Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Содержит сведения по этому вопросу и обзорная статья Веги<[1, Ечапз [41. Иптересен результат, полученный Эвансом (Ечапз [11): если Л— мультипликативный характер порядка й ~ 2 простого поля [Гр, то ни одна из степеней суммы Якоби а (Л, ..., Л)", где и — ненулевое целое число, не может быть действительным числом, если число аргументов суммы Якоби превышает 1.
Этот результат улучшает полученный ранее результат Екоямы (Ъ'о[<оуама [11). Если Л вЂ” мультипликативный характер порядка т произвольного конечного полЯ Гч, то сУмма Якоби У (Л', Л'), очевидно, является целым алгебрайческим числом из т-кругового полн ()<'и> над полем () рациональных чисел. Задача нахождения разложения главного идеала, порожденного этим целым алгебраическим числом в кольце целых кругового поля С<< <, в этом случае проще, чсм в случае сумм Гаусса. Она была решена Куммером для случая простого числа т в статьях Кипнпег [31, [61 и для составного т в статье Кшпгпег [71.
Современное изложение этих результатов см, также в книге [.апд [5, сЬ. 11 Сравнения для сумм Якоби 304 Гл. З. Тригонометрические суммы были получены Кронекером (Кгопес[сег 16 1) и Шверингом (5с[ччг г!пя [!1); см. также Рагпапн', Аягача), Ка!чуае[е [21. Как и суммы Гаусса, суммы Якоби рассматриваются и в друг разделах математики и ее приложений. Важность сумм Яко для полей алгебраических чисел стала очевидной после то как Вейль (%'е!! [71, !!01) показал, что из них получаются тж называемые характеры Ге)с[се (или гроссенхарактеры) абелев расширений поля О рациональных чисел; см также [)е!!дпе [4 и ).апя [5, с)т.
! !. Делинь (Ое!!япе 141) дает когомологическу ' интерпретацию сумм Якоби; см. также Ка!г [5!. В статье Ргб !!с)ч [! 1 рассматриваются так называемые якобиевы суммы Галу' и их разложение. Холл (На!! 171) определил суммы Якоби дл ' групповых колец над круговыми полями, Общую теорию су Якоби для конечных колец развил Лампрехт ([.агпргесЫ [31 см. также Ки!а[со [11. Оно (Опо 18!) ввел суммы Якоби для к ' вечных абелевых групп. В примерах 5.24 и 5.25 указаны два теоретико-числовы приложения сумм Якоби. Существует и множество других пр ' ложений.
Так, на суммах Якоби можно основать доказательс кубичного закона взаимности (!ге!апе[, Яозеп [1, сп. 91, 3о!у [4 Юе!! [1! 1), биквадратичного закона взаимности (Васйгпапп [[" сп. 13 1), а также высших законов взаимности (Еуапз 191, 1.еопаг. %!!!!ашз [61, (Чез!егп 111, %'!!!!ашз К. 5. 134!). Суммы Якоб можно использовать для установления критерия того, является данный элемент вычетом (см.
Вегпб(, Еуапз 1!1, Ечапз 161, На [!41, [.еопагд, Мог!!гпег, %1!!!агпз [!1, й(цз[са! [21, [31, [5 '1чгез!егп 121, %[ч!!етап !8 1). С помощью сумм Якоби можно полу чить результаты, аналогичные примеру 5.25; богатым источник ' таких результатов являются работы Вегпс[1, Еуапз [1!, 12 см, также !ге!апс[, Козеп [1, сп. 8] и 1еопап1, Ж!!!!ашз [2 Приложения сумм Якоби к проверке на простоту получен в статьях Ас[!егпап 1! 1, Ас)!етап, Рогпегапсе, Яшле!у [!! и Со)т [.епз1га 1!!.
В статьях Саг!Вх [76! и 1.ейгпег 1Э. Н. 191 сум Якоби применяются для изучения матрицы (~Р (! — /))1кь !ни-', где ф — мультипликативный характер простого поля Г . Ивисе (1чазатча 111) связал суммы Якоби с числами классов крутовы полей. Что же касается приложений сумм Якоби в теории конечн полей, то отметим, что они не только тесно связаны с сумма ' Гаусса, но появляются также и при изучении других тригои, метрических сумм; см., например, теоремы 5.51 и 5.52, а та статьи Вегпе[1, Ечапз [11, [21, 1.еопагс), %!!!!ашз [41, 5!п Йа)ечас[е 1! 1 и ЪЪ!!егпап 1!41. Приложения их к уравнени, над конечными полями будут рассмотрены в гл. 6. Отметим зд лишь тесную связь между суммами Якоби и так называем циклотомическими числами.
Если Ь вЂ” примитивный элеме. Комментарии ноля Г и е — заданный натуральный делитель числа д — 1, то циклотомическим числом (й, й), порядка г называется число упорядоченных пар (з, !), удовлетворяющих равенству 5"ж" + ! = (р"+а, 0 < з, ! < (д — !)/г. Связь между циклотомическими числами и суммами Якоби была замечена еще Куммером (Кппцнег [41, (61).
Большинство исследователей этой связи ограничились лишь случаем простого числа д; см,, например, НаП [71, МВсЬе[! Н. Н. [11, Муегзоп [51, Рагпапп, Лдгазча], Яа)иаг[е [31 и 51огег (21, [4]. Общий случай рассмотрен в статьях Ъапб!чег [14], [!7). О связи между циклотомическими числами и суммами Якоби см. также работы ВасЬ- рнапп (1, сЬ.
151, Вашпег[, Ргебг!с!гзеп [!1, Вегпб[, Ечапз [1], Вгпсй !21, О!с(гзоп [261, [441, [461, Ечапз, Нй!1 [1), [.еопагб, Ю!!!!агпз (51, Мпз[са! [41, [61, [7], Мцз[га1, ЮЬ!!егпап [11, БсЬзчег!пя ! ! 1, 5!огег [1], %Ь!!егпап [5], [91, [101, [1! 1, [!41 (см., кроме того, комментарии к $ 3 гл. 6 об оценке циклотомнческих чисел и об их связи с уравнениями над конечными полями). ! 1екоторые из приведенных работ имеют отношение также к теории разностных множеств. О приложениях сумм Якоби к этой теории см.
Вашпег[, Ргебг!с[свеи [! 1, Вегпг[1, Ечапз [! 1, Мепоп (21, Мизйа1, ЖЬ!!епзап [[1, 5!огег [11, ртЬ![егпап (101, (111 и Уагпан2о!о [31. в 4. Суммы значений характеров из теоремы 5.30, которые в силу этой теоремы тесно связаны с суммами Гаусса, иногда тоже называют суммами Гаусса. Их элементарная оценка, приводимая в теореме 5.32, получена Харди и Литтлвудом (Нагду, 13!Нечоод 13)) для простых конечных полей, а для произвольных конечных полей — в эквивалентной форме — Хуа и Вандивером (Ниа, Чанг[!чег [! ]); см. также БсЬгпЫ! ЪЧ.
М. [3, сЬ. 2). Не. которые улучшения удается получить, если брать числа п из определенного множества (см. Митькин [51). Эти суммы для небольших значений и удается вычислить; см. Вегпп[, Ечапз (11, (21, а также обзорную статью Вегпб1, Ечапз [4). Значения этой сзммы для п = 2 приводятся в теореме 5.33 и следствии 5.35. йиалогичные суммы значений характеров с произвольным и встречаются в аналитической теории чисел в связи с проблемой ооринга о представлении натуральных чисел суммами а-х степеней; см.
АуоцЬ (1, сЬ. 4], Ваггпсапс[ (11, Нате[у, ].!1![езиоой [21, [31, К!ооз1еппап (41, ).апбап (2, сЬ. 61 и УацйЬап й. С, 11, с!' 2, 41'). Теорема 5.34 доказана Карлицом (Саг!Вх 1120)). Теоремы 5.38 и 5.41 были получены Вейлем (Фе!! [5 1) на основе его доказательства гипотезы Римана для кривых над конечными В ррррр.а. 'уа. „*а„,р,, и р — п, 2О зан.
222 306 Гл. 5. Трнгонометрнческне суммы Как отмечалось в рассуждении, следующем за теоремой 5,38,„' условия, наложенные на многочлен 1 в этой теореме, могут бы ослаблены. Действительно, Карлиц и Утияма (СагШз, [)сЬ!уапц])' 11!) показали, что для справедливости теоремы достаточно, чтобьр многочлен 1 нельзя было представить в виде ав — я+ Ь, где а 1: Кд [х), Ь ~ Ьд и р — характеристика поля [Г . Для многое".„' членов же 1 такого вида полученная в теореме оцейка не обязав. тельно верна (см. снова рассуждение, следующее за этой теоревт мой).
Завершение нашего доказательства теоремы 5.38 в й 4 гл. й'.", покажет, что это связано с нахождением хороших оценок для.„ числа решений уравнения рв — у =- 1(х) в расширении поля ]['д~", Элементарный метод установления таких оценок принадлеж Степанову' ) [3), [5]; его упрощения получены Шмидта (50Ьп!81 ]Ч, М. [3, сЬ.
21) и Митькиным [11. Связь между та", кими оценками и теоремой 5.38 разъясняется также Шмидтозрд (80Ьш!81 ЪЧ. М. [3, сЬ. 21) и Постниковым 111. Оценка, авале[5"' гичная полученной в теореме 5.38, приводилась в качестве гиы потезы в статьях Наззе [51 и Могг[е!! [51. Ранее получены оценки для простых конечных полей имели вместо показателя Р сначала показатель 1 — 2' —" + е для любого е > О (см. Нагг[у,' 1 И11ечоог[ [11 и, с небольшим улучшением, Капйе 11]), а за 1 — !уп (Могде!1 [41 и, с небольшим улучшением, [)ачепрог! [4 Как общая оценка теорема 5.38 является наилучшей из возмовс ных согласно результату Шмидта (БсЬгп!б! ЪЧ.
М. [3, сЬ. 2 Другие нижние границы для абсолютных величин таких су значений характеров получены в следующих работах: Апс[егз 51!1![ег [11, Т[е1ача!пеп [21, Карацуба [51, Книжнерман, Сок ' липский [1], Коробов, Митькин [11 и Митькин [3). В ста Сачюг [3] определено число многочленов над простым полем г' для которых соответствующая сумма равна по абсолютной вел чине числу рые. Одони (Обои[ [11) получил один результат ', статистическом распределении величины ~ ~~ ч (Т (с)) ~г[ Чк, В статьях Вачепрог[, НеИЬгопп [11, Акулиничев [!1, Вин, градов И. М.
[51 н Карацуба 151 рассматривался случай т (х) =ах" +Ьх, а, Ь~Ц, 2(п(р — 1, причем в последн из названных работ показано, что 1 х(г(с))! ((и !)Ч4рзм вЕГр '4! для нетривиального аддитивного характера д простого поля ][яс Эта оценка при и > ! + р" лучше, чем в теореме 5.38. Частнв(Ч", случаи и = 3 и и = — 4 рассматривались Карлицом (Саг!Их 1122 '" [1241) и Морделлом (МогбеИ [281, 1291) соответственно. В стат„. ') См. комментарии к $ 4 гл. 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
