Главная » Просмотр файлов » Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988)

Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 84

Файл №1127099 Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988)) 84 страницаР. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099) страница 842019-05-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 84)

Для фиксированного ь Е (/, имеем и ~ (/; тогда и только тогда, когда аь — ' Е (/а, что в свою очередь эквивалентно условию еаь — ' = ра для некоторого р ~ Е". Пусть А, — число элементов у Е Е, для которых д (у) ~ (/,, т. е. ь — 'и (7) = р" для некоторого и Е Е'. Пусть В; — число решений уравнения уа = ~-'й (х) в Е' с ненулевым значением координаты у. Тогда А; = В;/и. Пусть й/;— полное число решений уравнения уа =- ь 'д (х) в Е'.

Так как НОД (и, е,/е, ..., са/е) = НОД (иlе, а,/е, ..., еа/а) = 1, то в силу леммы 6.54 многочлен у" — ~-'д (х) абсолютно неприводим. Кроме того, иа делит число д — 1, так что и делит число д" — 1, и можно применить теорему 6.53, из которой получаем )й/~ — а")<4 — и"4'*/' для 0 (1(и — 1 Поскольку ~ В, — й/; ~ ( /г/е, ~В, — дта! (5 — и'~аг/'*" для 0 (1(и — 1, Запишем 1 А 4та+ Я а тогда ~В ~ (5 имат/т*/а для 0(! (и — 1. Гл. 6.

Ураииеяия иад конечными полями 382 Из (6.32) получаем и — ! л — ! ~ (у(у)) ~ = ~ А;р =,'~ (-'„д-+ г.) р! -. «Ег г=о о=о (К о!!>(= (!.р! (~ ! !р ! (5 аж био !=о ! о Из теоремы 5.39 следует, что !!о + ... -!-ьол' ! ! <5 — и""д" о. е Поскольку это выполняется для любого з ~ !)ч, то из леммы 6. получаем, что ~ оо,'! ~( д' ', так что ! в; ! < д для всех !', 1 ~ <! <с( — !. Оценка для сумм значений характеров в теореме 5.4! теперь' полностью доказана. Эту оценку можно использовать для уточ'. пения теоремы 6.53. 6.57. Теорема. Лусо!ь т Е о( и ~ ~ К (х) — такой мн член положительной степени, что многочлен у' — ~ (х), где ! = НОД (т, д — !), абсолютно неприводим.

Тогда число й! реи!е' ний уравнения у = ~ (х) в Ц удовлетворяет неравенству !й -д)=(Г-1)(д- 1)д». где с( — число различных корней многочлена !" из его поля разложе, ния над Кч. Доказательство. В силу (5.70) с-! ! — 1 й' = Е 1д (у = ~ (с)) = Е Е )' (7 (с)) = д + Е Е ) ! (7 (с)). о с 4' с!Го!=о !=! 'Е !Го где Х вЂ” мультипликативный характер порядка г поля Г . Ес ! = 1, то результат тривиален, так что можно считать, что ! ) 1" Пусть !! †! ! 1«' — д ) = ~ ~~ ~'„).! (аг', (с)) ((! — 1) (д — 1) дно. П;. ! !'ЕГч 1 7 (х) = а~, (х) = а (х — аа) ! ... (х — !хл) л, где а Е !!о и а„..., сов — различные корни многочлена !.

По-'; скольку многочлен у' — Г (х) абсолютно неприводнм, то по леммФ; 6.54 НОД (1, е,, ..., ее) = 1. Для 1 < 1 < ( — 1 характер д!': имеет порядок О > 1, где О делит г, так что ~, не может быть;.'-' О-й степенью некоторого многочлена. Позтому в силу теоремы 5.4) '; получаем, что В 4. Метод Степанова — Шмидта Для завершения доказательства теоремы 5.38 нам нужно теперь изучить уравнение вида у» — у = 1(х) над конечнымн расширениями поля Г», которое связано с распределением следов значений многочлена ~. Ключевым пунктом здесь снова является построение подходящего вспомогательного многочлена. Введем следующее обозначение, Если заданы многочлен ) над некоторым конечным полем Т», элемент Ь этого поля и конечное расширение Е поля К», то через Т (Ь) обозначим множество таких элементов 7 ~ Е, что Тгвй1' (! (7)) = Ь.

6.58. Лемма. Пусть заданы многочлен ~ ~ К» (х1 положи- тельной степени, причем НОД (бед ф, д) = 1, расширение Е = — -- К»а поля Е», где э )~ 3, и элемент Ь Е Г». Пусть М вЂ” та- кое натуральное число, кратное д, что О ( М бед ф ( у' — а-!, где Ь = (э!21. Тогда суи(есп!вует такой ненулевой многочлен Ь ~ Г» (х1, что каждый элемент 7 Е Т (Ь) является корнем кратности не менее М этого многочлена, и при этом бед (Ь) < Мд' — ' + у* бед ()). Доказательсп!во. Положим д = 1»~ + 1»"+! + „, + 1»' ', т = !(ед ()), и пусть т, — меньшее из чисел т и д.

Будем ис- кать многочлен Ь в виде » †! а Ь(х) = Д Д еы(х)а(х)!х!'»', (6.33) !=а!=а где и = М/д и еы — многочлены над Г», которые требуется опРеделить, пРичем !(еЯ (еы) < т»У* — т. ПосколькУ д(х) =1(х )+1(х + )+... +1(х ' ), мы можем написать, что Ь (х) = о (х, х» ), где ! — ! и о (х, У) = ~„'~„'е!т (х) (( (У) + ~ (Ь») +... + 1(У»' + )) ' УМ' '. Ввиду того что э < 2Ь+ 1, получаем, что М < о* — а — ' < !)а, так что можно применить следствие 6.50 для всех и, О ( и ( М вЂ” 1. Тогда » — ! и Е! "! (Ь (х)) = Д ~ ем а (х) у (х)! хы', О ( и ( М вЂ” 1, !=»!=о где епа (х) = Е!"! (е„(х)). Если 7 ~ Т (Ь), то Ь = Тге7 (1 (7)) = '-'= 6(7) + й(7), где 6 = )'+ ~»+ ..

+ )»' '. Учитывая также, что 7»* = 7, получим » †! а (Е!")(Ь)) (7) = Е Е еЕт (7)(Ь вЂ” 6(7))»7! =г (7) Гл. б, Уравнения над нонечнымн полями где о — 1 и га (х) = ~ ~ ем а (х) (Ь вЂ” 6(х))о х(, О ( и < М вЂ” 1. с=о з'=о Для того чтобы гарантировать, что каждый элемент у Е Т (((у является корнем многочлена Ь кратности не менее М, достаточн' в силу леммы 6.51, чтобы были нулевыми все многочлены г„::о О ( п < М вЂ” 1.

Поскольку и = М,'д -< д' ', то деи(г„) ( тод' — а+ т(д — 1)до — '+ и < < тод' — ' '- т (д — !) иа — ' -'- д' — ' < т,д' — ' Ь пи~о, и, если и ) 1, то с(еи (г„) < тод' — '+ тда — 1, Таким обРазом,'1 если через 5 обозначить суммарное число коэффициентов всей! многочленов г„, О ( и <.

М вЂ” 1, то 5 < М(тоу' — '+ тдо) < Мт д' — -' - д' — '. (6.34)' Суммарное же число А возможных коэффициентов всех много! членов еоч О ( ( < д — 1, О < ) < и, удовлетворяет неравенству.;, А =д(и ~ 1)тд' — '-'= Мтвд' '+то4' ' > Мтвд' я+4' ' (6351,' Условие, что все многочлены г„равны О, приводит к системе из 81) однородных линейных уравнений от А неизвестных козффициен-'о тов многочленов е;;. Учитывая (6.34) и (6.35), получаем неравен " ство 5 < А, означающее, что существует нетривиальное решениеоа этой системы; это решение определяет многочлены еы, не все',:;, равные нулю.

Определив таким образом многочлены есп мы определим много- ~,:,' член й по формуле (6.33). Тогда, беря и = — М!д и т, ( т, полу- ' чим, что Йеи(Ь) (тог) '-1-т(д -- 1) д' — '+ид' ( Мд' — '+ ту'. Остается лишь проверить, что Ь ~ О. Это вытекает из того, что ', ненулевые слагаемые Й„(х) = ем(х) и(х)' хгО многочлена Ь имеют различные степени. Действительно, ахеи (е(п) = ахеи (еы) + (пи)' — ' + р)', так что для ебз ~ О д' — '((т+ )п) <бед(й;;) < ~)' — '+ д' — '((т+ )д), поскольку с(ед (е„.) < тод' — а < д' — '.

Поэтому для того, чтобвь' доказать, что степени ненулевых многочленов ды различи достаточно показать, что если (1, 1) Ф (ю', 1'), где О < 1, 1 < Ч вЂ” 1, О < 1', /' < и, то 1т + и) чь Рт + )'д. ДопУстим„ $4. Метод Степанова — Шмидта ут + уд = ут + у'у. Тогда ут = ут (шоб в), и так как по предположению НОД (т, у) = 1, то У гн У' (тобу), откуда следует, что у = у и у = у', а это невозможно. П На основе леммы 6.58 мы можем теперь найти предварительную оценку числа у!у (Ь) = ( Т (Ь) ), т. е.

числа элементов у Е Е, удовлетворяющих условию Тгеу!г (у (у)) = Ь. Позднее этот результат будет улучшен (см. теорему 6,61). Но и той оценки, которую мы сейчас получим, будет вполне достаточно для доказательства нашего второго главного результата, приводимого ниже в теореме 6.60. 6.59.

Теорема. Пусть у Е К (х) — многочлен степени и) 1, причем НОД (и, д) = 1. Тогда для любого конечного расширения Е = Кч~ поля Кч число йУ (Ь) элеменпюв у ~ Е, для которых ТгЕу!Г (У (у)) = Ь, удовлетворяет неравенству (У(Ь) — д' ') < 2пту1н'~+4 для любых Ь Е К . (6.36) Доказательство. Если д' < и'у', то тривиальная оценка О ( у!у (Ь) ( д' показывает, что неравенство (6.36) выполняется.

Таким образом, можно считать, что д' ) и'у4. Если й = (з!2), как в лемме 6.58 (где (У) — наибольшее целое, не превосходящее 1), то у~ — е — т ) ум — 41/2) и так что число М вЂ” ~ у1 — е — 2~1 является положительным кратным числа в. Ясно, что Мп ( д — е — ', так что все условия леммы 6.58 выполнены. Для многочлена Л чь О, построенного в этой лемме, по теореме !.66 выполняется неравенство ЛУ (Ь) М ( бек (Ь), и оценка степени бед (Ь), указанная в лемме 6.58, дает ЛУ(Ь) (у '+ М Так как 2л 1 то Лу(Ь) <у' — '+2птд"+' для всех Ь Е !1',.

Поэтому Л1 (Ь) = у' — ~ Ьу (с) ) д' — (д — 1) д' — ' — 2 (а — 1) п' у'+' ) 'б !Ге ттеь ) дт-1 2птде+2 25 змс 222 Гл. 6. Уравнення над конечными полями так что в итоге !1ч'(Ь) — о' †'! < 2идоа+' ( 2п'60">+', откуда вытекает неравенство (6.36). 6.66. Теорема. Комплексные числа евы ..., ьх„, из теоремы:, 5 36удовлетворяютнеравенствам ! еох ! ~ уьидля1' = 1, ..., и — 1." Доказательство. Будем предполагать выполненными условии, теоремы 5.36. Тогда в обозначениях атой теоремы при Е = гда Е Хо~(1(7)) =- Е Х(ТгЕд-д(1(у))) =- Е Ь1(Ь)Х(Ь).

тс е тйс ь61гд Если положить У (Ь) = у' — ' + й (Ь), то ввиду (6.36) ! Р (Ь) ! <' < 2п'у(оп~-', так что, применяя (5.9), имеем !=! — !=! Е Хвои(у))!=! Е (у'-'+Л(Ь))Х(Ь)!=! Е Л(Ь)Х(Ь)~; .' т6е ~ьЕ~Гр 1 !ь6 Т'д 4 ~~ !Я(Ь)! 42п-'6<оп+в. ь,с 1гд Из теоремы 5.36 следует, что "Т 3 !в',+ ... +хо,' 1!~(2п'ууо для всех з Е 16, (Т позтому, учитывая лемму 6.55, получаем ! еох ! ( ун' для 1 =, =1, ...,п — 1. П,' Оценка для суммы значений характеров из теоремы 5.38 "' полностью доказана. Эту оценку теперь можно использовать для,,6 уточнения теоремы 6.59.

6.61. Теорема. Луста 1" Е К (х) — многочлен степени и .= 1,; причем НОД (и, о) = 1, Тогда для Ь ~ Ед число 1ч' (Ь) злементов '; Т ~ Е = Еда, для которых Тге1Т (1'(у)) = Ь, удовлетворяет- неравенству ! (У (Ь) — у'-'! ( (1 — — ! (и — 1) уо-'. Доказательство, На основании (5.10) (И = т Е ЕХ (~'е!К,(Т(7))) Х (Ь) тбе х где внутренняя сумма берется по всем аддитивным характерам Х поля К . Меняя порядок суммирования и выделяя часть, соответствующую тривиальному характеру Х,, получим Ж (Ь) = Ч + 1 ~~К Х (Ь) 2 Хги (1(7)) :Ф хааке 76 е $ 4. Метод Степанова — Шмидта откуда, согласно теореме 5.38 1х(»)-г- 1 < —,' ~ ~ т е~»»$<(~ — —,')( — н»", х»»хв ~тС е так как ввиду)( ~ Хеподнятие~<»> характера т нетривиально.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
14,01 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6547
Авторов
на СтудИзбе
300
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее