = р" для некоторого и Е Е'. Пусть В; — число решений уравнения уа = ~-'й (х) в Е' с ненулевым значением координаты у. Тогда А; = В;/и. Пусть й/;— полное число решений уравнения уа =- ь 'д (х) в Е'.
Так как НОД (и, е,/е, ..., са/е) = НОД (иlе, а,/е, ..., еа/а) = 1, то в силу леммы 6.54 многочлен у" — ~-'д (х) абсолютно неприводим. Кроме того, иа делит число д — 1, так что и делит число д" — 1, и можно применить теорему 6.53, из которой получаем )й/~ — а")<4 — и"4'*/' для 0 (1(и — 1 Поскольку ~ В, — й/; ~ ( /г/е, ~В, — дта! (5 — и'~аг/'*" для 0 (1(и — 1, Запишем 1 А 4та+ Я а тогда ~В ~ (5 имат/т*/а для 0(! (и — 1. Гл. 6.
Ураииеяия иад конечными полями 382 Из (6.32) получаем и — ! л — ! ~ (у(у)) ~ = ~ А;р =,'~ (-'„д-+ г.) р! -. «Ег г=о о=о (К о!!>(= (!.р! (~ ! !р ! (5 аж био !=о ! о Из теоремы 5.39 следует, что !!о + ... -!-ьол' ! ! <5 — и""д" о. е Поскольку это выполняется для любого з ~ !)ч, то из леммы 6. получаем, что ~ оо,'! ~( д' ', так что ! в; ! < д для всех !', 1 ~ <! <с( — !. Оценка для сумм значений характеров в теореме 5.4! теперь' полностью доказана. Эту оценку можно использовать для уточ'. пения теоремы 6.53. 6.57. Теорема. Лусо!ь т Е о( и ~ ~ К (х) — такой мн член положительной степени, что многочлен у' — ~ (х), где ! = НОД (т, д — !), абсолютно неприводим.
Тогда число й! реи!е' ний уравнения у = ~ (х) в Ц удовлетворяет неравенству !й -д)=(Г-1)(д- 1)д». где с( — число различных корней многочлена !" из его поля разложе, ния над Кч. Доказательство. В силу (5.70) с-! ! — 1 й' = Е 1д (у = ~ (с)) = Е Е )' (7 (с)) = д + Е Е ) ! (7 (с)). о с 4' с!Го!=о !=! 'Е !Го где Х вЂ” мультипликативный характер порядка г поля Г . Ес ! = 1, то результат тривиален, так что можно считать, что ! ) 1" Пусть !! †! ! 1«' — д ) = ~ ~~ ~'„).! (аг', (с)) ((! — 1) (д — 1) дно. П;. ! !'ЕГч 1 7 (х) = а~, (х) = а (х — аа) ! ... (х — !хл) л, где а Е !!о и а„..., сов — различные корни многочлена !.
По-'; скольку многочлен у' — Г (х) абсолютно неприводнм, то по леммФ; 6.54 НОД (1, е,, ..., ее) = 1. Для 1 < 1 < ( — 1 характер д!': имеет порядок О > 1, где О делит г, так что ~, не может быть;.'-' О-й степенью некоторого многочлена. Позтому в силу теоремы 5.4) '; получаем, что В 4. Метод Степанова — Шмидта Для завершения доказательства теоремы 5.38 нам нужно теперь изучить уравнение вида у» — у = 1(х) над конечнымн расширениями поля Г», которое связано с распределением следов значений многочлена ~. Ключевым пунктом здесь снова является построение подходящего вспомогательного многочлена. Введем следующее обозначение, Если заданы многочлен ) над некоторым конечным полем Т», элемент Ь этого поля и конечное расширение Е поля К», то через Т (Ь) обозначим множество таких элементов 7 ~ Е, что Тгвй1' (! (7)) = Ь.
6.58. Лемма. Пусть заданы многочлен ~ ~ К» (х1 положи- тельной степени, причем НОД (бед ф, д) = 1, расширение Е = — -- К»а поля Е», где э )~ 3, и элемент Ь Е Г». Пусть М вЂ” та- кое натуральное число, кратное д, что О ( М бед ф ( у' — а-!, где Ь = (э!21. Тогда суи(есп!вует такой ненулевой многочлен Ь ~ Г» (х1, что каждый элемент 7 Е Т (Ь) является корнем кратности не менее М этого многочлена, и при этом бед (Ь) < Мд' — ' + у* бед ()). Доказательсп!во. Положим д = 1»~ + 1»"+! + „, + 1»' ', т = !(ед ()), и пусть т, — меньшее из чисел т и д.
Будем ис- кать многочлен Ь в виде » †! а Ь(х) = Д Д еы(х)а(х)!х!'»', (6.33) !=а!=а где и = М/д и еы — многочлены над Г», которые требуется опРеделить, пРичем !(еЯ (еы) < т»У* — т. ПосколькУ д(х) =1(х )+1(х + )+... +1(х ' ), мы можем написать, что Ь (х) = о (х, х» ), где ! — ! и о (х, У) = ~„'~„'е!т (х) (( (У) + ~ (Ь») +... + 1(У»' + )) ' УМ' '. Ввиду того что э < 2Ь+ 1, получаем, что М < о* — а — ' < !)а, так что можно применить следствие 6.50 для всех и, О ( и ( М вЂ” 1. Тогда » — ! и Е! "! (Ь (х)) = Д ~ ем а (х) у (х)! хы', О ( и ( М вЂ” 1, !=»!=о где епа (х) = Е!"! (е„(х)). Если 7 ~ Т (Ь), то Ь = Тге7 (1 (7)) = '-'= 6(7) + й(7), где 6 = )'+ ~»+ ..
+ )»' '. Учитывая также, что 7»* = 7, получим » †! а (Е!")(Ь)) (7) = Е Е еЕт (7)(Ь вЂ” 6(7))»7! =г (7) Гл. б, Уравнения над нонечнымн полями где о — 1 и га (х) = ~ ~ ем а (х) (Ь вЂ” 6(х))о х(, О ( и < М вЂ” 1. с=о з'=о Для того чтобы гарантировать, что каждый элемент у Е Т (((у является корнем многочлена Ь кратности не менее М, достаточн' в силу леммы 6.51, чтобы были нулевыми все многочлены г„::о О ( п < М вЂ” 1.
Поскольку и = М,'д -< д' ', то деи(г„) ( тод' — а+ т(д — 1)до — '+ и < < тод' — ' '- т (д — !) иа — ' -'- д' — ' < т,д' — ' Ь пи~о, и, если и ) 1, то с(еи (г„) < тод' — '+ тда — 1, Таким обРазом,'1 если через 5 обозначить суммарное число коэффициентов всей! многочленов г„, О ( и <.
М вЂ” 1, то 5 < М(тоу' — '+ тдо) < Мт д' — -' - д' — '. (6.34)' Суммарное же число А возможных коэффициентов всех много! членов еоч О ( ( < д — 1, О < ) < и, удовлетворяет неравенству.;, А =д(и ~ 1)тд' — '-'= Мтвд' '+то4' ' > Мтвд' я+4' ' (6351,' Условие, что все многочлены г„равны О, приводит к системе из 81) однородных линейных уравнений от А неизвестных козффициен-'о тов многочленов е;;. Учитывая (6.34) и (6.35), получаем неравен " ство 5 < А, означающее, что существует нетривиальное решениеоа этой системы; это решение определяет многочлены еы, не все',:;, равные нулю.
Определив таким образом многочлены есп мы определим много- ~,:,' член й по формуле (6.33). Тогда, беря и = — М!д и т, ( т, полу- ' чим, что Йеи(Ь) (тог) '-1-т(д -- 1) д' — '+ид' ( Мд' — '+ ту'. Остается лишь проверить, что Ь ~ О. Это вытекает из того, что ', ненулевые слагаемые Й„(х) = ем(х) и(х)' хгО многочлена Ь имеют различные степени. Действительно, ахеи (е(п) = ахеи (еы) + (пи)' — ' + р)', так что для ебз ~ О д' — '((т+ )п) <бед(й;;) < ~)' — '+ д' — '((т+ )д), поскольку с(ед (е„.) < тод' — а < д' — '.
Поэтому для того, чтобвь' доказать, что степени ненулевых многочленов ды различи достаточно показать, что если (1, 1) Ф (ю', 1'), где О < 1, 1 < Ч вЂ” 1, О < 1', /' < и, то 1т + и) чь Рт + )'д. ДопУстим„ $4. Метод Степанова — Шмидта ут + уд = ут + у'у. Тогда ут = ут (шоб в), и так как по предположению НОД (т, у) = 1, то У гн У' (тобу), откуда следует, что у = у и у = у', а это невозможно. П На основе леммы 6.58 мы можем теперь найти предварительную оценку числа у!у (Ь) = ( Т (Ь) ), т. е.
числа элементов у Е Е, удовлетворяющих условию Тгеу!г (у (у)) = Ь. Позднее этот результат будет улучшен (см. теорему 6,61). Но и той оценки, которую мы сейчас получим, будет вполне достаточно для доказательства нашего второго главного результата, приводимого ниже в теореме 6.60. 6.59.
Теорема. Пусть у Е К (х) — многочлен степени и) 1, причем НОД (и, д) = 1. Тогда для любого конечного расширения Е = Кч~ поля Кч число йУ (Ь) элеменпюв у ~ Е, для которых ТгЕу!Г (У (у)) = Ь, удовлетворяет неравенству (У(Ь) — д' ') < 2пту1н'~+4 для любых Ь Е К . (6.36) Доказательство. Если д' < и'у', то тривиальная оценка О ( у!у (Ь) ( д' показывает, что неравенство (6.36) выполняется.
Таким образом, можно считать, что д' ) и'у4. Если й = (з!2), как в лемме 6.58 (где (У) — наибольшее целое, не превосходящее 1), то у~ — е — т ) ум — 41/2) и так что число М вЂ” ~ у1 — е — 2~1 является положительным кратным числа в. Ясно, что Мп ( д — е — ', так что все условия леммы 6.58 выполнены. Для многочлена Л чь О, построенного в этой лемме, по теореме !.66 выполняется неравенство ЛУ (Ь) М ( бек (Ь), и оценка степени бед (Ь), указанная в лемме 6.58, дает ЛУ(Ь) (у '+ М Так как 2л 1 то Лу(Ь) <у' — '+2птд"+' для всех Ь Е !1',.
Поэтому Л1 (Ь) = у' — ~ Ьу (с) ) д' — (д — 1) д' — ' — 2 (а — 1) п' у'+' ) 'б !Ге ттеь ) дт-1 2птде+2 25 змс 222 Гл. 6. Уравнення над конечными полями так что в итоге !1ч'(Ь) — о' †'! < 2идоа+' ( 2п'60">+', откуда вытекает неравенство (6.36). 6.66. Теорема. Комплексные числа евы ..., ьх„, из теоремы:, 5 36удовлетворяютнеравенствам ! еох ! ~ уьидля1' = 1, ..., и — 1." Доказательство. Будем предполагать выполненными условии, теоремы 5.36. Тогда в обозначениях атой теоремы при Е = гда Е Хо~(1(7)) =- Е Х(ТгЕд-д(1(у))) =- Е Ь1(Ь)Х(Ь).
тс е тйс ь61гд Если положить У (Ь) = у' — ' + й (Ь), то ввиду (6.36) ! Р (Ь) ! <' < 2п'у(оп~-', так что, применяя (5.9), имеем !=! — !=! Е Хвои(у))!=! Е (у'-'+Л(Ь))Х(Ь)!=! Е Л(Ь)Х(Ь)~; .' т6е ~ьЕ~Гр 1 !ь6 Т'д 4 ~~ !Я(Ь)! 42п-'6<оп+в. ь,с 1гд Из теоремы 5.36 следует, что "Т 3 !в',+ ... +хо,' 1!~(2п'ууо для всех з Е 16, (Т позтому, учитывая лемму 6.55, получаем ! еох ! ( ун' для 1 =, =1, ...,п — 1. П,' Оценка для суммы значений характеров из теоремы 5.38 "' полностью доказана. Эту оценку теперь можно использовать для,,6 уточнения теоремы 6.59.
6.61. Теорема. Луста 1" Е К (х) — многочлен степени и .= 1,; причем НОД (и, о) = 1, Тогда для Ь ~ Ед число 1ч' (Ь) злементов '; Т ~ Е = Еда, для которых Тге1Т (1'(у)) = Ь, удовлетворяет- неравенству ! (У (Ь) — у'-'! ( (1 — — ! (и — 1) уо-'. Доказательство, На основании (5.10) (И = т Е ЕХ (~'е!К,(Т(7))) Х (Ь) тбе х где внутренняя сумма берется по всем аддитивным характерам Х поля К . Меняя порядок суммирования и выделяя часть, соответствующую тривиальному характеру Х,, получим Ж (Ь) = Ч + 1 ~~К Х (Ь) 2 Хги (1(7)) :Ф хааке 76 е $ 4. Метод Степанова — Шмидта откуда, согласно теореме 5.38 1х(»)-г- 1 < —,' ~ ~ т е~»»$<(~ — —,')( — н»", х»»хв ~тС е так как ввиду)( ~ Хеподнятие~<»> характера т нетривиально.