Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Если квадратичн формы ) и д эквивалентны, причем !" переводится в д с помощь невырожденного линейного преобразования переменных с м трицей С, то из равенства В = С'АС, связывающего матрицы коэффициентов А и В квадратичных форм ! и а соответственн сразу вытекает равенство де1 (д) = де! ()) де1 (С)'. (6.3)'; Для ненулевой квадратичной формы г а з' (х, ) валентная ей диагональная квадратичная форма может быть за--ч., писана без ограничения общности в следующем виде: а,х', +... й 2 ., + аяхы где 1 ~ й ~ и и все ао 1 = 1, ..., й, отличны от нуля.
'у Поскольку для любого Ь Е Гч число решений уравнения а1х~~ +...,''. „,+ аяхя —— . Ь, лежащих в г„является увеличенным в а 2 ч ч-Й 1 я раз числом решений того же уравнения в К„то в дальнейшем !. достаточно изучить лишь случай й = и, т. е. случай невырожден- ") ной квадратичной формы. В дальнейшем исследовании весьма полезными окажутся вво-, '. димая ниже функция и некоторые ее простейшие свойства.
$2. Каадратичиые формы 6.22. Определение. Пусть Кч — произвольное конечное поле. Определим целочисленную функцию о (х) на Гч условием — 1, если ЬЕЦ, о(Ь) = д — 1, если Ь=О. 6.23. Лемма. Для любого конечного поля Кч справедливо ра- венство ~'„о(с) = О, с с т" (6.4) и для любого Ь Е К имеет место соотношение где сумма распространяется на все с„..., с Е Гч, такие, что с, +...+ с = Ь.
Доказательство. Равенство (6.4) тривиально. Далее, для любого я, 1 ~ й < т, о (ст) ... о (сь) = с,+".+. =ь — о(с,) ... о(сь) ~„1 = сс ° ° ° сь С $ сь+ + .+сщ — — ь-с —...— са = ущ-ь-' ~~ о(с,) ... о(сь) = см ..., се6[Ре =ощ-ь-' ( ~, о(ст)) ... ( ~~ ~о(сд)) = О о (с,) ... о (с ) [о (с +,) + 1[ =— с +...+сщ+сщ+ — — Ь Е о(ст)... о(с„)[о(Ь-с,—" — с„)+Ц = см .... сщсь" = а[ ~ о (с,) ... и (с ). с,+...+ =ь согласно (6.4). Если же й = т в (6.5), то применим индукцию по т. Случай т = 1 тривиален; допустим, что формула верна для некоторого т )~ 1. Тогда в силу первой (доказанной) части (6.5) о(с,) ...
о(с„)о(с „) = сс+...+с +с Гл. 6. Уравнения над конечнымн полями 346 Справедливость последнего шага вытекает из того, что выражение в квадратных скобках равно нулю, если с, +...+ с ~ Ь, и ' равно о, если с, +...+ с„, = Ь. Остальное вытекает из предположения индукции. (:); В дальнейшем мы часто будем использовать обозначение й1 (...) для числа решений уравнения, указанного в скобках, лежащих в декартовой степени основного конечного поля, учиты-:, вая лишь те переменные, которые на самом деле входят в уравнение.
Так, Ж (а,х', + а,х., '= Ь) обозначает число решений указан-; ного уравнения в К . Теперь продолжим изучение квадратичной формы ~ над полем гч при нечетном д. Как мы видели, достаточно найти число "1 решений )у (Г'(х„ ..., х„) = Ь) уравнения, указанного в скобках, '1 для невырожденной квадратичной формы Г. При этом будем различать случаи четного и нечетного и.
Рассмотрим сначала одно '! уравнение специального вида. 6,24. Лемма. Пусгнь т1 — квадратичный характер ноля Кч,~ нечетной характеристики, Ь Е Га и а„а, ~ Ц. Тогда У (а~хх~+а~х~ ~= Ь) = о+о(Ь) т1 ( — а,а ). Доказательство. Считая с, и с, элементами поля Кч, получим, .1 используя (5.37), соотношение Ж (а1х~ + азха = Ь) = ~л ~Ж (а~х~ = с~) )У (азха = са) = а +с. =Ь (1+ т1 (с~а~ ')3 (1+ т) (сааЫ') 3 = с„+а =Ь = д -4- т1 (аа) ~~ т1 (с,) + 41 (аа) ~~~ Ч (са) + 'Ь5ГЬ с,йГа + Ч(а,аа) Е т1(с1с,) = с,+с,=Ь .= о + т1 (а,а,) ~~ т1 (Ьс — с').
'51Га Теперь на основании теоремы 5.48 последняя сумма равна о (Ь) . т1 ( — 1), и, таким образом, результат доказан. П 6.25. Замечание. Полученный выше результат показывает, в частности, что уравнение а,х~ + а,х' = Ь всегда имеет хотя бы одно решение в Кр'. Но это можно было бы установить и следующим несложным рассуждением. Рассмотрим множества Я = = (а~с~1с1 Е г'4) и Т = (Ь вЂ” ааса1са Е Ка) при нечетном д; 347 й 2. Квадратичные формы их мощности ] 5 [ и ] Т[ равны (у + 1)/2. Поскольку [5[ + [Т[ > > (/, то 3 и Т должны иметь хотя бы один общий элемент, напри- 2 2 мер с. Тогда с = а,с, = Ь вЂ” агсг для некоторых с„сг ~ Гч.
Это значит, что а,сг + а,сг = Ь. Ввиду того что при четном (7 каждый элемент поля [(ч является квадратом некоторого элемента этого поля, замечайие тривиально выполняется и для случая четного (7. [:) 6.26. Теорема. Пусть /* — невырогкденная квадратичная форма от че/иного числа и переменных над полем [['2, где () нечетно. Тогда для любого Ь ~ гч число решений уравйения 7'(х„..., х„) = Ь в ге" равно д" + о(Ь)(/'" т) (( — 1)" '(2) где т) — квадратичный характер поля Гч и Л = ([е1 (/), доказательство.
Пусть а,хг( +...+ а„хг — диагональная квадратичная форма, эквивалентная /. Поскольку эквивалентным квадратичным формам / и д соответствует одно и то же значение т)(Л) в силу (6.3), а также одно и то же число решений уравнений / (х„..„х„) = а и а (х„..., х„) = а в [['с для любого а Е Е Гч, то УтвеРждениедостаточнодоказать длЯ УРавнениЯ а)х, +... ...+ а„х'„= Ь, где все а; отличны от О. Для т = и(2 и с„... ..., с ~ Тч из леммы 6.24 и соотношения (6.5) получаем /У (а)х) + . + а„х„ = Ь) = 2 2 2 2 У (а,х, + агхг =.
с)) ... Л/ (а„(х„(+ а„х„= с ) = с +...-)-сщ=ь [у+о(с,) т)( — а,а,)] ... [д+о(с )т)( — а„,а„)] = с +...+см — — Ь = (7" '()'" + т)(( — 1)" а, ... а„) ~„ о (с)) ... о (с„) = с,+...+с~=а -1 + (Ь) (с-гмг (( 1)ч/г„ [:] 6. 27. Теорема. Пусть / — невырог/гденная квадратичная форма от нечетного числа п переменных над полем Гч, где (/ нечетно. Тогда для Ь ~ [['ч число решений уравнения / (х„..., х„) = Ь в Ц равно и-1 [ (с-1)/2 (( 1)(ч-1)/2 ЬД) где т) — квадратичный характер поля Гч и Л = ([е1 (/').
Локазапгельсп(во. Как и в теореме 6.26, указанную формулу достаточно установить для уравнения а(х( +...+ а„х„= Ь, где 2 2 Гл. 6. Уравнения над конечными полями все а; отличны от О. Формула справедлива для а = 1. Для и ) 3 ' применим теорему 6.26 и получим при с,, с, Е [['ч У (а1х~ + . + а„х„= Ь) = У (а~х1 = с1) У (адхд + ° ° ° + а„х„= сд) = е +а =Ь Е [1+ Ч (с1а~)) . с +с =Ь [д" +о(са)д'" и д)(( — 1)'" и а, ... а„)) = = Ч" ' + )" 'Ч (а,) Е Ч (с,) + сдЕКе +д~" ~ Ч(( — 1) на, ... а„) Е о(с,)+ ЬЕГ, + д'" "'Ч (( — 1)'" "" а, ...
а„) ~~ Ч (сд) о (сд) = сд+~д=ь =-д" '+д'" ~'~'Ч(( — 1)ьч п~'ад ... а„) ~~ Ч (с)о(Ь вЂ” с), 'ь 'ЕГч где на последнем шаге мы воспользовались формулами (5.37) и (6.4). Теперь получаем Ч(с)о(Ь вЂ” с) = Е Ч(с)[о(Ь вЂ” с)+1) =)Ч(Ь), ес "и"е с с й', и результат доказан. П.': Дадим теперь еще одно доказательство теорем 6.26 и 6.27, д", использующее метод доказательства леммы 6.24 и свойства сумм:' Якоби.
Как и раньше, достаточно рассмотреть уравнение а,хд +.... + а,хд = Ь, где все а; отличны от О. Обозначим через дре тривиаль- !:, ный мУльтипликативный хаРактеР полЯ Гч, и пУсть дРд = Ч:) и У = У (а~х, +...+ а„хд = Ь). Тогда для с„..., с„~Кч У= Е У(а~х~~=с~) ... У(а„х„= с„) = Е Е (1+$~(с,а,')) ... (1+ф~(с„а,')) = е,+...+сп=Ь [фе(с,ад)+ф,(сда,Ц ... [ф (с„а„)+фд(с„а„)) = е +... +ся=ь з 2. Квадратичные формы ! ф,,(стат) ...
ф,„(с„а„) = ст+" ° +ее=в !т, °, Гв — — е ! ф!!(а!) ... ф!„(а„) ~'„ф!,(с) ... ф!„(с„) = к,, ..., г„=е ,+. "+.„=е ! ф!,(ат) .. Ф„(а )7в(ф!и ... ф!„). т!' "" !в=о В силу (5.38)„(5.39) и (5.40) в этой сумме остаются лишь два члена, а именно те, которые соответствуют и-наборам (т,, ..., т„), равным (О, ..., 0) и (1, ..., 1), так что Л! =!1" '+ Ч(а, ... а„)(е(Ч, ..., Ч), (6.6) где в сумму Якоби входит и экземпляров т1. Для Ь Ф О, применяя (5.38), получим У = 4«-! + т) (а, ...
а„) т1" (Ь) У(т), ..., т1). (6.7) Если п четно, то можно применить (5.44) и теорему 5.12 (1ч), и тогда для произвольного нетривиального аддитивного характера Х поля Кч получаем 7(ч,, ч) = — — ~(ч, х)" = — — Ф(ч, х)')"" = !! ч — (Ч ( 1) !1! = — ч Ч (( 1) ). о Теперь из (6.7) следует равенство У =д" — д!" и Ч(( — 1)"~ а, ... а„), что согласуется с теоремой 6.26 при Ь Ф О. Если же и нечетно, то из (5.43) н теоремы 5.12 (Ы) получим .7(ч, ..., Ч) =о(ч, х)-'=(о(ч, х) 1!"-О"=(ч( — 1)д)'"-"'= (ч !!!2 (( 1)(н-!)/2) (6.8) так что из (6.7) вытекает д( =а" !+а!" и!'Ч(( — 1)!" !!!тЬа, ... а,), что согласуется с теоремой 6.27.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
