Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Будем через ! Т! обозначать мощ. 'л! ность (т. е. число элементов) конечного множества Т, так что,'г1 например', ! 5 ! — число решений в Ко" системы уравнений,. 5 !. Элементарные результаты о числе решений )1 (х„..., х„) = О, 1 = 1, ..., т. Напомним (см. З 4 гл. 3) понятие аффинного подпространства векторного пространства, под которым мы понимаем сдвиг некоторого надпространства этого векторного пространства. Под размерностью аффинного подпространства по определению понимается размерность соответствующего подпространства. Два аффииных подпространства назовем параллельными, если они получаются сдвигами одного и того же подпространства, 6.10. Лемма.
Пусть выполнены условия теоремы 6.8. Если йр! и Муз — два параллельных аффинных подпространства размерности д = дея()1) +...+ 1)ея(1 ) векторного пространства Г" над полем Гч характеристики р, то !)6; П Е)=)й. П ЕН ~р). Доказательство. Случай Я7! = %; тривиален, так что можно предположить, что ))у! чь )т'2. Произведя соответствующим образом подобранное невырожденное линейное преобразование (которое не может изменить степени многочленов ~,), мы можем добиться, чтобы аффинные подпространства Ж'! и В'2 определялись условиями 1( ! = ((С!, ° ° °, Са) ~ ГЧ !С! = С2 = ' ' = Сл В = О), %2= ((с1, ° ., са) ~ 2е!с!= 1, с2= ''' =с» л — 0) ° Рассмотрим многочлен 6(х1, ..., ха) = =( — 1)" "(х + +х + 1)(4 ' — !) .. (х ' — 1) степени (п — 11) (д — 1) — 1.
Зтот многочлен 6 принимает значение — 1 на аффинном подпространстве %'„значение 1 на йрз и значение 0 во всех остальных точках пространства Ц. Теперь положим Н = (1 — (1 ') (1- Г. ) О. Для многочлена Н имеем дед (Н) = с( (а — 1) + (и — д) (а — 1) — ! = = п(д — 1) — 1 <п(д — 1), при этом Н принимает значение — 1 на множестве Чу! П 5, значение! на 972 () 5 и значение О в остальных точках. Таким образом, Е Н(с„..., с„) = !Ж'2 П 3! — )Ф'1 П 3). ст, ..., сл ~ !Г 336 Гл. 6. Уравнения иад нонечными полями С другой стороны, на основании леммы 6.4 эта сумма равна нул Отсюда вытекает требуемый результат.
6.11. ТеоРема. ЛУсть 1„..., Г Е Кч (х,, ..., х„) — ток' многочлены, что е( = бея(Г,) +...+ бец Д ) < и. Если имее хотя бы один и-набор (с„..., с„) ~ Ц, такой, что 1; (с„..., с„) = О для всех т, 1 ~ 1 ~ т, то число й) таких ~-наборов удовлетвта!я,;, ряет неравенству М ) дп-в. Доказательство. Рассмотрим два случая.
В первом случае "':,'ат предположим, что существует хотя бы одно аффинное подпро.- М странство 97, размерности Д векторного пространства )" над по- ' '. лем Ко характеристики р, для которого ! Ж', Д 5(чЬ О (шоб р): В таком случае из леммы 6.10 мы получаем, что ! 1(ре П 5) чн -„ь О (шоб р) для каждого аффинного подпространства Ж'„параллельного )р„так что (Я7з () 5)» 1. Представим теперь множество 5 решений в Ц системы уравнений 1; (х„..., х„) =- О, 1 = 1, ..., т, в виде объединения попарно непересекающихся множеств: 5 = 0 ((р () 5), где 1(т" пробегает все у"-к различных аффинных подпространств, параллельных 1г", (включая соответствующее векторное подпространство). Тогда Осталось рассмотреть случай, когда ( Му () 5( —.:-. О (шоб р) для всех аффинных подпространств ЯУ размерности д векторного, „".' пространства Ц.
Так как по предположению Ф =- )5( )» 1, то существует йатуральное число й, 1 ~ й ~ д, такое, что длякаждого аффинного подпространства У размерности я имеет место ' сравнение ) 1Г П 5(: — О (шоб р), однако существует некоторое ' аффинное надпространство (У размерности я — 1, для которого '„' ) (у П 5) чй О (шоб р). Зафиксируем одно из таких аффинних .' подпространств У. Рассмотрим теперь все аффинные подпространства У размерности (е, содержащие (У. Число таких У равно ') л е — ~ „и-ен уча+...ч у т е-1 я Для каждого такого аффинного подпространства У рассмотрим !. теоретико-множественную разность и ~ (/.
Имеем ) ()с",(У) Я 5! ==. 1 1' Д 5 1 — ! (У Я 5 1 чь О (пин1 р), ') Каждан точка а С "ел ~,П однозначно определяет такое $', причем все д — Ч точек из У',0 определяют У. — Прим. перев. е Ф-1 $1. Элементарные результаты и числе решений 337 откуда следует, что [(Г~,У) [) 5! )~ 1. Поскольку множество у и все разности Г ~У образуют разбиение множества Гч", то У=[5[=[и П 5[+к[(1..~/) П5[> )~ дч-а + . + д + 2 > ои-", так как й ~ й. и 6.12. Пример.
Неравенство М )~ д"-и из теоремы 6.11 опять является наилучшим из возможных (даже для т =- 1) в том смысле, что для любых натуральных чисел й и и, й < н, существует такой миогочлен 7", ~ Кч [х,, ..., х„! степени с(, что УРавнение ~, (х„.„, х„) = О имеет ровно д" ~ решений в Г,".
Пусть многочлен а ~ ~ Е [х„..., хл) опРеделен так же, как многочлен 7" из пРимеРа 6.?, но число п заменена на й. Тогда положим 7', (х„, ..., х„) = =- д (х,, ..., хл), так что переменные хл„, ..., х„не входят явно в ~,. Теперь тем же способом, что н в примере 6.7, можно показать, что ~, (с„..., с„) = О в том и только том случае, если с, = ... ... = с„= О. Поскольку при этом с„„, ..., с„могут быть любыми элементами поля Кч, то уравнение~, (х,, ..., х„) = О имеет ровно у"-' решений в Г". (:) Нетрудно также найти некоторые элементарные верхние гра- ницы для числа решений уравнения ) (х„..., х„) = О.
Следующий результат можно рассматривать как обобщение известной тео- ремы о том, что многочлен от одной переменной степени й О имеет не более й корней (ср, с теоремой 1.66). 6.13. Теорема. Пусть 7" Е Кч [х„..., х„! — многочлен сте- пени с() О, Тогда уравнение 7" (х„..., х„) = О имеет не более йд"-' решений в Кр. Доказательство. Если й = О, то многочлен 7 является ненуле- вой константой, и результат тривиален. Если й = 1, то уравне- ние 7(х„..., х„) = а,х, + . + а„х„+ Ь = О имеет д" ' решений в Ц, так как по крайней мере один из коэффициентов а, отличен от О, так что соответствующая переменная х, однозначно определяется значениями остальных переменных (которые можно задавать произвольно).
Результат, очевидно, верен идля п=1, Таким образом, теорема верна в случае, когда а .- 1 или и — — 1. Далее будем продолжать двойной индукцией. Пусть п > 1, а > 1 и результат справедлив для ненулевых многочленов не более чем от а переменных степени, меньшей чем с(, а также для ненулевых многочленов менее чем от п переменных степени, ие 22 зак. мз ззз Гл. 6.
Уравнении над конечными полями превосходящей й. Докажем, что результат справедлив для произ-, вольного многочлена ? (х„..., х„) от п переменных степени й.:. Рассмотрим два случая. Случай ?. Многочлен ? (х„..., хп) делится на х, — с при не-, котором с ~ Кч. Тогда 7 (х,, ..., х„) =- (х, — с) д (х„..., х„), где й — ненулевой многочлен степени, равной й — 1. Используя, предположение индукции и элементарный подсчет, легко пока-, зать, что число М решений уравнения ? (х„..., х„) =- О, лежащих . в К", не превосходит числа о" + (й — 1) д" ' = йу" Случай 2.
Пусть многочлен )', (х,, ..., х„) не делится на х, — с ни при каком с Е Гч. Тогда ? (с, х„ ..., х„) — ненулевой много- ' член от п — 1 переменных степени, не превосходящей й, для лю-:, бого с ~ Кч. По предположению индукции уравнение Г(с, х„ ..., х„) = О имеет не более йд" ' решений в Ц '. Но поскольку суще-,' ствует д различных выборов элемента с ~ гч, то число М реше-: ний уравнения ) (х„..., х„) = О из Кр не превышает о йд" — йдп-1 (-) ь 6.14. Пример. Верхняя граница йу"-', полученная в теореме:' 6.13, может представлять интерес лишь в случае, когда й ~ д.г В этом случае граница может действительно достигаться. Рас.' смотрим, например, многочлен ) (х„..., х„) =- (х, — с,) (х, — с,) ... (х, — с„), где с„с„..., сл — различные элементы поля гя.
Степень много-." члена ? равна а, и легко видеть, что уравнение 1 (х,, „., х„) = О' имеет ровно ау" ' решений в Ц. (:),'' В соответствии с определением 1.?2 многочлен г' называется,.; однородным многочленом (или формой), если все его члены имекл" одну и ту же степень. Для такого многочлена положительной сте-",'. пени уравнение ? (х„..., х„) = О всегда имеет тривиальное ре-'; шение (О, ..., 0). Рассматривая нетривиальные решения (если они' имеются), можно для однородных многочленов получить неболь-'". шое снижение верхней границы, найденной в теореме 6.13.
6.15. Теорема. Пусть ? Е Г (х„..., х„) — однородный, многочлен степени й > 1. Тогда уравнение Г' (х„..., х„) = О имеет " не более й (д" ' — 1) нетривиальных решений в Г" Доказшпельство. Если либо й = 1, либо и = 1, то результат очевиден. Продолжим доказательство двойной индукцией, как и при доказательстве теоремы 6.13. Допустим, что п > 1, й > 1 и что результат верен как для непостоянных однородных много- членов не более чем от и переменных степени, меньшей чем А $ !. Элеыевтзрные результаты о числе решений 339 так и для непостоянных однородных многочленов менее чем от и переменных степени, не превышающей й.
Возьмем однородный многочлен ! (х„..., х„) степени й от и переменных и рассмотрим два случая. Случай 1. Пусть многочлен 1(х„ ..., х„) делится на х,. Тогда 1 (х„..., х„) =- х, д (х„..., х„), где д — непостоянный однородный многочлен степени, равной а — 1. Используя предположение индукции и алементарный подсчет, легко обнаружить, что число нетривиальных решений уравнения 1(х„..., х„) = 0 в Г" не превосходит числа ( з-~ Ц ~ (,1 Случай 2. Многочлен ) (х„..., х„) не делится на х,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
