Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Аналогично если )( — аддитивный характер поля применяя (5.13), можем написать х(с) = — ~~~~~ )((И) ~» ф(с) ~(4 = и61Ге = —, иг, ф(с) ,'» ф(с()х(4 для всех с Е Ц. » иЕГ' Таким образом, получаем х(с) = —,~~» 0(Ф,х)ф(с) для всех с ~ Ц, (5,Ц где сумма берется по всем мультипликативным характерам ' поля Гч. Зто тождество опять можно рассматривать как разлож '. ние Фурье ограничения аддитивного характера )( поля Гч на по мультипликативным характерам этого поля, причем коэфф циентами Фурье снова являются суммы Гаусса. Таким образо''.
для конечных полей суммы Гаусса служат инструментом д " перехода от аддитивной структуры к мультипликативной н ратно. Прежде чем устанавливать дальнейшие свойства сумм Гаусса',, мы изложим один полезный принцип общего характера. ПустЫ;; Ф вЂ” множество всех нормированных многочленов над полем гч' и Х вЂ” некоторая комплекснозначная функция, определенная на Ф;;; которая является мультипликаптивной в следующем смысле: Х(уЬ) = Х(й) Х(Ь) для всех й, 6 ~ Ф, (5.15)' и, кроме того, удовлетворяет условиям Х(1) = 1 и ~Х(й)~~(1 для всех й ~ Ф. Обозначим через Фд подмножество множества Ф, состоящее ия', многочленов степени й, и рассмотрим степенной ряд й 2. Суммы Гаусса где !. — ~ ([Еоф1,фа(ааг(!) здесь сумма берется по всем нормированным неприводимым много- членам 1 из Кч [х), степень ([ед ф котоРых делит з.
Теперь предположим, что существует такое натуральное число 1, что (5 21) Я Х(а)=0 для всех й)Ь гефэ (5.22) в комплексной области. Поскольку множество Фэ содержит ()а миогочленов, коэффициенты прн г" по абсолютной величине не превосходят ([э, так что указанный степенной ряд сходится абсолютно при [ г [ ( (! '. В силу (5.18) и учитывая единственность разложения на множители в кольце [[' [х[, мы можем написать Ь (г) Я Э (й)хааа (а— гбф =П(1+Хфгэ'г(!)+Х((э)гэаг(!')+ ) = П (1 [ э ф хааа ю [ ()(д))эгэааг(!) + ...), где произведение берется по всем нормированным иеприводимым многочленам )' из Г [х[.
Это означает, что Ь(г) = П(1 — Хфгаа()) Теперь применим логарифмическое дифференцирование н результат умножим на г. Получим (()оа Ь 00 1Р )) (!) оаа !1 *оаг (!) ((г ~~ 1 ) ) ())э аа(!) ! Разлагая (1 — Х ф гоаэ(н) ' в геометрический ряд, получаем г я (1= ~; Хфдеяфга'г(!). .(!+Хфгэг(!)+Хф г аз(!)+...) = Я ([Ео(!) ()( ф га а О) [ Х фага ааг (Н [ +)„((э)гэаег(!) [ ...) и, собирая одинаковые степени г, приходим к равенству о'!оя Ь (г) (5.20) Э 1 Гл. З.
Тригоиометрические суммы '! Тогда, согласно (5.19), Е (г) является комплексным многочле ' степени, не превосходящей й с постоянным членом, равным нице, так что его можно записать в виде Е (г) = (1 — гг) (1 — ги»г) ... (1 — гь г), (5; где гь«, гв„..., ги! — некоторые комплексные числа. Зго ози" чает, что В !ох 1. (г) ~~» ы»а Вг л~! ! — ымг т=! Ю %' г! = — ~~ гонг г гв,„г = г«=! г'=о =-й(х')' =-~(~".)". н, сравнивая с (5.20), получаем, что Ь, = — ги*, — гиг — .
— озг для всех з Е «). (5.2 В качестве приложения этого принципа, выражаемого раве ством (5.24), установим одно важное предложение. Пусть у аддитивиый, а !р — мультипликативный характеры поля и пусть Š— некоторое конечное расширение поля Гч. Тот характеры Х и !Р можно «поднять» до поля Е, полагая Х' ф) = т (Тгв Г ф)) для любого р Е Е и !р' ф) =- !р (дге~Г ф)) ддг любого р ~ Е*.
Из аддитивности следа и мультипликативно ' нормы вытекает, что х' — аддитивный, а !р' — мультнпликати ный характеры поля Е (будем называть их поднятиями до характеров у и !р соответственно). Следующая теорема устана вает важное соотношение между суммой Гаусса 6 (!р, у) в поле и суммой Гаусса 6 (!Р', у') в поле Е. 5.14. Теорема (теорема Дэвенпорта — Хассе). Луста дитивный, а !р — мультипликативный характеры поля являюи(неся одновременно тривиальными. и пусть Š— ко расширение поля Гч, причем (Е: Кч) = з. Если у' и !р' — и нятия до поля Е характеров т и !р йоля Гч соответственно, имеет место равенство 6 (!р', Х') = ( — 1)'-' 6 (!р, К)' Доказательство.
Для удобства распространим определен мультипликативного характера !р на все поле Кч, полагая !р (0) = О. Воспользуемся обозначениями из рассуждения, приводящв« к равенству (5.24); в частности, пусть Ф снова обозначает мио 4 2. Суммы Гаусса ство всех нормированных многочленов над Га. Определим на этом множестве комплекснозначную функцию А, йолагая Х (1) = 1 и х (я) = ~р (сд) )( (с1) для любого непостоянного многочлена й ~ с Ф, представленного ввиде й(х) = х — с,х' — '+ ...
+ ( — 1)'са. Тогда для функции Х легко проверяется свойство мультиплика- тивности (5.18). Напомнив, что Фа обозначает множество много- членов нз Ф степени й, разобьем теперь для каждого й > 1 мно- жество Ф„иа подмножества, соответствующие фиксированным значениям коэффициентов с, и с„многочленов я Е Ф„. Так как мощность такого подмножества, соответствующего паре (с„са), равна д» вЂ” а, то Е Х(а) = Ч'-2 Е ф(са))((с,) = аЕФа си саба'ч =д'-'( Я ф(с)1~ ~; )((с)). ~~ЕГа / 'Етч Л ввиду того что по крайней мере один из характеров )( или ф нетрнвиалеи, либо из (5.9), либо из (5.12) получаем, что ~, 'А(я) = 0 для всех й >1. асфа Поэтому равенства (5.22) выполняются при значении 1 = 1.
Кроме того, поскольку Ф, состоит из многочленов вида х — с, где с Е Г„то Х(й:) = Е ф(с))((с) = ~ ф(с))((с) =6(ф )(). арф 'с Э'д 'с та Таким образом, из (5.19) получаем, что Е (г) = 1+ 6(ф, )() г, так что, согласно (5.23), саа = — 6 (ф, )(). Теперь рассмотрим коэф- фициент Ь, степенного ряда (5.20), соответствующий указанному з теореме числу з. В силу (5.21) и ввиду мультипликативности функции Х он должен иметь вид (., = ~„'бейД)„(Р'а'за= бем (г) )„Улма Ф), где сумма берется по всем нормированным неприводимым много- членам Т из Гч [х), степень дед (Т) котоРых делит з, а звездочка означает, что при этом исключается многочлен) (х) = х. Поскольку 1Е: Р,) = з, то (по теореме 2.14) каждый нз этих многочленов ) имеет бек Д) ненулевых различных корней в поле Е, и характе- ристическим многочленом над Г каждого корня р многочлена 1 служит многочлен Т (х)ем а0>.
пусть г(х)маеа Ф = х* — с,х* — ~+ +( — 1)'с„; Гл. 5. Трнгонометрвческне суммм тогда с, = Тгеу (р) и с, = й!е~Г ((!) согласно (2,2) и (2 Поэтому и (1~~ ~е бч) = ф (с») Х (сг) =- ф ( г»цу* (11)) К (Тгеу (!1)) = = Ф'(()) х'(Р) так что Ь, = ~ дед (1) Х (( нме (П) = ~ ' ~; ф' (И)м'(()). в5е ! гю=о 41 Когда ! пробегает все нормированные неприводимые многочл из Г» (х! (кроме Г (х) = х), степени которых делят з, элемент пробегает в точности все элементы мультиплнкатнвной группы поли Е. Поэтому Е* =, Е Ф' (1) Х' (1) = б (ф', Х'), и, применяя равенство (5,24), получаем б И', Х') = — ( — б И, х))', что и завершает доказательство теоремы. Для некоторых частных характеров соответствующие им су Гаусса удается вычислить в явном виде.
Так, мы установим несколько формул помимо тех тривиальных, список котор приведен в (5.14). Хорошо известна формула, получаемая квадратичного характера ть определенного в примере 5.10, 5.15. Теорема. Пусть р — простое нечетное число, з ~ '. и Г» — конечное поле порядка д = — р*. Если Ч вЂ” кеадрати а у., — канонический аддитиеный характеры поля Г», то ~( — 1) -' д'г», если р =— 1 (пюд 4), (( — !)'-' Рд'г», если р = 3 (пюй 4). Доказательство.
Применяя теорему 5.12 (1») и учитывая, Ч = т1, получим б (»1, у,)' = Ч ( — Ц д, а поскольку в силу за ' ' чания 5.13 »)( — 1) =- 1 при о = 1 (п1од 4) и »)( — 1) = — 1 пр; д— : 3 (пюй 4)„то дп» если д = 1(шод 4), б (») Хг) = (5, 1+ (ч'~', если д: — 3(пюд 4), Главная сложность состоит в определении правильного зна Рассмотрим сначала случай з = 1.
Пусть !г — множест, всех комплекснозначных функций, определенных на множ Гр, оно представляет собой (р — 1)-мерное векторное простр ство над полем комплексных чисел. Базис этого простран $2. Суммы Гаусса можно, например, построить из характеристических функций»„ , элементов группы Га, которые определяются условиями»»(с) = 1, если с =/,и»»(с) =<),если счь»,/= 1,2,...
, р — 1, Из соотношения ортогональности (5,11) легко вытекает, что мультипликативные характеры <ра, <р<, ..., <рр з поли Гр, определенные в теореме 5.8, ввиду их линейной независимости иад р'р тоже образуют базис пространства У. Пусть 4 = еза<»а; определим линейный оператор Т иа пространстве 1', задавая ТЬ для Ь ~ У равенством р — 1 (ТЬ) (с) =- Е ~"Ь (Ь) для с = 1, 2, „р — 1, (5.26) а=! Учитывая, что, согласно (5,6) и теореме 5.7, ~ы = Х (Ь), получаем из теоремы 5.12 (!), что для каждого мультипликативного характера <р поля р„справедливо равенство Т<р= б(<р, Х,)<р.
Поскольку равенство <р = <р имеет место лишь для тривиального и квадратичного характеров, то матрица оператора Т в базисе <р„ <р<, ..., <р„ з имеет два диагональных ненулевых элемента, а именно б (<г„ Х,) = — 1 (ввиду (5.14)) и б (<1, Х,), и, кроме того, семейство диагональных блоков вида б(р, Х) О соответствующих каждой паре <р, <р сопряженных характеров (отличных от тривиального и квадратичного).
При подсчете определителя этой матрицы мы от каждого такого блока на основании теоремы 5.12 (1ч) получаем сомиожитель — б(г Х<) б(р Х!) = — р( — ц р. Таким образом, <р-змз бе((Т) = — б(Ч, Х!) ( — р)<" з!»з П <г» ( 1? (5'2Т) »=! Далее, так как <г» ( — 1) = <г( ( — 1) = ( — 1)» <а-з!»з Д р ( 1) ( 1)<+з+" +<а-змз ( 1)о <! <а-3!»з. (5.28) »=1 Кроме того, поскольку 1 1, если р = — 1 (шод 4), <<а-<>»<в если р ив з 3 (<под 4), получаем из (5.25), что ) ~ГЫ вЂ” <Р»4 \»з Гл. 3. Тригоиометричесиие суммы 252 Учитывая равенства (5.27), (5.28) и (5.29), получаем, что,' с(е((Т) л- ( 1)!Р— ! Н2 (!Р— 1>'>4 ( 1)!Р— и ! — зыз р!Р— 2>>2 — ~ ( ()!р->из(!р-1>2(4+!р — и !р — з>>4р!р — 2нз 1 т.
е 4(е((Т) — ~ ( ))!р — 1>/2!!р-1> (р — 2И2р>р — 2>!2 (5 Теперь мы вычислим определитель 4(е( (Т), задавая матря оператора Т в базисе Г„~„..., (р „. Из (5.26) находим, что,.' йе((Т) = йе(((ь(2)1 -;, е<р !) = де(((Я> (е '>)!<и 4<р — !) = = ~1+2+" +! — '> 4(е(((ь( !' — '>)!<ь и<, 1) = = йе(((ь>!е '>)1<5 е<р — 1) т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
