Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 64
Текст из файла (страница 64)
1 Поскольку характер Л' имеет порядок й, та же теорема 5.51 пока- зывает, что л — 1 7„(а) = т)(а) ~„И( — а) Х(И, т)). у'=1 Это означает, что л — 1 Н„(а) = т) (а) ~~ Лз!+' ( — а) 7 (Лег+', т1) = ~=о л-! = т)(а) Л( — 1) ~ И+'(а) ((И+'„т1).
П у=л Из этих результатов и теоремы 5.22 получаются следующие оценки: !7.(а)! <(й — 1)4", ~Н.(а)ЫИ", которые не хуже полученных из теоремы 5.41. 5.53. Пример. В примере 5.25 мы показали, что каждое про- стое число р, сравнимое с 1 по модулю 4, можно представить в виде р = А' + В', где А и  — целые числа. Легко видеть, что одно из этих целых чисел, скажем А, должно быть нечетным, а другое должно быть четным. Поскольку знак А можно выбрать произвольным, то можно считать, что А г— н — 1 (шоб 4). Покажем теперь, что это число А можно найти непосредственно, используя подходящим образом взятые суммы Якобсталя.
Пусть Л вЂ” мультипликативный характер порядка 4 поля Г . Тогда из равенства Ла = Л и теоремы 5.52 следует, что Н (1) =Л( — 1)(1(Л, ц)+((Л' Ч)) =Л( — 1)(((Л т))+7(Л )))=. = 2Л ( — 1) йе 7 (Л, т1), Гл. о. Тригонометрические суммы где йе / (Х, т!) = +(1/2) Н, (1). С другой стороны, в примере 5.25 мы видели, что р = (йе,/ (Х„т)))2 + (1(п У (/(, т)))'. Теперь пока-: жем, что (1/2) Не (1) = — 1 (шо(1 4). Так как, согласно замечании!', 5.13, т! ( — 1) = 1 для р: — 1 (пю(! 4), то мы можем написать р — 1 Н (1) = Е т)(с) т)(с'+1) = (р — 1)/2 (р — 1)/2 т)(с) т)(се+!)+ лл т) ( — с) т!(се+ 1) = р=( с=! (р — 1)/2 = 2 ~~ )) (с) т) (ск+ 1), (5.71):„ так что (р — !)/2 +Н,(1)= Х п()п(И+1).
с=) Из теоремы 5.48 получаем (Р— 1)/2 — 1= Е 2)('+1)=1+2 Е ))('+1), с=о откуда (5.72):;, (р-!)/г — 1 = Е т)(ел+ 1) Вычитая (5.72) из (5.71), получим (р-!)/2 ~ Не (1) + 1= Я (т! (С) — 1) 21 (с'+ 1). с 1 р=( Для 1 ««с «( (р — 1)/2 (т) (с) — 1) (т! (с' + 1) — 1) = О (то(! 4), если т! (с' + 1) чь О, . так как оба сомножителя слева четны.
Таким образом, (т1 (с) — 1) т! (с' + 1) г— а т) (с) — 1 (глод 4), если т) (с' + 1) чь О,,: Случай т) (се + 1) = О имеет место тогда и только тогда, когда с' = — 1 (пю(1 р), а это сравнение имеет единственное решение ст ' 1 «с, ««(р — 1)/2. Следовательно, (Р— 1) /2 (р — 1)/2 ) — Не (1) + 1 == ~ (т) (с) — 1) = ~> (т) (с) — 1) — ()) (с!) — 1) р=( г=( рчео (р — 1)/2 т) (с) + — ~ — т) (с,) (пи~ 4).
й о. Дальнейшие реаультаты о суммах значений характеров 2ав Кроме того, (Р— !)г2 О= 2л г)(с) =-2 ~ г!(с) ("') "(с1) = й ( — 1), так что 2 а( )'+ 1 = 2 — ) ( — 1)(спас!4), Теперь из замечания 5.13 следует, что 1, если р = — 1 (глод, 8), Х( — 1) = — 1, если р ив а 5 (глод 8), причем 1 (гпод 4), если р и— г 4 (шод 8), 2 ~ — 1 (пюд 4), если р = — 5 (гпод 8), так что (1'2) Н, (1) + 1 == О (гпод 4) и (112) Н, (!): — — 1 (гпод 4). Значит, А = (1)2) На (1). Можно показать, что при нормировании А с— а — 1 (пюд 4) целое число А определяется однозначно. Допустим, что р =- Ла + В' =- С'+ Т1а, где А и С нечетны, а В и 0 четны. Если )г, й ~ У таковы, что А = )гВ (шос1 р), С ==- йс) (гпод р), то из Ле + В' =- С'+ сла = О (гпод р) следует, что Ьа+ 1 = да+ г- 1 =- О (шод р), откуда С ьз +)гсу (гпод р).
Таким образом, можно написать С = + С„где С, =.: )ьО (пюд р). Тогда в равенстве ре = (Л'+ В') (С, + и) = (ЛС, + ВП)'+ (ЛП вЂ” ВС,)а числа в скобках справа кратны р. Деля обе части на р', мы полу- чаем выражение, представляющее единицу в виде суммы двух квадратов целых чисел.
Это возможно лишь в случае, когда 1 = '- (ь1)е + О'. Такимобразом, Ас) — ВС, = О, итак как НОД(А, В) =- НОД (С,, Тг) = 1, то А = +С,, откуда А = +С. Если, кроме того, А = С = — 1 (гпод 4), то А = С; таким образом, число А однозначно определено. Выше мы показали, что этим единственным целым числом А Является (112) Нч (1), и тогда целое число В определяется одно- значно с точностью до знака.
Используя то же рассуждение, что и в начале этого примера, нетрудно показать, что в качестве числа В можно взять (1!2) Н, (а), где а — такой элемент поля 1 р, что г) (а) = — 1, Существует замечательная связь между суммами значений квадратичного характера г) и алгоритмом разложения в непрерыв- ньгг дроби для рациональных функицй над полем Гч (т. е. для дробей вида 1/д, где у, д ~ Кч (х), а ~ О). Нам понадобятся лишь элементарные сведения из теории таких непрерывных дробей, Гз Зак.
М2 290 Гл. 5. Тригонометрические еумлгы которая совершенно аналогична классической теории непрерыв.' ных дробей для рациональных чисел, Алгоритм разложения рациональной функции в непрерывную дробь является по суще.', ству алгоритмом Евклида, рассмотренным нами в 9 3 гл. 1. Мьг слегка изменим обозначения с учетом потребностей настоящего. момента. Пусть го и г, — два произвольных многочлена из кольца .
К [х), причем г, Ф О. Применяя алгоритм Евклида, можно . написать го = А,г, + г„г, =- А,г, + го и вообще гг = А;гг„+г;„для л = О, 1, ..., х, (5.?3)'; где 0 < е[еи (г;„,) < е[еи (г;) для л' =- 1,, х, и г„, = О. Здесь А,:;; А„..., А, — некоторые многочлены над полем 'Е . причем А„;, 4 обязательно имеют положительные степени. Йз равенств (5.73);" получаем — =А,-г- для 1=0, 1, ..., з — 1, га, 1 ггеа галл/гела и г,/г,„а = Ао. Отсюда следует, что го 1 — =А + —, ге о га/га ' — =А -[- го 1 — о ! а л. Ал+— 15 гагго и, продолжая таким образом, в конце концов получим го А = [А,, А„А„..., А,), га Аа+ 1 +— Аа где символ в правой части — это сокращенное обозначение р ложения в непрерывную дробь, даваемого средним членом равен„ ства.
Удобный способ вычисления рациональной функции, пре4': ставленной непрерывной дробью, основан на следующей реку „,". рентной процедуре. Определим многочлены Р; и ф, а = — !хе[ О, ..., х, условиями Рл=! Ро=Ао Р =А;Р;л+Рга для а=1, ...,а, (5.74)л 9 а =О, 9о=1, ()а=АД, л+Яг а для 1=-1,, а (5?бе Ясно, что е[еи (Рг,) < г[ед (Рг) для а' = 1, ..., а и е[еа (Щ а) ~. ( а[ей Яа) для г = О, 1, ..., х.
Следствия 5.55 ие5.58 ниже показы",'," вают, что Рг и ()г являются соответственно числителем и знам нателем (несократимой) рациональной функции, представленноаго' 4 о, Дальней«аие результаты о суммах зиачеиий характеров 291 непрерывной дробью [Ао, А,, ..., Ад]; будем Рдд(гд называть приведенной формой непрерывной дроби [А„А,, ..., А, ], Полезно Распространять определение степени на множество всех рацнональных функций, полагая степенью рациональной функция Р—.
Я число дей (Р) = дея ()) — дея (и). При этом уславлнваются, что дея (0) = — оо н — оо — и = — оо для любого и Е л,. 5.54. Лемма. Длл любой рациональной функции р неотрицательной степени имеет место равенспыо [А„А,, ..., А, „, р] = Р ' '+ ' ' для д = 1, ..., в-[-1. РОд-д + Яд-д Доказательство. Применим индукцию по д. Для д' = 1 обе части равны А, + р '. Если утверждение выполняется для некоторого д', 1 ( д (з+ 1, то, поскольку.
А; + р ' — рацнональная функция положительной степени, получим, используя предположейне индукции н равенства (5.74) н (5.75), [Ао Ад Ад р] = [Ао Ад Ад-д, Ад + р '] = (Ад+Р д)Рд +Рд а Рд+Р'Рд Ррд+Рд д (Ад+Р д)0д-д+0!-о Од+Р Од-д РОд+Ьд-д 5.55. Следствне. Для любого д', 0 ( д ( в, имеет место равенство [А о А,, ..., А д] = Рд Доказательство. Утверждение тривиально для д = О. Для 1 «( д.( з положим в лемме 5.54 р = Ад н используем (5.74) и (5,75), а 5.56.
Лемма, Для любого д, 0 ( д' ( з, имеет место равенство Рд+ [ддрд гд Од+[)д0д д ' где [)д = «„оl«„д — рациональная функция отрицательной степени. Доказательство. Доказываем по нндукцнн. Для д = 0 .— А, -~- о, = А, т— Р,+ф,Р д д'о Аогд+ го го Оо+ [)о0-д гд гд гд ' "де на последнем шаге использовано равенство (5.73). Предполагая доказываемое равенство выполненным для некоторого 1, 0 «( «( д ( з, получаем, в силу (5.74) н (5.75) Рд+д+[)додрд (Ад+о+ д+д)Рд+Рд д Одод+рдод0д (Ада+ д+д) о+Од д ' Гл.
З. Тригонометрические сунны а из (5.73) следует, что ]); ' =- Ас 1+ ]); г ь Таким образом, Рг 1+ РыР " ' — »'+ ])иа р — 'р л р. Ь-~+ры1О ])-,.'(),+д,, Ь+р.О ~ согласно предположению индукции. Это завершает доказатель-' ство. 5.57. Лемма. Для любого ~', О: ~ .< з, имееп1 место равенс Р,С); — Р; Я; =-;. ( — 1)' — '. Доказательство. Доказываем по индукции.
Для 1 =- О имев" РчО, — Р 1(Е, — — 1. Допустим, что равенство справедливо дд некоторого С О к 1 < з. Тогда, используя (5.74) и (5,75), получй' Р;,ч(), — РД;„= (А;„Р;+ Р;,)Я; — Р (А+А~+Ф-ч) = = — (РА;, — Р; 1(г;) = ( — 1)' согласно предположению и<дукции, 5.58. Следствие. Для любого С О (.
1 з, имеет место р ство НОД (Р;, (~;) =- 1. Докизательство. Если для О < 1 < з положить й; =- НОД (Р ' (',);), то из леммы 5.57 получаем, что многочлен 4 делит ( — 1)'.;.„ так что й; = 1. Теперь мы можем рассмотреть приложения непрерывны дробей к изучению сумм значений квадратичных характер с полиномиальными аргументами. Пусть | ~ Гч (х] — многоч положительной степени, не имеющий корней в поле Кч нечетно, характеристики, и пусть 6(х) =-: хч — х. Положим Р (х) = 7' (х)гл — и" и рассмотрим разложение в непрерывные дроб следующих двух рациональных функций над Кч: = ]Ая А» . ° Ав] (5.76 Р(х) 1- = (а,, а„..., а1] (х) (5.77) 5.59.
Лемма. Ори указанных выше условиях имеет место однФ.' из двух возможностей: либо пг = з = г — 1, либо и, = 1 = з — 1'.' Ясно, что А, =- а„. Определим пг как наибольшее целое число т, такое, что А, =- а; для ( =-. О, 1, ..., т, Равенства и) = з = ф не могут выполняться, так как в таком случае указанные рапи~„ опальные функции совпадали бы. Следующий результат, однако,- показывает, что представляющие их непрерывные дроби весьма', близки.
4 о. Дальнейшие результаты о суммах значений характеров 2ВЗ доказательство. Определим Р; и (',)» условиями (5.74) и (5.75) и аналогично определим р; и»)о используя ат вместо Ат в (5.74) и (5 75). Согласно следствиям 5.55 и 5.58, рациональные функции р,,:6» и рр»»), соответственно являются приведенными формами рациональных функций (Р (х) — 1)'6 (х) и (Р (х) + 1)/6 (х), заданных разложениями (5,76) и (5.77), так что ь»г»( ) Ь»о (х) б»(') = ы~д(~(.) — 1, (.и ' Р'(') = ~~д(~(.)+В ~(.)) (5.78) где Ьо Ьт Е !)'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
