Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Теперь рассмотрим случай Ь = О. Если и четно, то можно применить (5.42), и тогда получим !е(ч 'Ч) =(и — 1)Ч( — 1)7(ч " Ч) Зоо Гл, 6, Уравнения над конечными полями где в последнюю сумму Якоби входит п — 1 экземпляров Ч.. Таким образом, согласно (6.8), /о(Ч Ч) = (ч 1)у Ч(( 1) )> и из (6.6) получаем равенство й о- + ( 1) (л-м/э (( 1)л/е ) что согласуется с теоремой 6.26. Если же и нечетно, то, согласно,.
(5.41), /, (Ч, ..., Ч) = О; поэтому из (6.6) следует, что й/ =- д"-',,', н это согласуется с теоремой 6.27. П':, 6.28. Замечание. При нечетном числе а мы можем также найти ' число решений в Е" уравнения Ь (х„..., х„) = Ь, где Ь Г- Кч и й — многочлен над Еч степени 2 (но не обязательно квадратич- "; ная форма). Можно написать й = /+ д, где / — квадратичная ". форма и бей (д) < 1. Применив невырожденное линейное пре- ': образование, переводящее / в диагональную квадратичную форму, " получим уравнение ах, + +а~к/+Ьх, + +Ьх,=Ь (1 <й <и, все а/ФО), которое имеет то же число решений, что и исходное уравнение.,:,' Если й < и, то без ограничения общности можно предположить,':~1 что Ь„чи О. Тогда число решений этого уравнения равно а"-', ':.', так как переменным х,, ..., х„, можно придать произвольные,,':, значения из К, и по ним однозначно определить значение х„.,1 Если же й = и, то невырожденное линейное преобразование;,' х; = у; — Ь; (2а;) ', 1 = 1, ..., и, приводит к уравнению а,у', +...., ...+ а„у„=- с для некоторого с Е 1'ч, не изменяя числа решений.
„' Теперь число решений указывается теоремами 6.26 и 6.27. Д;- Перейдем теперь к случаю четного а, т, е, к случаю, когда основным является конечное поле Еч характеристики 2. Рассмо-",,1 грим тот же вопрос о числе /1/ (/ (хвы ..., х„) = Ь) решений в Ке';„ уравнения / (х„..., х,) = Ь, где / — квадратичная форма над гв,!, от и переменных и Ь ~ !' . Будем применять ту же стратегию, '1 что и раньше, а именно приведем сначала / к эквивалентной ква-,„;; дратичной форме простейшего вида. Квадратичную форму от и переменных над полем характеристики 2 назовем невырожден- ' ной, если / не эквивалентна никакой квадратичной форме от мень- ' шего, чем п, числа переменных (если такое определение приме- нить к случаю нечетного в, то мы придем к тому же понятию ' невырожденностк, что и раньше).
Снова достаточно изучить лишь," случай невырожденной квадратичной формы. 6.29. Лемма. Невырожденная квадратичная форма /' (х„..., х„) от и )~ 3 переменных над полем Гч при четном а эквивалентна х,хе + д (хм ..., х„), где д — невырожденная квадратичная форма '! ' над Кч от и — 2 переменных. $ 2. Квадратичные формы Доказательсп4во.
Покажем сначала, что квадратичная форма ~ эквивалентна некоторой квадратичной форме, в которой коэффициент при х~ равен О. Запишем ~(хы " х,) = ~~ а„х,х~. 1~4<Г<Л (6.9) Если какой-нибудь коэффициент ап равен О, то изменяя нумерацию переменных, полагаем аы — — О. Поэтому можно предположить, что все а44 отличны от О.
Если при этом все аы равны О для 4<(, то ((хы ..., х„) = а;,х~ + + а„„хв = (а(('х, + + ае',х„)', и затем, применив невырожденное линейное преобразование пе- ременных х, = ага (а4ву, + ув+ аелу4+ + а„у,), х4 =У, ДлЯ (~3, перейти к эквивалентной квадратичной форме пауз+ У,Ув+ Уе(уг Ув, ", У.). Пусть Ьм обозначает теперь коэффициент при у| в де; тогда, при- 2 менив невырожденное линейное преобразование переменных У, = (а 'бм)егг г, + г, у4 — — г4 для (Ф2, получим эквивалентную квадратичную форму, в которой коэффициент прн г~~ окажется равным О. Теперь пусть квадратичная форма ~ задана равенством (6.9), причем а„= О. Поскольку ) невырожденна, все аы не могут быть Равными нулю, так что можно предположить, что а„Ф О.
Тогда невырожденное линейное преобразование переменных хе = аи (Уе + а4вув + ' ' ' + аглу ) х,=у, для 4~2 но это означает, что Г' эквивалентна квадратичной форме от одной переменной„что противоречит невырожденности г. Поэтому найдется а4э ~ О, 4 < г', и, изменяя соответствующим образом нумерацию переменных, можно считать, что авв Ф О. Выделяя теперь члены ~, содержащие х„можно написать г Г (х,, ..., х„) = алехе + х, (амх, + а„х, + + а,„х„) + + у,(х„хв, ..., х„), 352 Гл.
6. Уравнения над нонечиыми полями переводит 1 в квадратичную форму вида у,у, + ~~ сыуау;, 2<а<пил которая в свою очередь с помощью невырожденного линейнога:: преобразования переменных у, = г, + с„г, + ... + спг„, у, =га для 4~1 переводится в квадратичную форму г,га+ а'(г„..., г,), где й,' очевидно, — невырожденная квадратичная форма.
Д "' 6.30. Теорема. Пусть Г (х,, ..., хп) — невырожденная квадра-", тичная форма от и переменных над конечным полем Г харакпин ',«и ристики 2. Если число и нечетно, то 1' эквивалентна квйратичноа(:. ~. форме Хаха+ХЭХ4+ '''+Хп 2Хл 4+Ха Если же и четно, то Г эквивалентна либо квадратичной форме'й„,:, хх +хх +...+х„х либо квадратичной форме 2 2 Хаха + ХаХ4 + ' ' ' + Хп — ! Хп + Хп — ! + аХл где а ~ 1'ч, причем Тга (а) = 1. Доказательство. Если и нечетно, то, применяя индукцию "" 4 по и и теорему 6.29, легко показать, что 1 эквивалентна квадра-:,- 2 тнЧНОй ФОРМЕ ВИДа Х,Х, + Х,Х4 + ...
+ Х„,Хл, + аХ„ГДЕ а ~,, ~ Ц. Заменяя теперь х„на а-4~ах„, получаем требуемую ква"Ъ дратичную форму. Если же и четно, то, применяя индукцию по и и лемму 6.2йа.' можно показать, что 1 эквивалентна квадратичной форме видй 2 2 каха + ХаХ4 + ' ' ' + Хл — аХл — 2 + ЬХл — ! + СХл — |Хп + 4(хна т где Ь, с, а' ~ Еч. В силу невырожденности 1 элемент с должен быть'~; отличен от О, иначе равенство Ьх'„1+ йх„' = (Ь"'х, 1+ 4(4~'х„)' позволило бы привести Г" к эквивалентной квадратичной форме оз' меньшего, чем и, числа переменных. Если Ь = О, то квадратичная:; форма Схп-2Хп -1- 4(хл =- (СХп 4 + дХл) Хп 2 эквивалентна хп,х„, и мы приходим к требуемому виду.
Если жеп Ь ЧЬ О, тО, ЗаМЕНяя Хл, На Ь вЂ” 4МХп, И Х„иа Ь4~2С вЂ” 'Х„, ПОЛуЧаЕМЕ. 5 2. Квадратичные формы что квадратичная форма Ьх„ ~ + сх, ~х„ + дх„ эквивалентна в г х„~ + х ~х„+ ах„' для некоторого а ~ Г». Если при этом мио- гочлен х'+ х+ а прнводйм в кольце Г» [х), то х'+«+а=-(х+с,)(х+с,) для некоторых с„св Е Е», откуда 2 2 х„, +х„т х„+ах„= (х„, +с,х„)(хв в+с,х„), что эквивалентно квадратичной форме х„,х„. Если же многочлен х' + х + а неприводнм в Е» [х[„то на основании следствия 3.79 получаем, что Тгр (а) = 1, и результат полностью установлен.
Д Ввиду инвариантности числа У (1 (х„..., х„) = Ь) относи- тельно перехода к эквивалентной 1 квадратичной форме можно теперь сосредоточить внимание на квадратичных формах тех специальных типов, которые указаны в теореме 6.30. При этом мы снова воспользуемся функцией о (х), введенной определе- нием 6.22. 6.31. Лемма. Пусть а ~ [['», где а четко, причем Тг[г (а) = = 1, и Ь Е Г». Тогда У («1 + «,«, + ах» = Ь) = д — о (Ь).
Доказательство. Так как в силу следствия 3.79 многочлен х' + х + а непрнводим в кольце Е» [х[, то х' + х + а =- (х + а) (х + и»), где а ~ К»*, и Ф К», так что 1 (х,, х,) = х[ + х,х, + ах» = (х, + ах») (х, + а»хв). Поэтому для произвольной упорядоченной пары (сы с,) ~ г» получаем 1(с с (с,+,Нс,+а»с,) =(с1+асв)(с1+асв)'=(1+Ыв)~. Ввиду того что [1, а[ — базис поля Ер* (как векторного про- странства) над полем Е», то между упорядоченными парами (с», с,) с 'г» и элементамй у = с, + ас, Е Г ° можно установить взаимно однозначное соответствие. Поэтому число У (1 (х,, х,) = =- Ь) совпадает с числом элементов у ~ Кр., для которых у»+' = = Ь.
При Ь = 0 получаем У (( (х„х,) = 0) = 1 = д — о (0). Если же Ь ~ О, то поскольку Ц' — циклическая группа поРядка дв — 1 и Ь<»* — пн»+и = — Ь» — ' = 1, существует у+ 1 элементов 7 ~ [[';, таких, что у»+' = Ь. Это означает, что Ж Д (х,, х») = Ь) = д+ 1 = д — о (Ь). [:) 23 змо м» 354 Гл. 6. Уравнення нпд конечными полями 6.32.
Теорема. Пусть Еч — конечное поле хар теристики 2,2 и пусть Ь ~ Кч. Тогда для нечетного числа и число реигений: уравнения 2 ХЬХ2 1 ХЗХ4 + ' г Хл-2Хл г ) Хл в 1'" равно дл . Для четного и число решений уравнения в К," равно сг" ' + о (Ь) с)м мг. для четного п и а Е Кч, удовлв-,с игворяюи(его условию Тгк. (а) = 1, чисго решений уравнения 2, 2 хгхя-1-хьх4+ -)- х„~х„-г-х„2+ах, = — Ь в К", равно дл ' — о (Ь) д'" Доказательство, Так как уравнение х' =- с имеет единственное';" решение (в силу теоремы 2.2Ц в поле К характеристики 2 длгл любого с Е Еч, то для нечетного п получаем 2 \ л — ! гс (хгхг 1 «2«4 т ''' 1 хл — 2хл — г-~ хл=Ь) =г) > ПОСКОЛЬКУ ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНО ЗаДаННЫХ ЗНаЧЕНИй ПЕРЕМЕННЫХ Хг,,'с, х„, значение переменной х„, удовлетворяющее уравнениг6" в скобках, определяется однозначно.
Теперь заметим, что число )У (х,х, = Ь) равно о — 1 при Ь Ф и 2д — 1 при Ь = О, так что в обоих случаях справедливо равенстиовс Л' (х,х, =- Ь) = а+ о (Ь). Поэтому для четного п, скажем и = 2гяг„',' ПОЛУЧИМ ПРИ Сг, ", См ~ 22 Ж (хгхг + х,х, + ... + х„,х„= Ь) = У (хгх, = — сг) ... Ф (х„гх„= с ) = с+..+с =Ь [д + о (сг)) ...
(д + о (с )) = с+" +с =Ь =а"-'д'"-) ~ о(с,) ... о(с ) =дл — '+о(Ь)с)ьл 22~2, с+ "+с =Ь где мы воспользовались формулой (6.6). Осталось рассмотреть уравнение последнего типа. В этом случае указанная в теореме формула числа решений в силу лем" мы 6.31 справедлива для и = 2. Если же и ) 4, то, используя $ 3. Диагональные уравнения результат предыдущего случая и лемму 6.31, получаем (при с„сг б Гд) М (хгхг ~. ха 4+ . (-х ~х„+ х„— ~ +ах„= Ь) = Е Ш (х,х, —,'- . + х„х„г = сг) х г,-ге~= б г ХЖ (Х„~Ха та Хл ~ + аХ„= С,) =- (г1 — г г о (с,) 4< -гггг) (4 о (с ))— сж са=б — г)г — гпг 'г6Кд а — г ~~ о( ) м-4>м. ~~ ~п(с)о(с) 'гЕКд д,+с,=б дп — ! о (Ь) Ч(н — гпг где на последнем шаге мы воспользовались формулами (6.4) и (6,5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
