Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Интересное мультипликативное соотношение между суммами' Гаусса, впервые установленное Якоби (ЗасоЬ[ [2)), представлене[] следствием 5.29. Предположение Хассе (Наззе [15, р. 46Щ о том, что соотношения, выводимые из теоремы 5,12 (гу)) и след-'с! ствия 5.29, порождают все возможные мультнпликативные соот":р ношения между суммами Гаусса, было опровергнуто Ямамото: (г'агпагпо1о [2]); см. также г'агпагпо1о [4]. ДРУгие тождества ]е содержащие произведения сумм Гаусса, можно найти в работах' Воуагз[гу [1], Еуапз [7], Сггап1 [1] и Не!уегзеп-РазоНо [1], [2]4 з [3 ], [4 ].
Суммы Гаусса возникают также и во многих других разделах[;. математики. Так, в теории чисел весьма эффективно исполь"4,' зуются суммы Гаусса для факторкольца Е/(и) (и может бытггг;, Комментарии зо! и составным числом). Они определяются с помощью какого- нибудь аддитивного характера кольца г„'(и) и некоторого характера группы делителей единицы этого кольца. Развитая теория таких сумм представлена в книге Наззе [15, сЬ. 20).
Такие суммы рассматриваются также и в других источниках, например в книгах Аров[о! [2, сЬ. 8), АуопЬ [1, сЬ. 5), Еапя [3, сЬ. 4], [5, сЬ 3] и Ь[агЫесч[сг [1, сЛ. 6). Квадратичные суммы Гаусса такого вида удовлетворяют закону взаимности, который был сформулирован Коши (СаисЬу [51) и доказан Шааром (5сЬааг [11) и Кронекером (Кгопес!сег 13!); см, также ВосЬпег [11, Еапс[зЬегя [2) и ЕегсЬ 11).
Обобщения этого закона взаимности можно ссссйсти в работах ВегпсИ [11, ВегпсИ, Ечапз [4), Ссшпапд [11 и 5сеяе! 131. Другие соотношения между квадратичными суммами Гаусса для кольца У!(и) и близкими к ним суммами приводятся в статьях Саг!Иг [[071, СЬов!а 5. [!1, [21 и Мепоп [1).
Суммы Гаусса для кольца г.'(и) с ограниченной областью суммирования рассматриваются в статьях ВегпсИ, Ечапз [31 и 1еЬтег О. Н. ! ! ! 1, Суммы Гаусса для полей алгебраических чисел были введены Генке (Нес1се [! 1). Об этой теории см. Наззе [10], Несйе [4, сЬ. 81 и Р[агЫесч!сг [1, сЬ. 6).
Дальнейшие результаты, в частности, о законах взаимности для квадратичных сумм Гаусса этого типа можно найти в работах Вагпег [21, Нес[се [21, [31, К1ооз1еппап [3], КцЬо[а Т. [11, Кипег[ [11, Мосс[в!! [3], %|га1ап! 11) и 51- еде! [3), Гауссовы суммы Гекке были затем обобщены Хассе (Наззе [[21, [131), который рассмотрел так называемые гауссовы суммы Галуа; см. также КцЬо[а Т. [!], [21, ).аЫсВ [!1, [21, 131 и более ранние работы РгбЫ!сЬ, Тау1ог [!], МагИпе[ [11 и Тау!ог М. 3.
[11, [21 Еще один тип сумм Гаусса для полей алгебраических чисел был рассмотрен в работе КпЬо[а Т. [3]. В статьях Саг1Иг [27] и Науез 131 были рассмотрены суммы Гаусса для факторколец вида Г [х)/(7), а Шмид (5сЬт[с[ [21) ввел суммы Гаусса для колец векторов Витта над конечными полями, В статье 5сЬгп[с[, Те[сЬпш1!ег [11 рассматриваются суммы Гаусса еще для одного класса колец, построенного с помощью конечных полей. Кондо (Копс[о [11) изучал суммы Гаусса для колец матриц над конечными полями, а квадратичные суммы Гаусса для таких колец рассматривались в статьях Рог[ег !161, ! !7!.
Общая теория гауссовых сумм для конечных колец была Развита Лампрехтом ([ атргесЫ [1), [21, [31); см. также Кц[г[со [! 1. Суммы Гаусса для так называемых квадратичных характеров конечных абелевых групп изучались Шпрингером (Ярг!пяег [3)). Ссылки на литературу по обобщениям сумм Гаусса см. в работе ВегпсИ, Ечапз [41. Суммы Гаусса находят много приложений в теории конечных полей, теории чисел и комбинаторике. О применении сумм Гаусса 'шя определения числа решений некоторых уравнений над конеч- Гл. о.
Тригонометрические суоми ными полями см, гл. 6. Суммы Гаусса можно использовать дл' получения унитарных представлений степени р для групп' характеров группы г'й (см. Вцгбе 1! )). В статье уагпаг]а [1! изложено одно приложение сумм Гаусса к кривым ув — у = хв' — 1 над простым полем Гр. Морено (Могепо О, 1]1) пользовал суммы Гаусса для определения числа элементов п с абсолютным следом 0 и с заданным степенным характеро' Зиачеыие сумм Гаусса в доказательстве законов взаимности бы. отмечено выше.
Упомянем также следующие теоретико-числов вопросы, где используются суммы Гаусса: критерий того, ляется лн данный элемент вычетом (квадратичным или высокой степени) (Ап1сепу 131, Ечапз 161, Наззе []41, Науаз (21, Мцз1са! []1, 13], тЧЬ]!ешап [81, Чег]]]гата К. 5. [311), п блема Варинга (АуоцЬ [1, сЬ. 41, Ваггцсапг] 1]1, Наго]у, ].Ю* чвоог] (21, [31, ].апг]ац [2, сЬ. 61, ЧацаЬзп й. С.
!]„сЬ. 4]) ', проверка на простоту (].епз!га Н. %. [21), й-функции Дири и функциональные уравнения для них (Арок!о! [11, АуоцЬ: арр. В ], СЬочв!а 5. []6, сЬ. 11, Наззе (! ], сЬ. ! ), ! апя [5, сЬ. 3' функциональные уравнения для рядов Дирихле, соответству модулярным формам (5Ь]пшга [1, сЬ. 3]), абелевы числовые и' ' (бгаз [11, [.еоро!сИ 1!1) и формулы для числа классов (Вегцз1 1!1, Наззе [91).
Суммы Гаусса возникают в теории разност множеств (Вегпг]1, СЬотч]а []], Вегпг(1, Ечапз 1!1, Ечапз [!0], Мепоп [21, Мцз]са], %Ь]!ешап [! 1, Чатагпо!о [31) и в с ' с распределением весов в циклических кодах (Вашпег(, МсЕ]!'„ [1], МсЕВесе 151, МсЕ]]есе, Кшпзеу 1]1, ЬВедеггейег [81). С' мощью сумм Гаусса в статье Ацз]апг]ег, То!!ш!ег! (]1 полу "' интересное соотношение для конечных преобразований Фур ' Суммы Гаусса появляются также в функциональных уравнен" для дзета-функций, соответствующих некоторым представлен группы 61 (и, Ге) невырожденных и х и-матриц над конечп полем Г (см.
Врг]пдег 121). в 3. Суммы Якоби и' ()г„..., )са) для конечных простых пол и при й =- 2 упоминаются Якоби (ЗасоЬ! [! 1) в его письме Гау Первыми публикациями, где они обсуждаются, являются ста Коши (СаисЬу [2]) и Якоби (3асоЬ! [21), и, что окончатель запутывает вопрос о приоритете, они встречаются также в и', смертно опубликованной работе Гаусса Пацзз 151. Указан источники наряду со статьями СацсЬу [41, Е]зепи!е!п 111 н 1., Ьезкие 121 содержат уже все основные свойства таких сумзй, По поводу этих ранних работ см. также ВасЬшапп [1], ]у!с]гзо% М]!сЬе]], Чапе]]чег, ЮаЬ]]п [], $ ]91, ВшВЬ Н. 3. 5.
[!1 и Фвб, [!]1. Эквивалентные суммам Якоби тригонометрические сум для произвольных конечных полей при й = 2 были введены Куме ') См, также Виноградов [!']. — Прим. перев. Комментарии мером (Кипппег 161). Новый этап изучения этих сумм начался со статьи Штикельбергера (51!с[<е[Ьегдег [11). Суммы Якоби для вровзвольного й >- 2, кажется, появляются впервые в статьях Всйля (%е!! [61) и Ваидивера (Чан<[!чег [161). Доказательства основных свойств сумм Якоби общего вида можно найти как в этих двух работах, так и в статье Еа!гс!о1Ь, Чап<[[чег [1]. Эти свойства сумм Якоби излагаются в книгах Наззе [151 и [ге[ап<[, Яозеп 111, а также в статье Зо[у [51. Мы уже говорили в э 2 о теореме 5.14, доказанной Дэвенпортом и Хассе (Рачепрог1, Наззе [11).
Аналогом этой теоремы для сумм Якоби является теорема 5.26, которая была доказана гораздо раньше Митчеллом (М!1сЬе!1 Н. Н. [11). Теорема 5.28 доказана в статье Рачепрог1, Наззе [11, однако следствие 5.29 появилось (для случая простых конечных полей) еще в статье Якоби (дасоЬ! [2 1); о доказательстве теоремы 5.28 см. также Огаз [! 1 и [.апй [5, сЬ. 21. Элементарные доказательства теоремы 5.28 имеются в работах Веги<[1, Ечапз 11] и Наззе [15, сЬ.
201 (для случая квадратичного характера) и в статье Веги<[1, Ечапз [2) (для случая, когда т — степень двойки). В работах Веги<[1, Ечапз [21 и Огаз [11 показано также, что задача нахождения элементарного доказательства теоремы 5.28 может быть сведена к случаю, когда т — простое число. Попытки вычисления сумм Якоби при й = 2 для характеров малых порядков предпринимались многими авторами, нередко в связи с циклотомией. Но во многих случаях еще остаются неясности. Упомянем работы Веги<[1, Ечапз [21, Р!сйзоп [461, Ечапз [2], [31, 1ге!ап<[, Козеп 111, 1зЬ!шита [11, 1.ейшег Е. [7), [81, Мцз[<а1, Еее [11, Таппег [1], [31 и Бее [1], [2]; наиболее подробны работы Веги<[1, Ечапз 111 и Мцз1<а1 [61.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
