Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 71
Текст из файла (страница 71)
работы Вгетчег [2], СЬочч(а 5. 16)][4 Рачепрог(, Наээе 1! ), Ечапз [21, [3), Наззе 115, сЬ. !О1, Нц4';; зоп, ЖППавз [! ), !ге!апд, Козеп [(, сЛ. !! ], !.еЬвег Е. [1,4'~ [41, [7], ) еопагд, ЖППавз [?], Мог!ауе [21, Ка)тчаг(е 131, [8[к(( 5!пяЬ, (4а)чгас(е 111, ФЬ!!евап 131, [6!, ФППавз К. 5. [3(ел'- и Андрианов [! 1, причем особенное внимание следует обратить[7 на работы Вегпг(1, Ечапз 111, 121, которые содержат полнук)г( информацию по данному вопросу. Некоторые сравнения по мотЬ дулю р для значений сумм Якобсталя для простого поля Ер быде[е! установлены в работах (.еЬвег Е. [6], ХазЬ!ег, Яа)тчаг(е П),и~.
'147Ь!(евап 16!. Якобсталь (ЗасоЬз(Ьа! (! 1) доказал для случа[[;,,"!, !йт) Коммеитарми зи простого поля (р„неравенство ] О, (а) ] < 2ры', а Човла (СЬоц!а 5, [111) показал, что в нем как постоянный множитель, так и показатель являются наилучшими возможными. Нижняя граница для числа шах (Н„(а)( была установлена Постниковым и Степановым 1! 1. Нижние границы для абсолютных величин сумм Якобсталя можно также получить из нижних границ более обшнх сумм значений характеров с полиномиальными аргументами (см. комментарии к 2 4). Для простых полей Кр Карацуба 19] показал, что равенство 1„(а) = р возможно для а Е Ц, а Постников и Степанов П ] показали, что равенство О„(а) =- р — ! возможно для а ~ Ц, в обоих случаях при условии, что п имеет порядок роста р!!од р.
Теоремы 5.5! и 5.52 показывают, что суммы Якобсталя тесно связаны с другими классическими тригонометрическими суммами, например такими, как суммы Якоби; см. также Вегпг(1, Ечапз 11 1, ЕеЬтег Е. 17! и 5!пнЬ, Яа]айаг(е [! ). Связь между суммами Якоб- сталя и так называемыми суммами Бренера рассматривается в статьях Вегпй, Ечапз 121, П!цб!с[, Мцз(га1, ЯоЫпзоп 111, [!оЫпзоп 5, Р.
1! 1 и %ЬИешап 1!31, (141, 1151. Обобщенные суммы ,Чхобсгпаля, т. е. суммы вида ),(с) 1р(с~ь+ а) где Х и Ф вЂ” нетривиальные мультипликативные характеры простого поля — К, рассматривались в статье %а1цш 1! 1. Двойные суммы Якобсталя появляются в статье (.е1ппег, Ее1нпег 1! 1.
Применение сумм Якобсталя, описанное в примере 5.53, содержится в статье ЗасоЬз!Ьа! [21. Доказательства того же результата имеются в работах Вегпс(1, Ечапз 111, Вцгг(е 141, СЬоч(а 5. [16, сЬ. 41, Назае 1!5, сЛ. !О] и %Ы!ешап 13], [61. Целые числа А и В из примера 5.53 появляются также в работах ВасЬ- гпапп 11, сЬ.
!О], СЛочг!а 5. (!6, сЛ. 5] и %Ы1ешап 161. Другие приложения сумм Якобсталя к квадратичным разбиениям простых чисел имеются в работах Вегпд[, Ечапз П ], [2], СЬоч!а 5. 15), 161, Нааае [!5, сЬ. !О], ЕеЬшег Е. [41, ЫазЫег, Яа)маг]е 111, Ра]ч'аг(е [31, ЯозепЬегн [! 1, чоп БсЬгц!(са [! ], %Ы1ешап [31, 161 и %!1!!ашз К. 5. [291, 130). Близкие к суммам Якобсталя суммы тоже полезны для нахождения квадратичных разбиений простых чисел; см, Вегпг(1, Ечапз 121, Вгеччег 121, [31 и %Ы1ешзп 14], [!31. Связь между суммами Якобсталя и циклотомией исследуется в статьях П!цб!с(, Мцз(са[, ЯоЫпзоп [11, Яа]ваде [31 и %Ы1ешап [31, 16], [141, а приложение сумм Якобсталя для выяснения вопроса о том, будет ли данный элемент вычетом, встречается в статье [.еопагг(, Мог!!шег, %1П!атз 111.
Карлиц (Саг!!!а 1501) применил суммы Якобсталя для нахождения числа ре- 3!6 Гл. 5. Трнгононнтрнчеснне сунны шений некоторых полиномиальных уравнений с числом перемен;~., ных, ббльшим двух, Андрианов [1! установил связь между зна-'„- чением 1, (1) для простого поля 'Г„и числом представлений числа !г,: в виде некоторой квадратичной формы от четырех переменнык!. см, также статью Фоменко [11, где получен близкий результат„, Теорема 5.60 доказана Дэвенпортом (Оанепрог! [10)), Лежа;~' щая в ее основе теория непрерывных дробей была развита еще,,' Артином (АгИп [1 1); о дальнейших результатах по непрерывным, дробям см.
также г]е МаГпап [ЗЕ В статьях Вацш, Янсее[ 11 1, 12)$ установлены важные результаты о непрерывных дробях над по-;": лем Г, при частичных дробях малой степени. В статье Ноцпс;;: г]опоцйЬо 11 ) изучается длина разложений рациональных функций:: в непрерывную дробь. Приложения алгоритма разложения в нег,:: прерывные дроби к теории кодирования рассматриваются в раба ',„' тахМИ!з [4], Кеег[, БсЬоИх, Тгцопй, 'йге!сЬ [11, Кеес, Тгцопй [4)н",. Кеес, Тгцопп, МИ!ег [3 ], ~Че!сЬ, БсЬоИх [1!и Гонца 111. Специальн"., ного вида непрерывные дроби для элементов поля [Г изучаютсз('' в статье ВогЬо 11). Среди тригонометрических сумм, содержащих квадратичныфд характер и, большое внимание уделяется так называемым суммаьГ[й Бреверн.
Рассмотрим многочлен Диксона дн (х, а) (см. (7.6ф',„;, над конечным полем Г, нечетной характеристики, где а (: Ц,'сР' и образуем сумму Бренера: Ф Лн (а) = ~~ г! (йгл (с, а)). гн]г н ']к Для частного случая а = 1 такие суммы были введены в статйе~".' Вгетнег 121, а для общего — в статье Вгенгег [3), Оказываетсй'„:~:;,', что Лл (а) = О, если НОД (е, а' — 1) =- 1 (см. СЬоч[а Р. [2"'~) а также следствие 7,17).
Значения сумм Бреверн при малых знк;,; чениях й можно найти в статьях ВегпгИ, Енапз [21, Вгеъег [2Цн 131, О]цгИс1, Мцз]са1, коЫпзоп !11, Ееопагг[, ЖИИагпз [4), цагь;: айаг[с [71, КоЫпзоп 5. Р. [! 1, ЪЪИешап 113), !141, [151 и Ж[й;,й Иашз К. 5. [351, причем статья ВегпгИ, Енапз 12) является осот)г бенно обильным источником таких результатов. В этих статьЩ::,' можно также проследить связь сумм Бренера с квадратичным](6 разбиениями простых чисел и с циклотомией, Суммы Бреверн '," связаны также с суммами Эйзенштейна, определяемыми в упр. 5.66;- ' которые были впервые введены в статье Е]зепз1е!п [51; см. также''! Вегпй[, Енапз 121, О!цгИс], Мцзйа1, КоЫпзоп 11] и йГЫ1ешап 115)::„ о связи между этими двумя типами сумм значений характеров.,„. Для сумм с квадратичным характером и произвольными полиномиальными аргументами Коробов [61 и Митькин [2) устано.
вили оценки, которые в некоторых случаях даже лучше оценок, Вейля из теоремы 5.41. Нижние оценки для абсолютных величии таких сумм были найдены Киижнерманом и Соколинским [11' -; Коммеитаряи З!7 и Митькиным [3), а для соответствующих неполных сумм— Степановым 11! ). Привлекает внимание случай, когда многочлен является произведением различных нормированных линейных сомножителей — в связи с распределением квадратичных вычетов; см,, например, Вцгг[е 14], Оачепрог! [! ), Наые 1!5, сЬ.
!01, НорЕ [1), Уашапсй [! ) и Виноградов И. М. [!ОЬ Относительно сумм значений квадратичных характеров с другими специальными многочленами см. работы В1гсЬ 121, СЬозч!а 5. 1!91, Эачепрог! [3 ), 01аоп 1! 1, Опо [3], Ка]ваде, Рагпапи' 1! ), КозепЬегд [1), Ба!!е 131, Уг!!!!ашз [36), [37), 1381, Абдуллаев 1! ], 12), Абдуллаев, Коган 1! ), Тушкина 1! ) н Фоменко 11). Перельмутер [!0), 11! ], [!2! дает оценки для кратных сумм с квадратичным характером. Связь между суммами значений квадратичных характеров и распределением квадратичных вычетов и невычетов по модулю р (нли, более общо, квадратов и неквадратов в Ьоле Ре) отражена в упр. 5.63 и 5.64.
По этому вопросу мы отсылаем также к работам Вегдиш, 3огг[ап 111, Витые 141, Эачепрог! [! ), 13), О!цг[!с! 1! ), Нагг[шап, Логг[ап [! 1, Наззе 14), [!5, сЬ. !О], Ног! [11, ЛоЬпзеп 111, Ка!а 14, сЬ. 1), Коц!з[гу [1), Ре!!еяг!по 11), Росс! [!1, бсЬгпЫ! %. М. [3, сЬ. 3], чоп ОгоззсЬш!д [!), Аладов [! ) и Виноградов И. М.
14). В теории чисел широко изучались и другие типы задач о распределении квадратичных вычетов и невычетов; см., например, работы Ап[гепу [! ), Вгапег А. [2], Впгяезз 1! ), Оачепрог(, Егг[оз 1! ), Бога [11, Е!!!оН 121, Нпа [12, э !4), Нпдзоп К. Н. [2], [3], [51, Реггоп [11, Байе 13], Виноградов И.
М. [3), Гельфонд и Линник 11, гл. 91 и Усольцев [1 Е О геометрическом подходе см, КаЬег 11) и Ка!з!оп 1! Ь В связи с вопросами, затронутыми в упр. 5.65 и 5.66, см. работы Вцгг]е 1! ), [31, 171, Оачепрог! [2], [7), 3ап!сЬеп [! 1, Коп!з[гу [2), Виноградов И. М. [б ), 1! ! ), Мороз 1! ) и Сегал 1! ), Брауэр (Вгапег А. 111, [3 1) доказал, что если заданы целые числа т, А ) 2 и комплексный корень ш-й степени из единицы е, то для достаточно больших простых чисел р, сравнимых с ! по модулю пг, и для любого мультипликативного характера ф порядка пг поля Гр найдется элемент с Е [Гр, для которого ф(с+ !) = е при всех ! = О, 1, ... ..., Ь вЂ” 1.
О близких результатах по распределению значений мультппликативных характеров, а также по распределению степеней по модулю р или степеней в конечных полях см. работы В!егэ!ед(, МШз [1), Вгацег А. 14], 15], Вг!!!Ьаг(, 1 е1ппег, 1еЬшег 1! ), Впгдезз 141, [61, [10), [!! ), СЬож!а, СЬотч!а 12), Опп!оп [2), Е!!!оН 11), [3), [4), [5), ОгаЬаш 1! 1, Нпа [!2, 9 !4), Нпбзоп Р. Н. [! ), 14), 15), 16], богдан Э. Н.
[! 1, [21, 141, !51, !.еЬшег, 1.еЬ- 'пег [2], 1.еЬгпег, 1 еЬ|пег, М!!!з [! ], !.еЬшег, 1.еЬгпег, М!!!з, Бе!!гЫке 1! ), Ме!зап)гу!а [11, М!!!з [2), Моп!погпегу 11, сЬ. !31, Ь[ог!оп [21, 131, [4], [5], [6), йаЬппд, догг[ап [! 1, ЯпдЬ [1), [5), ЯерЬепз [2], 5!ечепз Н. 1! 1, Яечепз, Ки!у [! ), Жана Ъ'.
318 Гл. о. Тригонометрические суммы [31, ЖЬуЬцгп [1), Бухштаб [11, Виноградов И. М. [2), [31,„ [7], !9! и Гельфоид, Линник [1, гл. 91. Комбииаторные свойств~' подгруппы группы Г", состоящей из ит-х степеней, рассматри ч ваются в работах Сатегоп, На!1, чап ] 1п[, Брппяег, чап Т[1.," Ьогя 111, Ечапз 15)„Мцз]са1, Б[гее1 111 и 81гее1, %'Ь]1ейеаг[ [11 Тригонометрические суммы, аргументами которых являются ' линейные рекуррентные последовательности, рассматриваются,",: в з 7 гл.
8. [В работе !чаган)ап] 11*1, продолжающей аналогичные иссив,,;:,' дования Берджесса (Впгдезз [6)), изучается распределение ств;: ленных иевычетов по простому модулю в полиномиальных пое] следовательностях. В работах Н1пг 11*1, 12'1, [3*1, 14*1 изу,'' чается распределение примитивных элементов по модулю про-; стого идеала в поле алгебраических чисел. Распределение последн~' вательных квадратичных вычетов и невычетов исследовалосвь,', Хадсоном (Нцг[зоп [1*1, [2* 1), Распределение значений символц Лежандра в конечном поле исследовалось в работе Оцегга, Щт[Ь [1" ). Коэн (СоЬеп [2* ), 13*1, 14* 1) исследовал вопрос о расприе).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
