Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 58
Текст из файла (страница 58)
е. йе((Т) является определителем Вандермонда. Поэтому ' де( (Т) = Ц (ь" — ~"'). 1<т<«<р — 1 2 При 6 = е"ир мы получаем де((Т) = П (62« — 6"") = !Мр«<«<Р— 1 П 6 +м (6« — м 6 — !« — м>) 1<«\<«<р — 1 =и'-и(".' ) ! <щ <«<р — 1 !<м<«<«-1 Так как р-1 « — ! (и + гп) = ) ~) (и + гп) = 1<м<м<р — 1 «=2 р — 2 З ерз з у 2 с.1 = — Р п (п — ) ) = — 2 ' (п'+ и) = 2 «=2 ф 3 / р — 2)(р — 1)(2р — 3) (р — 2)(р — 1) ) 2 6 2 р (р — 1) (р — 2) 2 э го первое произведение равно 6Ро — 1> о — зй = ( ))4Р— 1> !Р— 2>/2 — (( )(Р— 2) (и-п>2 ( ))1 игз.
'" Кроме того, 'з А= и (2$1п ( )))О, 1<т<«<~ — ! э 2. Суммы Гаусса так что йе1 (Т) = ( 1)<о-ил 1<~ — 'ко — оыоА, где А > О. д, если т нечетно или — четно; в+! а(ф, 11,) = — о, если т четно, а о нечетно. Доказательство.
Положим Е = Ро~ и Р = К . Пусть у— примитивный элемент поля Е, и пусть й = уо+'. Гогдау» — ' = 1, так что у Е Г; более того, у является примитивным элементом поля Г. Каждый элемент а ~ Е» можно записать в виде а = фуо, где 0 ~ 1' < д — 1 иО ( й ( д + 1. Так как ф (у) = фо+' (у) = 1, то а (ф, х ) = Е Е ф(у'у') х (а'у") = о » — о = Е Ф" (у) Е х1(йву') = »=о ~-о = Е Ф' (у) Е х (ьу") »=о ьче ° (5.31) Сравнивая это выражение с (5.30), мы видим, что в равенстве (5,29) всегда следует брать знак +.
Это доказывает теорему для случая э = 1. Общий случай сразу получается из теоремы 5.14 ввиду того, что канонический аддитивный характер поля К поднимается до канонического аддитивного характера поля г (по формуле (5.7)), а квадратичный характер поля К„ поднимается до квадратичного характера поля Кч. П Учитывая формулы (5.14) и теорему 5.12) (1), можно вывести формулу, аналогичную указанной в теореме 5.15, для суммы Гаусса 6 (о), у) с любым аддитивным характером у поля Ко. Получим теперь формулу для другого частного типа сумм Гаусса, применимую для более широкого класса мультипликативных характеров, но требующую некоторого ограничения на основное поле. Будем использовать понятие порядка мультипликативного характера, введенное в замечании 5.13.
5.16. Теорема (теорема Штикельбергера). 77усть )1, — канонический аддитивный характер поля Г *, где о — некоторая степень простого числа, и пусть ф — нетривиальный мультипликативный характер того же поля, причем порядок т этого характера делит число о + 1. Тогда 2о4 Гл. о. Тригонометрические суммы Поэтому из (5.31) следует, что а(р, Х,) = — Е р (Т)+(д — 1) р)а+)ге(Т) = а»» (а+П/2 = — ~~ )ра(Т) -(-,1)р)а+и/т(у) д,рм+))ж(Т) а=о "» так как )() (у) ~ 1 и )()а+) (Т) = 1.
Далее, поскольку и — поряд характера )Ь, то значение )р)а+))гь (у) = — 1 может получи лишь при четном и и нечетном (д + 1)/т (так как тот )р<а+)))а (Т) = ()р"'у' (Т)))а+)))'" = ( — 1))а+'))'" = — 1. — Перев.). всех же остальных случаях )())а+)))т (Т) = 1. Поэтому для нечетн числа д получим д, если т нечетко или — четно, ч+! б(Ф Хд = (5. — д, если т четно н ~ нечетно. Если же число в четно, то равенство у*<а-)) = — 1 в (5, эквивалентно равенству Та)а-)) = 1, и единственным числом О .< й < )) + 1, удовлетворяющим ему, является й = О.
Поэто нз (5.32) получим, что при 1<й.<)1, при Ь=О, ~, 'и )»» ) = ( ели» Если т, — канонический аддитивный характер поля Р, то, гласно (5.7), Х) (Ьуа) = т) (Тге)е (ЬТ')). Поэтому, учитывая орему 2.23 (и) и (5.9), получаем Х! (Ьу ) = ~~ ит) (Ь Тге/)» (7 )) ье)" ° ь Ее. — 1, если Тгьт(уа) ~0, (5. в — 1, если Тге) (Т') = О. ПосколькУ по опРеделению следа Тгат (Та) = Уа + Таа, Тга)е(Т~) = Отогда итолькотогда, когда Т''а "= — 1. (5, Если число д нечетно, то последнее условие эквивалент " равенству Ь = (д + 1))2, н тогда из (5.32) получаем — 1 при 0<5<))+1, лчь —, )1„(ьуа) = ьбь» д — 1 при Й=~ 2 з 2.
Суммы Гаусса а тогда из (5.31) вытекает, что Р Ф б ()() Х ) = — Д ф' (Т) + )/ — 1 = — Х, ф' (у) + )/ = 'у. Объединяя это с (5.34), получаем искомый результат, П В заключение покажем, как можно использовать суммы Гаусса для получения одного классического результата теории чисел, а именно квадратичного закона взаимности. Напомним (см. пример 5.10), что если р — нечетное простое число и т)— квадратичный характер поля Гю то для с чй 0 (глод р) символ ге х гет Лежандра ~ — ! определяется равенством ~ — ! = т) (с). ~р! Р 5.17.
Теорема (квадратичный закон взаимности). Для любых различных нечетных простых чисел р и г имеет место равенство Доказательство. Пусть )) — квадратичный и Х, — канонический адднтивный характеры поля Г„; положим б= б()), Х,). Из (5.25) вытекает, что бз = ( — 1)0'-)))ар = р, так что б (бз) о — ) па б р<.-))гзб (5.35) Пусть )с — кольцо целых алгебраических чисел, т. е. Я состоит из всех комплексных чисел, являющихся корнями нормированных многочленов с целыми коэффициентами. Поскольку значения (как аддитнвных, так и мультипликативных) характеров конечных полей являются комплексными корнямн нз единицы, а каждый такой корень является целым алгебраическим числом, то значения сумм Гаусса являются целыми алгебраическими числами.
В частности, б ~ Я. Обозначим через (г) главный идеал кольца Я, порожденный числом г. Тогда факторкольцо Р /(г) имеет характеристику г, и применение теоремы 1А6 дает б" = ( л„')1 (с) Х„(с) 1' = л; Ч'(с) Х1 (с) (той (г)). ~абГр,~ абгар Далее, т)' (с) Х;(с) = Я )1(с)у (с) = б (т), Х ) = т1 (г) б, 6Е' 5К' где в последнем равенстве использована теорема 5.12 (1), так что б' : — )1 (г) б (пюд (г)). Гл.
6. Тригонометрические суммы 266 Объединяя это с (5.35), получаем ро — )))тб = т) (г) б (грос( (г)). умножение на б приводит к сравнению рм — )»ер: — т) (г) р (тод (г)), так как б' = р. Поскольку обе части последнего сравнении.'; фактически являются элементамн кольца Е целых чисел, получаем сравнение в этом кольце: р) — ьер = ц ( ) р (>под г) с;р Поскольку число р взаимно просто с г, то отсюда получаем ср пение р<' )>г' = т) (г) (>под г), далее, умножая на ро — )>г', получаем в силу равенства = ( — 1)>Р— '>мр и сравнения р' — ' .= 1 (>под г) (см. упр.
1.9), " ( — 1)(е )) (г >)и >н р(г ))/е)) (г) (шод г). (5. Поскольку ро — )>l' = ~1(гпобг) и знак + имеет место и только тогда, когда число р сравнимо по модулю г с иек квадратом, то ,м- =~ 1(.М,), хг у Так как >1 (г) = ( — '11, то нз (5.36) получаем ~Рl 1)о — и( — пм= (Р)( )(>и Но целые числа, стоящие в разных частях этого сравнения,, тут быть лишь -Е1, поэтому ввиду того, что г ) 3, сравнение' полняется лишь тогда, когда эти числа совпадают. й 3. Суммы Якоби Если Л вЂ” мультипликативный характер конечного поля то ои определен для всех ненулевых элементов этого поля. пако полезно распространить его определение на все поле положив Л (О) = 1, если Л вЂ” тривиальный характер, и Л (О) если Л вЂ” нетривиальный характер.
При таком доопредел ()-~ ' ~ д, если Л тривиален, Л (с) = (5. 1 О, если Л нетривиален. '6 Ф'о $3. Суммы Якоби 257 1(роме того, теперь условие Л (а„а,) = Л (а,) Л (ад) выполняется для всех а„а, Е К». Пусть заданы Й мультипликативных характеров Лд, ..., Лд поля г'», ' и пусть зафиксирован некоторый элемент а С- К». Определйм сумму '7, (Лы . Лд) = Е Л, (с,) ... Лд (с,), с,+."+сад д где суммирование ведется по всем й-наборам (с,, ..., сд) элементов поля Г», таким, что с, + ... + сд — — а. Таким образом, эта сумма содержйт ад — ' членов.
Если а ~ О, то мы можем положить с, = аЬ„..., сд = аЬд. Тогда Ь, + ... + Ьд = 1, и мы получаем У (Ло . °, Лд) = ~л ~Л1 (аЬ1) ... Лу (аЬд) = ь„+" чь =~ =- Л,(а) ... Лд(а) ~~ лЛд(Ь|) . Лд(Ьд) = ь,ч-" +ьд=~ = (Л, ... Лд)(а)l, (Л„..., Лд). (5.38) В силу этого простого соотношения достаточно рассмотреть лишь две суммы:,1, (Л,, ..., Лд) и l, (Ло ..., Лд). Вторая из них более важна для приложений, поэтому мы для нее будем использовать более простое обозначение.
5.18. Определение. Пусть заданы й мультипликативных ха- рактеров Л„ ..., Лд поля К». Тогда суммой Якоби для них на- зывается сумма ,7(Л,,, Лд) = ~; Л,(с,) ... Лд (сд), » +" +»д=1 где суммирование ведется по всем й-наборам (с,, ..., сд) элементов "оля К», таким, что сд + ... + сд = 1. Если Ь = 1, то у (Л,) = Л, (1) = 1 для любого мультипликатив- ного характера Л, поля К . Поэтому суммы якоби представляют "итерес лишь для й.= 2. Из определения сразу. вытекает, что значение У (Л„..., Лд) ие зависит от порядка, в котором выпи- саны характеры Ло То же справедливо и для /ь (Лд "., Лд) Сумма Якоби 7 (Л,, ..., Лд), а также и сумма 7» (Л„..., Лд) легко вычисляются, если некоторые из характеров Л; тривиальны.
5 19. Теорема. Если все мультипликативнме характеры Л„... ", Лд полл г» тривиальны, то .7(Л„..., Л,) =,7,(Л„..., Лд) = у — . (5.ЗО) Если же некоторые (но не все) из характеров Л; тривиальны, то Х(Лм ". Лд) = lь(Лы ", Лд) = 0 (540) 17 зад. м» Гл. ь. Тригоаоычтрнч»скке суммы Доказательство. Равенства (5.39) очевидны, так как в обо случаях мы имеем сумму «" — ' членов, каждый из которых равен '" Для доказательства (5.40) предположим, что характеры вып саны в таком порядке, что Л,, ..., Л» нетривиальны, а Л»„,,12 ..., Л» тривиальны, где ! < й < й — 1.
Тогда ,((Л,, ..., Л») = Е Л,(с,) ... Л,(с,) = г -~- . -~-», ! Л,(с,) ... Л„(с„). г + .+с»=! Для фиксированных элементов с„..., сь Е Кч существует «»-»-,' решений (с»+„..., с») уравнения с»„+ ... + с» = 1 — с, — .,;,-', — с». Поэтому .((Л,, ..., Л„) =«' — ' — ' ~, "Л,(с,) ... Л„(с») = ги '''' ~»Е«ч =«" — " — '~ ~ Лд(сд)) ... ~ ~; Л»(с»))=0, где последнее равенство вытекает нз (5.37). Аналогичное рассудиьд деиие показывает, что и 1» (Л,, „Л») = О. Для исследования случая, когда все характеры Лд петри альны, нам понадобится один результат, связывающий сумь((аг ,/ь (Л„..., Л») с суммами Якоби.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
