Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Заметим сначала, что каждый характер Ч!).1, 0 ~.; ( ) ( т — 1, нетривиален, так как в противном случае харак~ф (Ч(Х!) = Ч! )((~ =- Ч был бы тривиален, что противоречит преф: положению. Поэтому мы можем применить к равенству из тео.': ремы 5.28 соотношение (5.43), н это дает т — ! ,и Переупорядочение членов приводит к следующему равенств '. т — 1 т — ! Ц б(Чм(1, Хь) = 0(Чт Х ь) П 6(У Хь) (5.
у=о 1=! Если т — нечетное число, то т — 1 (т — 1(!2 Па()(, )(ь)= Ц С()(, у)с(л--у, х,), 1=! !'=1 г(Ф и так как ). — тривиальный характер, то Х ! = А(, поэта применяя теорему 5.12 (1у), получаем ,ф т — 1 (о!-1(!2 л П б Ф, у ) = у( -"" П )'( — 1).
(=1 Согласно замечанию 5.13, Х ( — 1) = 1, поэтому т — 1 П Ет ()„! Х ) у(т — 12(2 (=1 С учетом (5.54) это дает (5.52). Если же число т четно, то, вновь применяя теорему 5.12 (1ч)'; получаем т — 1 (т — 2(/2 П б ()о! Хь) = (л (ь ~2 )(ь) П (2 ()(! )(ь) (г () ( )(ь) 1=1 /=-1 $ 3. Суммы Якоби (т — 2)/2 = 6(ч, хь) П 6(х/, хь)6(х/, х) = /=! (т — 2) /2 =Ч(т-2)/26(Ч, Хь) П Х/( 1). !=! Из замечания 5.!3 следует, что Х ( — 1) = 1, если чнс//о (() — 1)/т четно, н Х ( — 1) = — 1, если (() — 1)/т нечетно; поэтому Х ( — 1) = .: ( — 1)ы '>/т. Таким образом, т — ! (т — 2) /2 П6(>/ хь) =д("' 2)/26(ч хь) П ( — !)/м '""'= !'=! /==2 = (/(т — 2)/26 (Ч, ХЬ) ( — 1)( -и (т-2)/О, н вместе с (5.54) это дает (5.53).
(:) Известные доказательства теоремы 5.28 основаны на теории алгебранческнх чисел нлн на теории конечных расширений поля рациональных функций над полем Ко (называемых лолял(и алге- браических функций над Ко). Но для некоторых частных случаев удается дать н элементарное доказательство, например для случая, когда ф — квадратичный характер нлн когда число т является степенью числа 2. Приведем этн доказательства. Рассмотрим сначала случай, когда )() совпадает с квадратичным характером Ч поля Ко. В этом случае оба числа т н (> должны быть нечетными. Мы докажем равенство нз теоремы 5.28, если убедимся в справедливости эквивалентного ему равенства (5.52).
Преобра- зуем левую часть равенства (5.52): т — ! (т — )>/2 П6(ЧХ/ Хь) =6(Ч Хь) Ц. 6(ЧХ/ Хь)6(ЧХ ' Хь) = /=о !'=! < †(Н2 = 6 (Ч Хь) П 6 (Ч>х/ Хь) 6 (Ч>х/ Хь) = /=! (т — !)/2 =6(ч, х~)ц( '"' П (ЧХ/)( — !) /=! согласно теореме 5.12 (!ч). Поскольку в силу замечания 5,13 Х ( — 1) = 1 н т! ( — 1) = ( — 1)(е-и/2, то т — ! П 6( Х/, Хь) =(/("-!)/2( — !)(-'> < -'>/'6(Ч, Х ).
/=о /(ля правой части равенства (5.52) получаем ') !'" и'*е(х х )=!' ц"е(х х )=!' '"х( )е(х, о), '(и х, у . х лежащий простому подполю Гр поля Го. — Прим. иерее. Гл. о. Тригонометрические суммы согласно теореме 5.12 (1), так что остается показать, что Ч (гц) = ( !)(е — )) ( -)У( (5. Пусть р — характеристика поля 1'е и () = р', Так как квадрата ный характер Ч поля Гч можно йолучить поднятием (в смы теоремы 5.!4) квадратичного характера Чр поля [['р, то Ч( ) = Чр (1(Г,/)Г,(т)) = Ч (т'). Пусть т = г, ...
г,, где г, — простые нечетные числа (не обя тельно различные), которые отличны от р (поскольку т дел' число () — 1). Тогда т!(т) = [Чр(г,) ... ))р(г,)[' = [( — ()... ( — () [ так как Чр задается символом Лежандра (см. пример 5.10). квадратичного закона взаимности (теорема 5.17) получаем ( ) Г(' )' ) ( 1)(Р— )) (г~ — )п( ( р 1( !)(р () (г( ()/е~в ( гт / 'т г( / ( т ) ( е ) [( 1)ие)(р-()/е где г( — 1 г( — ! и=- — + +— 2 и для квадратичного характера Ч,, поля Г, ( —;, ) = ч., (р)' = ч„(~ ) = ( —,' ) Заметим, что — = р' ' + р' е + ° + р + 1 = з ((по([ 2).
и — 1 Кроме того, для двух нечетных чисел и н в ва — ! и — 1 в — 1 (и — 1) (в — 1) 2 2 2 2 0(п)оо2), так что и — 1 в — 1 ив — 1 — + — = — (п)о([ 2). 2 2 2 Применяя это повторно, получаем г) — 1 г) — 1 гт ...г( — 1 и) — 1 о 2). и — . [- -[ = " ': (п)ой Это приводит к сравнению и( — 1 (( — 1 из = — ° — (п)о([ 2), 2 р — ! $ 3.
Суммы якоби и отсюда получаем Ч(т) =~ 71... ~ ) 1( 1)(,-!)(--!)((. ~г(у ~г(у Но (~)=1 для (=1, ...,1, так как из 4 = 1 (пюд т) следует () = 1 (пюд г!). Таким образом, равенство (5.55), а значит, и соотношение Дэвенпорта — Хассе для указанного частного случая установлены. Теперь докажем соотношение Дэвенпорта — Хассе для случая, когда число т является степенью числа 2. Если т = 2, то ) совпадает с квадРатичным хаРактеРом Ч полЯ г'о, и число () не- четно.
Из (5.43) и теоремы 5.12 (!) получаем ~(т хь) ~(т хь) о("Г' Хьь) Ф(4)6(Ф, Хь) = (1)(4))(ф, ф) = ф(4) ~~ ф(с)) ф (сь) = «,+«~ = ф (4) ~~ ф (с — сь), «4(го Для фиксированного элемента (1 Е Го уравнение х — х' = (( имеет или два решения в поле К, (если 1 — 4(1 является квадра- том некоторого элемента нз Ц), или одно решение в Го (если 1 — 4(1 = О), или вообще не ймеет решений в г (если 1 — 4(1 ие является квадратом какого-либо элемента из К ). Отсюда получаем, что число решений уравнения х — х' = (( в поле Го задается выражением 1 + т) (1 — 4(().
Следовательно, = (1)(4) ~~)~~ (1+ Ч(1 — 4(1)))Р((1) = = (() (4) ~~) ф ((К) + ~)„ф (4(1) (1 (1 — 4(() = «ЕГд «кгч = (((Р Ч) где на последнем шаге использовано равенство (5.37). Таким об- разом, для случая т = 2 соотношение Дэвенпорта — Хассе дока- зано. Теперь пусть число т ~ 4 является степенью числа 2, и пред- положим, что соотношение Дэвенпорта — Хассе в форме (5.53) уже доказано для всех меньших степеней двойки.
Воспользовав- шись этим соотношением для степени числа 2, равной т/2, по- лучим м — ! (о$/2) ! («!/2) — ! П ()(фУ, )(ь) = ~Х 6((Р)(2) Хь) П 6(ФИ )(ь) = !=о ь у-о Гл. 5. Тригоиометрические сумки 1)Г» — |) 1т — 41Л»,~1т — »)М6 (т) Х ) 6 (4т1т 1 — 1)1» '11~ 1л 41~ — '1'6(Ч Хь)6(Ф~ПЧ Хо»гаьь) = чс 1д6 (Ч Хь)~ 6 (Ч' п Хь ' 1 ь) 6 (т дЧ Х( дп ь). Так как, согласно теореме 5.12 ((у), 6 (Ч, Хь)' = т) ( — 1) ь1 и". в силу замечания 5,13 т) ( — 1) = ( — 1)1» — '1, то т — ! П 6йХ1 Хь) =( — 1)и " дь ' 6И е Х 2) ь)6И 2Ч, Х1 )ь),:~' )=о Пользуясь равенством (5,53) при т = 2, получаем 6(ьр~1', Хьт1я) ь)6(тр "Ч, Хьт1т1 ь) = 6(Ч, Х<т1»1 ь)6(Ф Хть), а применение теоремы 5.12 (1) дает ') е — ~ П6(ФК „) =(-1) — п,ь--ч Ч~ —.) 6(Ч,.>6(Ф™, Х.ь). ', (5,55~.
Сначала найдем т) (2). Так как да = 1 (пюб 8), то существует) элемент Т Е Ц* порядка 8. Тогда Ть = — 1, откуда (Т + у ')Я = Т ' (Ть + 1) + 2 = 2. Следовательно, 2 является квадратоМ',,' некоторого элемента поля К» в том и только том случае, есле,.')1 Т + Т ' Е 'г», т. е. если (Т + у — ')' = Т + у — '. Последнее условя';,', эквивалентно равенству у» + у-» = Т + у-',.а значит, и ранена,-'ь ству (у»+' — 1) (у» †' — 1) = О. Аэто означает, что либо у»-ь' = 1,; либо Т» — ' = 1. Но поскольку элемент Т имеет порядок 8, мы по- и лучаем, что т) (2) = 1 тогда и только тогда, когда 4 = ~1 (пюд 8).: В остальных случаях Ч (2) = — 1. Чтобы найти Ч (гп~2), заметим, что если пт ~ 8, то должип.'~ быть ') д =- 1 (эпос( 8), т.
е. т) (гп(2) = 1. Если же лг = 4, то д - ='„. : — 1 (той 4), так что либо т) (2) = 1 (если д == 1 (пюб 8)), либо:' Ч (2) = — 1 (если д == 5 (пюб 8)). В любом случае можно напи-.;; сать, что т) ( гл хь .= ( — 1)1» — П 1ж — аьла 'х 2 / А отсюда и из (5.5б) вытекает справедливость равенства (5.53), "' Таким образом, соотношение Дэвенпорта — Хассе установлено для ' случая, когда число т является степенью числа 2. ') пьт2 рассматривается как ялемеит поля К», — Прил. перев, ') Порядок пь = 2', а ~ 3, мультипликативиого характера а поля 5'» Доа- .*:- жеи делить число» вЂ” 1, согласио теореме 5.5. — Прим.
пере» $4. Суммы зивчеиий характеров 269 ф 4. Суммы значений характеров с полиномиальными аргументами Пусть у — нетривиальный аддитивный характер поля Кч, пусть задан многочлен ) Е Кч (х] положительной степенй. рассмотрим сумму вида у () (с)), 'чуч которую называют иногда суммой Вейля. Задача точного вычисления таких сумм очень сложна. Поэтому обычно ограничиваются оценкой абсолютной величины такой суммы.
Но для некоторых частных случаев удается провести исследование этих сумм элементарным образом. Например, если )— линейный многочлен, то нз (5.9) легко получить, что такая сумма равна нулю. Исследование случая, когда Г является двучленом, опирается на следующее соотношение между суммами Гаусса, представляющее и самостоятельный интерес. 5.30. Теорема. Пусть и — натуральное число, т — нетриеиальный оддитиеный характер поля Кч и к — мультипликативный характер того же поля, имеющий порядок е( = НОД (и, д — 1). Тогда Е Х( + Ь) = Х(Ь) Е '(а) П К Х) 'ч г'и /=! для всех а, Ь Е Кч, а Ф О.
Доказательство. Пусть т — нетривиальный аддитнвиый характер поля Кч, определенный условием т (с) = у (ас) для с Е Кч. Тогда Е Х( .+Ь)=Х(Ь) Е Х( )=Х(Ь) Е т(с). (55Т) 'ЕГ~ е~Кч еЕКч Согласно (5.17), т(с") = — ~) 6(чр, т)~р(с") для с Е Ц, где сумма берется по всем мультипликативным характерам поля Г,. Таким образом, '~ т(')=,(О)+ '~ .(с)=1+ — „'~ 2:6(р ') ):"'(') т Е Кч ебу; т 'Егч Внутренняя сумма в последнем выражении в силу (5.12) либо Равна д — 1 (если е" — тривиальный характер), либо равна О (если характер чр" нетривиален).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
