Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 54
Текст из файла (страница 54)
4,3. Применить алгоритм Берлекэмпа для определения числа разли нормированных неприводимых делителей многочлена ха+ 1 в кольце ю для всех нечетных простых чисел р. 4,0, Использовать многочлены Т; из теоремы 4 3 для разложения ми" члена хз -ь ха+ 1 над полем Гз. 4.7. Найти поле разложения мяогочлена х'.!- х" 1.
х".+ х'+ хз [ хз над полем Гз. а 4.8. Найти поле разложения многочлена х' — х' — х — х+ 1 над полемзз- 4,0, Использовать многочлеяы Ры нз теоремы 4.5 для разложения мн стена из упр. 4.1 над полем Кт 4,10, Найти каноническое разложеяне многочлена х" + ха+ хз -! хз+[мяя в кольце Кз [х[, используя многочлены 4.11. Найти каноническое разложение кругового многочлсна !7зт(х) в коляд~~,. Кз [х). 4,12. Разложить многочлен ) (х) =- х'+ хз -,'. ! над полем Рз и вычислят)г-. оге) () (х)). 4.13. Разложить многочлен ) (х) =- х'+ х" 4- х" -1- х'+ хз+ х+ 1 иадиять ,' чем Ез и вычислить огб ([ (х)). 4,14.
Дать подробное доказател~ ство того, что если ) — ненулевой многочлея чад некоторым полем и г( = НОД (), )'). то многочлен [ гй не имеет кратиыя) неприводимых сомножителей. (Замечание. Считать ненулевые постоянные мищвя тлены многочлеиами без кратных сомножителей.) 4.15. Пусть ) — нормированный многочлеп положительной степени с цйет лымн коэффициентами, не имеющий кратных сол~ножнтелей. Доказать, что Су'! ществует лишь конечвое число простых чисел р, таких, что ), рассматриваемкйв*' кан чногочлеи над полем Кп, имеет кратные сомножители. 4.10. ОпРеделпть число ноРмнРоаанных многочленов нз йч [х[ степан!(: ч ) 1, не имеющих кратных неприводячых сомяожнтелей.
4.17. Пусть ) — нормированный чногочлеа над полем Кч,и пустьйм ..., яге.г ~енулевые многочлеиы над т'ч, которые попарно взаимно просты. Доказать, чтр Г сслн [ делит произведение кт .„х„то [.= П НОД (Д хг) г=! 4.18. Используя алгоритм Берлекэмпа, доказать следующий частный слу. чай теорелгы 3.70: если аея' и г — простой делитель числа 4 — 1, то двучлея хг — а неприводим в польце [ь'е [х) тогда и только тогда, когда а!ч 1 +1 ° 4.19. Пусть [ — непризоднмый многочлен степени л нз [Р, [х) и я Х я", матрица В ==.
(0О) определена условиетг (4.4). Доказать, ыо характеристический чногочлен йе! (х 7 — В) матрипы В рзвен х" — ! 4.20. Пусть многочлен ) равен произведению й различных нормированных неприводимых многочлснов [,...., )х из Кч [х) степеней п,..., ль соответственно . положим бей ()) =. п .-" л, + ... -1- лх и определим йх л'.матрицу В=(0!))' условяеч (4.4). Доказать, что характеристический многочлеп бе! (хУ вЂ” В) мат", рицы В равен произведеншо тх ' — 1) ... [х Ь вЂ” 1). 4.21. Б обозначениях теоремы 4.3 доказать, что мяогочлены Т! не отЖ'. лают тех неприводимых сомножителей [; много отека Б для которых число дГ/л делится на характеристику поля Ке.
4.22. Пусть )Б яч [х) — нормированный многочлен степени и ) 1. Опав.'. делим миогочлен от двух переменных й Е Рч [х, у[ равенством ,'4, й (х, р) = (у — х) (у — хт) (у — хе ) ... тгу — хч ) — г'(у) з -! 233 Упражнения н пр' оедстаапч его в виде И (х, у) = з„ , (х) у" ' + + з, (х) у + з,(х). -!о.азать, что чногочлен ) тогда и только тогда неприподим над полем г я, когда ) ,:,ло ка льп1 нз многочленов зщ О ( !' < л — 1. 4,23, Применить критерий из предыдущего упражнения для доказательства арпа йпйостн многочлена х' + х' + хз + х' + 1 над полем Ь"з.
4 24. Доказать, что квадратный многочлен ) (х) = — х' -1- Ьх + с неприво- днч пад полем Кт тогда и тельно тогда, когда он делит трехчлен хт + х + Ь. 4 26. пусть ) — неприводимый многочлен степени гл из Гз )х) и х — его но!к пь в ноле )Р „. Доказать, что если у и И вЂ” ненулевые ыногочлены из Гч (х), Р ~ погочлен И (х) ) (у(х)(И (х)) неприводим в т'з )х) тогда и только тогда, ко:,!т чпогочлен у (х) — ИИ (х) неприводим в кольце т',„)х).
4 26, Применить метод, использованный в примере 4.7, для разложения шьп члена х' )- Зхз+ 4х + 2х — 1 над полем Рта. 4,27. Применить метод, использованный в примере 4.7, зля разложения ш ш очлсна хз — бхз — 8х — 8 над полем Ггм 1 28. Применить алгоритм Цассенхауза для разложения многочлена х' + Зсщ Р 4х' -1- 2х — 1 над полем К,з. 4.29. Применить алгоритм цассенхауза для разложения многочлена хз— и '"' — 8х — 8 над полем г'зз. 4.39. Применить алгоритм Цассенхауза для разложения многочлена х'+ 3: г 2хз — бха+ 5 наД полем й" зт.
4.31. !эазложить многочлен хь — 7хз+ 4хе+ 2х -1- 4 над полем т',. т тз' 4.32. Разложить многочлен хх — Зхз+ 4х — бх — 8 над полем т'тт. 4.33. Дать подробное доказательство того, что эквивалентность квадратных са рнц нз многочленов, введенная в определении 4.!1, рефлексивна, симметрична и 61анзнтнана. 4.34. Применить метод, использованный в примере 4.14, для разложения сь ; 1члена ха — бха — 8х — 8 над полем )г",т. 4 33, Применить метод, использованный в примере 4.14, для разложении ,'оч.тена хь + Зхх + 2хз — бх + 5 над полем К,т. 4.36.
Применить метод, использованный в примере 4.14, для получения гшного разложения многочлена х' — 2х" — 4х' + Зх' — 5хз + Зх + 5 над '*'ч Км и завершить разложение другим методом. 4.37. Найти корни многочлена 1(х) =- хь — ха+ 2х'+ х' — х — 2Е ,' т !х), содержащиеся в поле г'а. 4.38. Найти корни многочлена ) (х) = хз+ бал+ 2х' — бх' — 5х+ 5Е ' Гг, (х ), содержащиеся в поле !)'гз 4.39. Доказать, что все корни многочлена ) (х) =- хт+ 8хт+ бх — 7~ Г,. !х! срдержатся в поле Ь,а, и найти их, 4.40.
„бысть Гзт = )Рз (5), где 5 — корень неприаодимого многочлена х'+ ! йад полем гз. Доказать, что все корни многочлена ) (х) = — х'+ ())а+ 1) х'+ рзх+ (рч+ )Р+ 5+1)стзз )х) содержатся в поле Гм, и шш ~к нх. 4 41, Пусть 9' — Кз ф), где р — норень неприводимого многочлена хз— 1 над полем т'з. Доказать, что все корни многочлена ) (х) = хз+ х'— !о — р т' 1) х+ (р' — !) Е)рзт (х) лежат в поле Гтт, и найти их.
4.42. Пусть й'зат = Ега ф), где Р— корень нейриводимого многочлена х — 1 над полем Ь"га. Найти корни многочлена ! (х) = х'+ (35+ 1) х+ <)1 —; — 5) батат (х), содержащиеся в воле агат. 4.43. Пусть )Ет'р )х) и ЬЕт'и, где р — простое нечетное число. Дока- ""', что если ) (х — Ь) — квадратный мнагочлен с постоянным членом с -~ О, то ! азложение (4.22) является нетривиальным в том и только том случае, если с '»" является квадратом какого-нибудь элемента из поля й'и.
234 Гл. 4. Разложение миогочленов на множители 4А4. Пусть р — образующий элемент поля г" = Р' над Р'а. До следующие утверждения: (а) Существует число а, О ~ А ( лг — 1, такое, что Тг„(р~) =- 1. (Ь) Для каждого 1 =- О, 1, ..., т — 1 существует элемент аг Е г"„такой, ()г, если Тги0)г) =О, аг+аг = Ог+)3", если Тг„.(р~) =1, г г где число я определено условием (а). т-! (с) Если У= ~ сД3', сгЕР'„н 1=0 м-1 ха+ к+ у являются элементы ~' сги~ с=о Тг.(у) = О, то норнями многочл' т-1 а и 1+ ~ сгаг. г=с Глава 5 Тригонометрические суммы В теории чисел тригонометрические (или экспоненциальные) суммы являются важным инструментом для решения различных проблем, связанных с целыми числами, которые часто не поддаются решению другими методами.
Такие суммы можно рассматривать и в теории конечных полей, причем и здееь они оказываются весьма полезными — например, при исследовании вопроса о числе решений уравнений над конечными полями (см. гл. 6), а также в различных приложениях конечных полей. При использовании тригонометрических сумм в теории конечных полей главную роль играет некоторая специальная группа гомоморфизмов, называемых характерами. Нужно различать два типа характеров — аддитивные и мультипликативные — в зависимости от того, с аддитивной или мультипликативной группами данного конечного поля связаны упомянутые гомоморфизмы.
Тригонометрические суммы образуются из значений одного или нескольких характеров, при этом возможно сочетание их с некоторыми функциональными величинами. Когда суммируются значения какого-то одного характера, то мы будем говорить о сумме значений характера. В первом параграфе мы получим основные соотношения для характеров, сначала рассматривая произвольную конечную абелеву группу, а затем переходя к конечным полям. В 5 2 будут изучаться суммы Гаусса, бесспорно являющиеся самым важным типом тригонометрических сумм для конечных полей, поскольку они связывают аддитивную и мультипликативиую структуры конечного поля.
Оии возникают также во многих вопросах алгебры н теории "исел. С суммами Гаусса тесно связаны суммы Якоби, изучаемые в третьем параграфе. Эти суммы особенно важны для приложений к уравнениям над конечными полями (см. гл. 6). Суммы значений характеров с полиномиальными аргументами (пвогда называемые суммами Вейля) изучаются в 5 4. Исследован"е проводится сугубо элементарными средствами, т. е. без при'~ечения алгебраической геометрии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
