Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Тогда 1 (с, х„..., х„) является многочленом от и — 1 переменных степени й для любого с ~ Г", так что по теореме 6.13 уравнение ) (х„..., х„) =- 0 имеет не более (д — 1) йу"-' решений (с„„,, с„) ~ Г", для которых с„~ О. Кроме того, !'(О, х„..., х„) является однородным многочленом степени й от и — 1 переменных, так что из предположения индукции вытекает, что уравнение 1(х„..., х„) = 0 имеет не более й (д"-3 — 1) нетривиальных решений вида (О, с„..., с„) Е Г". В итоге число нетривиальных решений уравнения 1(х„..., х„) = 0 в Г" не превышает числа (у 1) йу«-з+ й(ул-з 1) й( и-~ 1) П Исследуем теперь вопрос о среднем числе решений полиномиального уравнения. Для натурального числа й пусть ь2е — множество всех многочленов 1 ~ Кч (х„..., х„), степень котоРых не превосходит й. Пусть оз (й) — число и-наборов (1„..., 1„) неотрицательных целых чисел, для которых 1, +...+ 1„( й, Тогда мощность (ь)е) множества ь)е равна а <л>.
Для 1 ~ ь)„обозначим чеРез М (1) число Решений УРавнениЯ )'(х„..., х„) = 0 в Гз. 6.16. Теорема. В обозначениях, введенных выше, имеет место равенство — Ф()) = д"-'. !Ие! /6ав вкругими словами, среднее число решений в Г" уравнения 1' (х„... ", х„) = 0 (где 1" — многочлен положительной степени ( й от п переменных над полем гр) равно д"-'. 22ь Гл. 6. Уравнения над конечными волями Доказательство. Можно написать ЕД)В= Е Е 1= Е Е 6 и (с,, .... с„)со'" („, с,)6К" )6~л Для п-набора (с„..., с„) Е Ц все многочлены степени (й г« )'(х„..., х„) =- ~~) аг ..., г„х( ... х, Ейв, обладающие свойством 7 (с„..., с„) — -- О, можно получить, выби- ( рая произвольно коэффициенты аг , ,г, О < ), + ...+ ('„ ~ й,, а затем определяя свободный член ао, о так, чтобы 7 (с„..., с„) =, = О.
Таким образом, число многочленов 7' ~ ьал, удовлетворяю-, щих условию г (с„..., с„) =- О, равно о" (л)-<. Поэтому Е Д(У) =у"у"'" '=!1) )у"-' ) с ил и искомый результат установлен. П Полиномиальное уравнение от и переменных имеет, таким об-,) разом, в среднем о" ( решений в К,". Найдем теперь среднее ква-' ", дратичное отклонение от найденного среднего значения. 6.17. Теорема. В обозначениях, введенных выше, имеет место" равенство (дг (г) у«-))о г(«-( <(«-о ! )йи( )си Другими словами, среднее квадратичное отклонение от среднего! значения (1 ) числа решений в Ц уравнения Г (х„..., х„) = О)) (где 7' — многочлен положительной степени «(й от и переменных", над полем К ) равно д«-( — у -'.
е Док зательство. Вводя обозначения Ь = (Ь„..„Ь„) Е К~ н;,' с =- (с„..., с„) Е г", можно написать Х )ЧВ'= Е Е 1'=Е Е Е )Еал )6ои с6)г«)6оо ь6<Г«сЕЦ ) (с)=-о ) <ь)=о ) <с)=о Е Е 3 ь, ссв' )сол Г (ь)=) (с)=о Если Ь = с, то из доказательства теоремы 6.16 мы видели, что внутренняя сумма принимает значение г) <л)-', если же Ь чь с, то равенства Г (Ь) = 7 (с) = О приводят к системе из двух линейных уравнений ранга 2 относительно коэффициентов много- $2. Киадратилиые формы 341 ЧЛЕНа ).
УКаЗаННая СИСтЕМа ИМЕЕТ д 1л1-' рЕШЕНИй. ОтСЮда СЛЕ- дует, что Е Ь)О= Е ~а,И-+ Е ~а.И = 1 6 иа с 6 1гл «62'л л Р Ьл с лл)Я ~~! +,1л()л. ]) ~Я ~()-2— ~ я ~ (,,тл-т + дл-1 ул-т) Применяя полученное равенство и теорему 6.16, получаем Е ФУ) — (1 ')'= Е й1(1)'-2~ -' Е дай+)'"-' Е 1= 16 ил 16ог 16 оа 16 оа ~ (дал-а +,~л-~ дл-т) 2,1л-1 ~ 11 ~,1»-~ + )ел-т ~ 11 и тем самым результат установлен. и Таким образом, среднее значение квадратичного отклонения (1У ()) — д"-т)а равно ~)"-т — дл-а. Можно поэтому ожидать, что в большинстве случаев величина ~ Ь( (1) — д"-'~ имеет поря- дОК д<л-'1/'. В ПОСЛЕдуЮщИХ ПараГрафаХ МЫ ВСтрЕтИМСя С ПРИМЕ- рами, подтверждающими такое предположение.
В 2. Квадратичные формы Квадратичной формой (от а переменных) над полем К называется однородный многочлен1 степени 2 из кольца Кр (х„..., х„) или нулевой многочлен. Если число д нечетно (а этот случай представляет особый интерес), то смешанные члены Ьмх,хт (1 ~ 1 < 1 1 <1~( и) можно пРедставить в виде — Ьгтх;хт+ — Ьнхтхо что приводит к представлению 1(х„..., х„)= ~~ аых1х;, где ам=ад, ь 1=~ для любой квадратичной формы 1 над Г,. Тогда мы сопоставляем с 1 квадратную матрицу порядка п ам ааа ...
а,„ ( ) пм и~ ... и~~ алт ала ... алл Гл. 6. Уравнения над конечными полямн 342 Матрица А называется матрицей коэффициентов квадратичной:4 формы Г" (или просто матрицей квадратичной формы )). Если ''*. транспонированную к матрице М матрицу обозначить симво- ':'," лом М', то в данном случае окажется, что А' =- А, т.
е, ма- .' трица А симметрическая. Если через х обозначить вектор-стол-," бец из переменных х,, ..., х„, то легко видеть,что квадратичная 1 форма ) представляется в виде матрицы х'Ах (т. е. Г (х') = х'Ах).,~~ б.18. Пример. Рассмотрим квадратичную форму Г (х„х,) == 2х,' + х,хе + х. 'от двух переменных (так называемую бинарную квадратичную форму) над полем Ь",. Матрица коэффициентов" квадратичной формы 1 равна А=( х Ах=. (хь х»)) ) ( ) =2х~+х|хв+х».=1(хь хе).
()' 3 1;,х,, Если à — квадратичная форма над полем Г» и Ь ~ Е», ти'' для числа решений уравнения Г (х„..., х„) =- Ь в Ц удается уста;;,, навить явную формулу. Для получения этой формулы мы сначала'.", с помощью линейного преобразования переменных приведем"' квадратичную форму Г к простейшему виду. Линейное преобразо";,,'- вание переменных зададим матричным равенством х =- Су, где С вЂ”,~; квадратная матрица порядка л над Е», и у — вектор-столбец:. из новых переменных у„..., у„. Если матрица С певырождениа,'!', то соответствующее линейное преобразование тоже называется;.';,: неварожденным. 6.19, Определение. Две квадратичные формы ) и д над про-",".; извольным фиксированным конечным полем Е называются экви-,',„ валентными, если Г может быть переведена ад с помощью невырож- " денного линейного преобразования переменных.
Нетрудно убедиться в том, что эквивалентность квадратичных форм действительно задает отношение эквивалентности (т. е. обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности), Кроме того, если квадратичные формы Г и д эквивалентны, то для любого элемента Ь ~ Е» уравнения ) (х„..., х„) = н = Ь и д (х;, ..., х„) =- Ь имеют одно и то же число решений в К» (ввиду того, что матрицу С можно использовать для задания взаимно однозначного соответствия между векторами-решениями этих двух уравнений). При нечетном числе д матрицы коэффициентов А и В двух эквивалентных квадратичных форм 1 и й' над Г связаны соотношением В = С'АС, где невырожденная э 2. Квадратичные формы 343 матрица С задает соответствующее линейное преобразование переменных (так как)'(х') = х'Ах = (Су)' А (Су) = у'(С'АС) у = = у'Бу = у(у')).
Сначала мы изучим подробнее случай, когда число о нечетно (т. е, поле К» имеет характеристику р > 2). Покажем, что каждая квадратичная форма над К» эквивалентна некоторой диагональной квадратичной форме а~х1 +...+ а„хт над К». Будем 2 пользоваться следующей терминологией: квадратичная форма ! иад полем К» представляет элемент а Е К», если уравнение ! (х,, ..., х„) = а имеет хотя бы одно решение в Гр.
6.20. Лемма. Если о нечетно и квадратичная форма от п переменных ! ~ Г» (х,, ..., х„) при и > 2 представляет элемент а С К», то ! эквивалентна квадратичнои форме ах»+ + д (х„..., х„), где д — некоторая квадратичная форма над К» от и — 1 переменных. Доказательство. По предположению существует и-набор с' = ==- (с„..., с„) Е Ц, для которого ! (с,, ..., с„) = а. Поскольку а че О, то не все с, равны О, поэтому можно найти невырожденную пхп-матрицу С над К», первый столбец которой состоит из элементов с„..., с„(т.
е. равен с). Если применить к квадратичной форме ! линейное преобразование переменных, задаваемое матрицей С, то получим квадратичную форму от новых переменных у„..., у„, у которой коэффициент при у', равен ) (с„..., с„) = а (так как в матрице В = С'АС = (Ьы) элемент Ь„равен с'Ас = = ! (с') = а). Это значит, что ! эквивалентна квадратичной форме вида ау»1 + 2Ь»у,у, + + 2Ь„у,у„+ й(ум ..., у„) = = а(у, +Ь,а 'у,+ ° ° + Ь„а ту„)в+у(уа, ..., у„) для подходящим образом подобранных элементов Ь„..., Ь„Е К» и квадратичных форм й и д над К». Невырожденное линейное преобразование х, = у, + Ь,а 'у, + . + Ь„а 'у„, ха = ум ...
х„ = у„ приводит тогда к квадратичной форме требуемого вида. . () 6.21. Теорема. Каждая квадратичная форма над полем К», где д нечетно, эквивалентна некоторой диагональной квадратичной форме. Доказательство. Применим индукцию по числу и переменных. Если п = 1, то квадратичная форма ! (хт) = апх(~ уже диагональна.
Пусть теперь и ) 2, и предположим, что утверждение теоремы справедливо для квадратичной формы от и — 1 переменных. Пусть ! (х„..., х„) — квадратичная форма от и переменных. 344 Гл. 6. Уравнения над конечными нолямн Теорема верна, если г — нулевой многочлен. Если же ! ~ О, то либо! имеет некоторый коэффициента;; Ф О и тогда она представляет элемент пи, либо все а;; равны О, ! =- 1, ..., и, но найдется такая пара (С 1), 1 ~ ! < !' ~ и, что аы = аи ~ О, и тогда Т представляет элемент 2аы Ф О, так как при с; =- сэ = 1, с„ = О ' для всех й Ф С 1' получаем !"(с„ ..., с„) =- 2аы. В любом случае ~.
представляет некоторый элемент а, Е К,, так что! эквивалентна ' квадратичной форме а1х1 + а (х,, ..., хн) согласно лемме 6,2О, По предположению индукции д эквивалентна некоторой диагональ- ' ной квадратичной форме аяхя +...+ а„хао так что ) эквивалентна ' диагональной квадратичной форме а1х~ +...+ 'а„х„. (:) „" Если квадратичная форма ! Е Г (х„..., х„) эквивалентна',."', диагональной квадратичной форме а~х~ +...+ а„х„, то может ока4 заться, что некоторые из коэффициентов а; равны нулю. Посколькуй умножение какой-либо матрицы на невырожденную матрицу нв": изменяет ранга исходной матрицы, то матрицы коэффициентов эквивалентных матриц имеют один и тот же ранг.
В частности„„' число ненулевых коэффициентов а; в полученной выше диагональ". ной квадратичной форме совпадает с рангом матрицы А коэффи, циентов исходной квадратичной формы !. Если матрица А имееФ'- ранг, равный ее порядку и, то квадратичная форма ! называетс!Ге невырожденной. Назовем определителем (детериинантолг) де1 квадратичной грорлчы !" определитель матрицы ее коэффициенто Тогда для невырожденности квадратичной формы ! необходи и достаточно, чтобы де1 (!) ~ О. Отметим одно полезное соотношение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
