Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 74
Текст из файла (страница 74)
5.69. Доказать, что сумму Эйзенштейна (см. предыдущее упражиеияе) можно также задать равенством ртР(2) 6(т~ Хг) С(6. Р,) где Х! и р, — канонические аддитивные характеры полей !Г и !Г, соответственно, з 1* — ограничение характера ф на 1Гр. (Указание. Использовать соотношение Гл. 5. Тригонометрические суммы (5.16) н свойства сумм Гаусса.) для случая же„ когда зр" — нетривиальный,'; характер, доказать, что Е (»Р) можно записать также в виде р(2) а(у, рг) б(Р' Х) 5.70. Для элемента а конечного поля Го н мультипликативного характера ф; поля (Г ю где з 6 р), определим обобщенную сумму Эйзенштейна Е (»р1 а) равен ством Ез (»Р а) ~ »Р (а) Тг»а)=а где суммирование распространяется на все элементы а 6 К ,, для каторгу ТгГ и (а) = а. Доказать, что сумма Эйзенштейна является также и обобщен,' ч'» ч ной суммой Эйзенштеина, так как Е (ф) = Е, (»р; 2).
5.71. Пусть Т вЂ” множество всех элементов а 6 (Г, для ноторык;. о ч' Тгк ю (я) = О. Доказать, что множество Е элементов (3 6 К и обладающих„ ч'Д о »г свойством ай 6 Т, для всех а 6 Т„, совпадает с полем К». 5,72. Доказать, что обобщенную сумму Эйзенштейна Ез (»(»; а) можно такнф.", задать равенством з. (р. ) Ч»р(а)б(»р ул) 6(Р. рт) где )(» н р, — канонические адднтнвные характеры полей К и Г соответственно;,' ':у. а зр — ограничение характера»р на )Гч. (Указание. Использовать соотношений' (5.16), упр.
5.71 н свойства сумм Гаусса.) Для случая же, когда»Р* — петри,. виальный характер, доказать, что Е, (»Р; а) можно записать также в виде "Р(а) б(»Р Рт) з ('р уд) 5,73. Доказать равенства Еа(»(»р; и) = Ез (»(»; ар), Е, (»ра; а) = Ез(»р; а), где р — характеристика соответствующих полей К н Г,. л~ 5.74.
Доказать, что если а Г Гч н»р — нетривиальный мультипликативный' характер поля )Г „порядок гл которого делит чисто д+ 1, то имеет местй,, равенство ина — г — \ ум (Указание. Применить теорему 5.16 Штикельбергера.) 5.75. Пусть»)» — иультнпликативный характер поля К и»р* — его огра.'. Б ничение на Кч. Доказать, что если характер зр" нетрнвиален н а 6 Го, то ( Е, (зр),' а) (= ум '1 з.
(Указание. Воспользоваться результатом упр. 5хй) 5.76. Доказать следующее свойство суммы Эйзенштейна: если ограничение зр», мультипликативного характера»р поля Гр, на Г" является нетривиальным ха-", рактером, то Е (р)а у (зр, 'р) Е(»Р') 7(»Р' »Р') Упражнения 5.77.
Доказать следующее свойство обобщенной суммы Эйзенштейна: если огРаинчеииЯ лР!", ..., льь' мУльтипликативных хаРактеРов лР!, , 5РаполЯ К иа К' рв р нетривиальны, то для любого а Е Кр справедливо равенство Вл (лрх; а)... Е, (лрз, а) 7 (лрт, ..., лрь) Б,(лР ... льь, 'а) 7(лР;, ..., 5Р') если а=О, Ьчьб, если аФО, Ь =О, если а = Ь = О. (0(ь) а(0, х). К(р, 73 а, Ь) = ~ лр(а) О(тр, Х), О(лР, Хо) 5.84. Доказать, что если Ч вЂ” квадратичный характер поля К нечетной хапактеРистнки и а, Ь Е Кр, пРичем Ч (аЬ) = — 1, то К (т), Х; а, Ь) = 0 длЯ лю55ого аддитнвного характера Х поля Кр. 5.85.
Доказать, что если Ч вЂ” квадратичный характер поля Кр нечетной хзРактеРнстнкн и а, Ь Е Кр, пРнчем аЬ = л( длв некотоРого л( Е КР, то дла каждого аддитнвного характера Х поля Кр имеет место равенство К (Ч, Х; а, Ь) = Ч (Ь) О (Ч, Х) (Х (23) + Х ( — 2лй). (Указание. Использовать соотношение (5.!6) и теорему 5.47.) 5.88.
Доказать, что если Х вЂ” нетривиальный адднтнвный характер поли Кр нечетной характеристики, Ч вЂ” квадратичный характер, а лр — мультнплнхатнвиый характер порядка ие менее 3 того же поля, то для а, Ь Е К, Ь Ф О, имеет место равенство 'Р( (Ч Х) Х (с) (лрЧ) (с' — 4аЬ). лр(4Ь) О (Ч, Х) О(ЬЧ, Х) Лз сЕ Кр 5,87. Показать непосредственно, что Н, (а) =- Н! (!) для любого а Е1Г", где Р нечетко и Нл(а) — сУмма Якобсталп (см. опРеделение 5.49). Вычислить 5.78.
Доказать, что если ограничение 5Р" иа К' мультипликативного характера лр поля К, является нетривиальным характером, то Е (лрл ! ') = — 7 (лр*,Чр), где Чр — квадратичный характер поля К,. 5,79. Доказать, что суммы Клостермана (см, определение 5.42) обладают свойством К(х; а, Ь) =- К (х; Ь, а) для всех а, Ь Е Кр. 5.80. Доказать, что если а, Ь Е К н хотя бы один из элементов а и Ь не раасн нулю, то К (Х; а, Ь) = К(х; аЬ, 1) = К (Х; 1, аЬ).
5.81, В обозначениях теоремы 5.43 доказать, что К (Х; а, Ь) -! К(Х(ч); а, Ь)+ 44К(Х1з1; а, ь) = — брз для а, ЬЕКр. 5.82. Пусть Кр — пале нечетной характеристики, 1 и а — квадратные чногочлены иад К н х — нетривиальный аддитнвиый характер поля Кр. Выразить сумму ~~ ~Х (1" (с) а (с) л) через суммы Клостермаиа (здесь с пробегает все с элементы поля К», для которых и (с) Ф 0). 5.83. пусть 5Р— мультин.
пкативный, а х — адднтивный характеры поля Кр н а, Ь Е Кр. Определим обобщенную сумму Клосщермана равенством К(лР, Х; а, Ь) = ~~~ лР(с) у (ос+ Ьс л). сЕКр Доказать, что если аЬ = — О, то такая сумма сводится к сумме Гаусса в следующем смысле: 328 Гл. 5.
Тригонометрические суммы затем сумму ~~ ~нт (а) н, таким образом, получить другое доказательство пбйч того факта, что Н, (а) =- — 1 для любого а Е йч. 5.88. Пусть и Е К вЂ” нечетное число и т) — квадратичный характер поля 9' 3 а .',* нечетной характеристики.
Доказать, что для любого а Е т"ч имеет место ранец.';" ство Н () = Ч() 7.( ') — 1, где Н„(а) — сумма Якобсталя, а )н(а) определяется равенством (5.68). (Злись'. чание. Вто снова доказывает, что Н, (а) = — 1 для любого а Е (Г",) 5.89. Доказать, что для нечетного и Е 9! н любого а Е "г'ч, где д нечетнпн,', имеет место равенство !а„ (а) = т!(а) Н„ (а т) + Н„ (а) + т)(а). '1,:,' 5.99. Доказать, что если а Е Кч, где д = 3 (пюд 4), то Уа (а) = — 1.
5.91. Пусть Р— такое пРостое число, что Р ж 1 (пюд 4). Доказать, чгп ( — 1+ 2А, если р = — 1 (гпоб 8), )а( — 1) = ( — 1 — 2А, если Р = 5(глоб 8), где А определяется условиямн р .=. Аз+ Вз, А, В р у„А ж — 3 (глод 4), 5.92. Найти разложения в непрерывные дроби (см. рассуждение пера)йз леммой 5.54) рациональной функции (хь+ хз+ х + х)/(хз+ х'+ ха+ хз+ 1' над полем Кз н рациональной функции (х' — хз — ха+ ха — хз — !)/(ха — хт — хз+ 1) над полем Кз. 5.93. Доказать, что если миогочлены Р; н !7! определены равенствами (5.747', н (5.75) соответственно, то справедливы равенства РА! ° — Р; з();=( — 1)гАО 1=1,, .., з 5.94. Доказать, что тго !! бей ( — — — ) = — бей(!с !сгм), 1=0, 1,..., з — 1, (,, )!)= ! 1+ где Р; и !7! определены равенствами (5.74) и (5.75) соответственно.
5.95. Доказать, что рациональные функции Рг)О!, где Р; н !3! определе равенствами (5.74) н (5,75), наилучшим образом приближают рациональиу, фУикцню гз/г, в том смысле, что если Нй — такаЯ РациональнаЯ фУнкции н полем )Г, что для некоторого 1, О ( 1 ( з — 1, имеет место неравенство б 8 ( —" — — ) ~ бей ( —" — — ') то бей (8) ~ бей (!7!+,). Глава 6 Уравнения над конечными полями Мы рассмотрим здесь полиномиальные уравнения вида (, (х,, ..., х ) = ~, (х„..., х„), где ~„~, Е Гч(х„..., х„).
Под числом решений такого уравнения в множестве Р" мы будем понимать число различных и-наборов (сь ..., с„) ~ Г", для которых (1 (с1 " с ) = )х (с1 ..., с„). Указанное уравненйе часто представляют в следующей эквивалентной форме: ~ (х„..., х„) = О, где ( = — )', — ~,.
В некоторых частных случаях удается указать точные формулы для числа решений, но в общем случае приходится удовлетвориться оценками. Далее мы встретимся с примерами результатов каждого типа. В первом параграфе приводятся некоторые классические теоремы о числе решений полиномиальных уравнений, такие, как теоремы Кенига — Радоша, Шевалле и Варнинга. Здесь устанавливаются также элементарные верхние границы для числа решений и некоторые результаты об ожидаемом числе решений. Второй и третий параграфы посвящены специальным классам уравнений, а именно'квадратичным и диагональным уравнениям соответственно. Оказывается, что очень полезным инструментом при изучении этих уравнений являются тригонометрические суммы. Для квадратичных уравнений важную роль в облегчении нахождения числа решений играет теория приведения квадратичных форм к диагональному виду. В четвертом параграфе будет продемонстрирована зависимость между оценками для числа решений некоторых уравнений и оценками для сумм значений характеров.
Изучение уравнений вида у" =- Г (х) и уч — у = ~ (х) приводит к завершению доказательства важных неравенств для сумм значений характеров, рассмотренных в й 4 гл. 5 (см, теоремы 5.38 и 5.41). Методы, применяемые для исследования указанных уравнений, довольно сложны, но элементарны в том смысле, что не связаны с алгебраической геометрией и не требуют глубокого знания теории полей алгебраических функций. и 1. Элементарные результаты о числе решений Мы начнем с простейшего случая, а именно с полиномиального уравнения от одной переменной. Пусть ~ ~ Рч (х! — много- член положительной степени от одной переменной.
Рассмотрим 330 Гл. 6. Уравиеиия иад коиечимми полями уравнение 1 (х) = О. Решениями этого уравнения в поле !Гч явь'.' ляются все различные корни многочлена )', лежащие в этом йолед н только они. Как мы видели в ч 3 гл. 4, многочлен НОД () (х), хч — х) является делителем многочлена 1, все корни которого' просты, причем это в точности все различные корни многочлена Г,' лежащие в Кч.
Поэтому число решений уравнения 1 (х) = 6::" в поле Кч Равно степени многочлена НОД (1(х), хч — х). Что же;. касается фактического отыскания этих решений, то мы отсылаем';,.', читателя к 3 3 гл. 4. Для определения числа решений уравнения 1 (х) =- 0 в поле ~„'! можно также использовать теорию матриц. Поскольку вопрос:.' о том, является ли нуль решением этого уравнения, выясняете[г':. тривиально, то достаточно рассмотреть лишь ненулевые решения„ этого уравнения. Этими решениями являются корни многочлена.„ НОД (1 (х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
