Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 75
Текст из файла (страница 75)
хч — ' — !) (все они различны и принадлежат полю г ).,; Поэтому мы без ограничения общности можем считать, чтО;;.г йеи (1) ( о — 1. Кроме того, поскольку М вЂ” ' = 1 для любого )' элемента о ~ Ц, то ненулевые решения уравнения )'(х) = а, -1- а х+ ° -[-а ахч '+ а,хе — ' =-.= 0 в поле К совпадают с ненулевыми решениями уравнения (аа + а,) + а,х + + ач яхе ' = 0 в поле го, Таким образом, можно даже предположить (без огра-:. ничения общности), что г[еи (1) ( д — 2. у Рассмотрим теперь многочлен .а" ) (х) = а, + а,х + + ач ахг-' Е Г [х[, Сопоставим с этим многочленом следующую квадратичную мав':~, ' трицу порядка д — 1: а а, ..
. а , а,, А ~а аа . ач-я о (6.1) 'ь ач-я аа ' ач-$ ае-3 Такая матрица называется левой циркулянтной матрицей; в ней; каждая строка получается из расположенной над нею цикличе- "' ским сдвигом на один элемент влево. 6.1. Теорема (теорема Кенига — Радоша). Пусть )(х) = а,-[-а,х+ +ач ахч — ' ~ г [х). Тогда число ненулевых решений уравнения 1(х) =- 0 в лоле [[в,'ь равно д — 1 — г, где г — ранг матрицы А, заданной форму лой (б.1).
$ 1. Злеыеитариые результаты о числе решеиий Доказательство. Пусть 6„..., Ь,, — различные элементы группы К"; образуем из них матрицу Вандермонда 1 1 ... 1 ь, ь ... ь ь ь ... ь 2 2 Ь» ' Ь» ' . . . Ь» ' ! 2 ° ° ° » — ! ) Учитывая, что 6» — ' = 1 для каждого 'Ь Е К»', получим 1(6» !) ь;,у(ь,) 6»-'!) (6» !) ) (ь!) ь, ' Пь ) ь-,'!(ь,) ( (Ь2) Ь, '7(Ь») ь-2'1(ь,) 6 — (» — 2(р (! ) ! — и — 21~ (1 ) 6 — (» — 21» (6 1 Ь2' Ь 2 1 ь-,' ь — 2 — 1 ь — 2 ь у(ь„)...1(ь,, „) ь — (» — 2 — М ! и — (» — 2 — Л(! ь — (» — 2 — М! 6»! 2( и потому он отличен от нуля (поскольку выписанный определитель Вандермонда образован различными элементами Ь! '„...
..., Ь» ', к). Следовательно, ранг матрицы АВ равен (1 — 1 — Л('. Но матрица В невырожденна ввиду того, что все элементы Ь„..., 6 различны. Поэтому матрицы АВ и А имеют один и тот же райг. Итак, мы получаем, что г = (1 — 1 — Л(, или Л( = (1 — 1 — г. Если Л( — число ненулевых решений уравнения )' (х) = О в поле г», то можно считать, что, во-первых, Лl ((! — 2 (случай Л(' = (1 — 1 возникает лишь если А — нулевая матрица с г = О) и, во-вторых, что элементы упорядочены таким образом, что 1 (Ь!) ~ О для 1 ( !' ( (у — 1 — Л(' и ! (Ь!) = О для () — Л(' ( !' ((! — 1. Тогда элементы в последних Л( столбцах матрицы АВ все равны О. Следовательно, ранг матрицы АВ не превосходит числа (т — 1 — Л('. С другой стороны, главный минор порядка (1 — 1 — Л( матрицы АВ равен Гл.
В. уравнения над венечными ннлямн 6.2. Пример. Пусть!(х) =- 3+ х — Зха + 2х' Е Г ]х]. Тог "::. да соответствующая матрица А имеет вид 3 1 — 3 ! — 3 2 — 3 2 0 2 0 0 0 О 3 0 3 1 2 0 0 О 0 3 3 1 1 — 3 — 3 2 0 3 1 — 3 2 0 '%.1 Ь!ч-Па ! = у„,(йа)1= „=О. )=а Ь" — ! се= ~ с'= ~~ М~ с 6 !ге с с !р ° 1=0 6.4. Лемма. Пусть !' ~ !!'ч ]х„..., х„] — многочлен степени, меньшей чем п (д — 1). Тогда ~(сы ..., с„) = О. с, °... сиса', ее ранг г равен 6. Таким образом, по теореме Кенига — Радошд ~ уравнение ) (х) = 0 не имеет ненулевых решений в поле К,.".'1 А поскольку и нуль, очевидно, тоже не является решением этого ',,; уравнения, то уравнение ) (х) = О вообще не имеет решений 1:;„ в поле Г,.
Другими словами, многочлен ) (х) неприводим нади.' полем Перейдем теперь к многочленам от нескольких переменных,,:,а Некоторые элементарные результаты о числе решений уравне-:,~ ния ) (х„..., ха) = — 0 в !Р" удается установить для случая, когда ",ач число л переменных больше степени многочлена )' (степень много- ?; члена от нескольких переменных вводится определением 1.72).';й 6.3.
Лемма. Пусть й — целое неотрицательное число. Тогда „,':.". О, если й = 0 или й не делится на д — 1, ]а са = > ( — 1, если й > 0 и й делится на д — 1. Доказательство. При й =- 0 применяем стандартное согла- ';;:,",! шение Оа = 1; тогда утверждение тривиально( ~' с' =- у = О!а '„М )с ';,М Если й ~ !]4 и й делится на о — 1, то для любого с ~ гч имеем::~~~ са = 1, так что ~"„с" = ~" с" = д — 1 = — 1. Наконец, при;.'~',„.
счгр сна,; й ~ ач, не делящемся на д — 1, выберем в поле !Рч примитивный ')) элемент Ь. Тогда, применяя формулу суммы геометрической про- ':4 грессии, получаем й К Эзеыентарные результаты о числе решений Доказательство. Учитывая линейность, это равенство достаФз зч точно доказать для одночлена х,' ... х„", где й~ + ... + й < < и (д — 1). Из указанного неравенства вытекает существование такого 1', 1 ~ 1 ( и, что 0 ~ /гз < д — 1. ПоэтомУ сз " сч~$'» 1сзс!Г» ) )спи~'» з силу леммы 6.3. а 6.5.
Теорема (теорема Варнинга). Пусть 1 ~ !Г» (х„,... , х„! — много»лен от и переменных степени, меньшей чем и. Тогда число решений уравнения ~(х,, ..., х„) =- 0 в Г" делится на характеристику р поля Г». Доказательство, Рассмотрим многочлен Е = 1 —,г»-1, который обладает тем свойством, что Е (с,, с„) = 1, если )(сы ..., с„) =О, и Е(сы ...,с„) =О, если ~(с„...,с„)~0. Тогда р(сы ...,с„)=у, чч ь 1Г» (6.2) где Ж вЂ” число решений уравнения ) (х„..., х„) = 0 в г». С другой стороны, из условия дед ()) < и следует, что дед (Е) < < и (д — 1), поэтому из леммы бА вытекает, что сумма в (6.2) равна нулю.
Следовательно, число Ж, рассматриваемое как элемент поля Г», равно О, а это и означает, что Ф делится на р. Д 6.6. Следствие (теорема Шевалле). Пусть 1 Е 1» (х„.. ° ..., х„! — много»лен степени, меньшей чем п, причем)(0, ..., О) =- О. Тогда уравнение 1' (х„..., х„) = 0 имеет хотя бы одно нетривиальное решение в Г», т. е. существует такой п-набар (с,, ..., с„) Е Е Ц, (с„..., с„) »ь (О, ..., 0), что )' (с„..., с ) = О. Доказательство. Из условия ~ (О, ..., 0) =- 0 следует, что число У решений рассматриваемого уравнения удовлетворяет неравенству Ф ) 1. Применяя теперь теорему 6.5, получаем, что )у)~р)~2 1:) Заметим, что условие бей (Д < и в теореме 6.5 и следствии 6,6 является наилучшим возможным.
Сейчас мы построим такой много- член степени и от и переменных, для которого утверждения теорем Варнннга и Шевалле не выполняются. 6.7. Пример. Пусть и ~ К, и пусть (аы ..., а„) — базис поля Е = !Г „(как векторного пространства) над К . Положим » » ч-1 »/ »! 1(хь ..., хл) =- П (а', х, + + ач хл). / — — » 334 Гл.
6. Уравнения над конечными полями Так как элементы ао', ) = О, 1, ..., и — 1, сопряжены с а; атно.,". сительно К (см. определение 2.17), то коэффипиенты многочлена в' принадлежат полю То. Ясно, что йец ()) = и. Для произвольного ! п-набора (сы ..., сл) ~ Т" положим у = с,а, + ... + с„а„~ Е.. Тогда л-1 )'(С1, ..., С„) =-П(аОС1 )- +алел) = ;=о л-1 л-1 =- П (с,а,,— + слы„)о = П Уо == !ч)г~Т (У).
1:=О 1=О '1 Таким образом, равенство ) (с„..., с„) = О эквивалентно равен.',"; ству Мг,у (у) = О; последнее же имеет место лишь для элФ,'. мента у = О, т. е. при с, = ... = с„ = О. Это значит, что урана(, пение 7 (х„..., х„) = О имеет единственное решение (О, „,, фФ в Ко". Отсюда следУет, что длЯ многочлена 7 не выполнЯютсЯ н!йь,' утверждение теоремы 6.5, ни утверждение следствия 6.6. дф Теорему Варнинга и теорему Шевалле нетрудно распростра'1 нить и на системы уравнений. 6.8. Теорема. Пусть 1„..., ) Е !!о (х„..., х„! — такидо многочлены от и переменных, что йен ()'1) +...+ 1!ея (7 ) «' и,'" Тогда число п-наборов (с„..., с„) ~ Ц, для которых 71 (с„ ..., с„) = О при всех 1, 1 ~ 1 «т, делится на характеристику р"; поля г' . Доказательство.
Положим р=( — и') . ( -~.'-') и пРоведем длЯ этого многочлена Р то же самое доказательство1ьо1 что и в теореме 6.5. С;). 6.9. Следствие. Пусть ~ы „,, 7' ~ г [х„„., хл ! — такие'," многочлены от и переменных, что 71 (О, ..., О) =- О для всех а1',;,' 1 ~ 1 «т, и бей (71) +...+ 11ен (7 ) < и. тогда суа4ествует':,, ненулевой п-набор (с„..., с„) Е К", такой, что 71 (с„..., с„) = О, для всех 1, ! «1 «т. В теореме 6.! 1 мы покажем, что если в условиях теоремы 6,$'": соответствующая система уравнений имеет по крайней мере ". одно решение, то она имеет гораздо больше решений, Предвари" тельно введем некоторые обозначения и понятия. Пусть 5 — .: множество таких п-наборов (с„..., с„) ~ Ц, что 71 (с„..., с„) =" '.' = О для всех 1, 1 «1 ~ т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
