Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 59
Текст из файла (страница 59)
'4 5.20. Теорема. Пусть Л„..., Л» — мультипликативные ха;:, рактеры поля Кч, причем характер Л» нетривиален. Если лрг4': этом характер Л, ... Л» тоже нетривиален, то до (Лд " Л») = О (5.41)' если же характер Л, .„Л„тривиален, то ,У,(Л„..., Л„) = Л,( — 1Ц« — 1),((Л„..., Л„,). (5А2)' Доказательство. Так как случай й = 1 тривиален, то можно:; считать, что й ~ 2. Тогда ,/ь(Лд, ..., Л») = 2; (' ~~ Л,(с,) ...
Л„,(с» д)'~Л»(а) = ' Е Гч '" ,+' "+'»-д= У,(Лд, ..., Л» д)Л»(а). 'Ед'ч Поскольку (в силу нетривиальности Л») Л» (0) = О, то, применен (5.38), получаем ,Т (Л„..., Л») = ~,г',(Л„..., Л» д) Л» (а) = ' Е «" 4 3, Сумин Якоби =2(Л» Л»») Е (Л» . Л»»)( — а)Л»(а)= д е д" =(Л . Л» 1)( — Ь)Х(Л1, . Л 1). ° Е (Л, ... Л,,Л,)(а). д~ь Теперь если характер Л» ... Л» нетривиален, то в силу (5.12) последняя сумма равна нулю и равенство (5.41) доказано. Если же характер Л, ... Л„тривиален, то последняя сумма равна у — 1.
Равенство (5.42) тогда вытекает из следующих равенств: (Л, ... ... Л»») ( — 1) = Л» ( — 1) = Л» ( — 1); последнее из них обусловлено действительностью числа Л» ( — 1), поскольку Л, ( — 1)д = Л„(1) = .=- 1, П В случае когда все характеры Л~ нетривиальны, существует важная связь между суммами Якоби и суммами Гаусса, которая позволит нам вычислить абсолютные величины сумм Якоби. 5.21.
Теорема. Пусть Л„..., Л» — нетривиальные мультинликативные, а )( — нетривиальный аддитивный характеры поля Гд. Тогда если характер Л, ... Л„нетривиален, то 2(Л» Л ) = ( ~' "1 "' (»' 1' (5.43) А = С(Л, Л ) если же характер Л, ... Л» тривиален, то ,1(Л,, ..., Л,) = -Л,( — 1),((Л,, ..., Л,,) = = — — 0(Л», у) ... 6(Л», 2), (5.44) Доказательство. Ввиду нетривиальности каждого характера Л имеем Л, (0) = О, так что б(Ло у) = 2„' Л,(с,)т,(с~). »~ Е Ф'д Поэтому 0(Л„Х)...а(Л»,Х)=(' Е Л,(с,)2(с,)')...~ Е Л»(с»)К(с»))= 'Левад / (ь»~.д 3 Л,(с»)... Л»(с») т,(с, +... + с») ди ..
»»Е1Гд 2,» 2(а) Я Л,(с,) ... Л»(с») = а с д'д д»+" +ь» — — а у(а)1,(Л,, ..., Л»). ь4уд 1Г' Гл. З, Тригонометрические суммы Если характер Х, ... «д нетривиален, тон силу (5.41) У ()» ... ).д) = О, и иа основании (5.38) получаем 6(Х,, Х) ... 6(),д, Х) = г'()с,, )с ) Е ()с ) )(а) 2(а) = '„, ас1Ге = 7(Хм ..., Хд)6()с» .. )сд, )1). Здесь 6 (), ...
Х», )г) -й 0 в силу (5.15), поскольку харак ), Хд нетривиален, и тем самым равенство (5.43) доказан ° Если же характер ), ... ) д тривиален, то ввиду (5.38) име ' l, ().„..., )д) = — 7 (Х,, ..., ).д) для всех а Е Ц, и поэтому ,7 Р,„..., Х„)+(д — 1) 7(Л,..., ) ) = лл 7 ()с», ..., Х~) = асз Х, (с,) ... ) д (сд) = г ° . ° . гу ~$, =( Е ) ( )) " ( Е ). ("))= где в последне«) равенстве использовано (5.37). Отсюда, примен (5.42), получаем первое равенство из (5.44). Кроме того, ввио' нетривиальности характера ), ... ).д, мы можем примен (5.43) и получим )„( 1)7(~ ) ) ««( — ))о(»м х) о(~д м х) »«1 — ))б(«м х) о(«д ° х)а (хд. х) а («д, х) а Р,д, х) = — 6()с Х) ..
6()«Х) используя на последнем шаге теорему 5.12 ()у). Таким образом доказано и второе равенство из (5.44). Ц: 5.22. Теорема. Пусть Х„..., ).д — нетривиальные мульти) ~ пликативные характеры поля гц. Тогда если характер )д ... дд", нетривиален, то 1л ()" * "«)1 = и' (5.45)' если же характер Х, ... ),д тривиален, то 1,7() ..
Х )~ = д<" "гд. (5.46г' Доказательспгво. Равенство (5.45) вытекает из (5.15) и (5.43). а равенство (5.46) — из (5.15) и (5.44). 5.23. Следствие. Если Х,, ..., ).д — нетривиальные мульти' пликативные характерны поля К» и характер )д ." )д трави ален, то 1 Те ()с " )»д)! = (Ч вЂ” 1) Ф" 4 3. Суммы Якоби доказательство. Утверждение вытекает из (5.42) и (5.45). () 5.24. Пример. Дадим еще одно доказательство квадратичного закона взаимности (см. теорему 5.17), применяя свойства сумм Якоби. Пусть р и г — различные простые нечетные числа, Ч— квадратичный характер, а т) — канонический аддитивный характер поля Гр и 6 = 6 (Ч, )(1). Определим сумму Якоби 7 для поли Кр равенством l = ((Ч ° ° ° Ч) = с.) Ч(с() ° ° ° Ч(с) Поскольку Ч'+' — тривиальный характер, то из второго равенства (5.44) получаем О«+' = Ч ( — 1) РЗ = Р), где б = ( Цо — !)«ар С другой стороны, бз = р (из доказательства теоремы 5.17), так что б«+1 («)2)(«+1)/2 — р(«+1)/2 Сравнивая, получаем, что 7 — р(«!)/2 (5.47) Теперь рассмотрим члены суммы 7.
Поскольку характер Ч принимает лишь значения О и ~1, то каждый член суммы,) является целым числом. Если с, = ... = с, = с, то с должно быть равно « ' ~ гр, н соответствующий г-набору (с, ..., с) член суммы 7 имеет значение Ч«(г ') = Ч (г ') = Ч(г). Если же элементы с( ие зсе равны между собой, то существует г различных г-наборов, получаемых из (с„..., с,) циклическими перестановками.
Соответствующие нм члены суммы 7 должны совпадать, и, таким образом, сумма этих г членов будет сравнима с нулем по модулю'г. Разбивая сумму ( на такие группы слагаемых, мы получим, что у = Ч («) (шо(1 г). Вместе с (5.47) это дает р(' — ')«2 = — Ч (г) (шо(( г). Завершение доказательства проводится так же, как и в теореме 5.17. П 5.25. Пример. Докажем с помощью сумм Якоби, что каждое простое нечетное число р, которое сравнимо с 1 по модулю 4, представимо в виде суммы квадратов двух целых чисел.
Поскольку 4 делит число р — 1, то из следствия 5.9 вытекает существование мУльтипликативного хаРактеРа ) полЯ Кр, имеющего поРЯдок 4 (определение порядка мультипликативного характера см. в замечании 5.13). Тогда 1( может принимать лишь значения О, ~1 " *!', поэтому ясно, что для квадратичного характера Ч = Хз ,7 (1(, 21) = ~ Х (с() 21 (с,) = А + В(, 2,+2~=1 Гл, 5. Тригонометрические суммы где А и  — некоторые целые числа.
На основании (5.45), р = ~ .( (Х, д1) (д = Ад + Вд, и утверждение доказано. Заметим, что простое нечетное число р, сравнимое с 3 по дулю 4, нельзя записать в виде суммы двух квадратов ц чисел, так как квадрат целого числа сравним по модулю 4 лн с О, либо с 1; поэтому А'+ В' никогда не может быть сравнимо " по модулю 4. Что же касается единственного простого чи не рассмотренного выше, а именно р = 2, то оно, очевидно, явл' ется суммой двух квадратов целых чисел, поскольку 2 = 1д . + 12 Существует аналог теоремы 5.14 для сумм Якоби. Будем сно ' употреблять понятие поднятия характеров, введенное перед ремой 5.14. 5.26. Теорема. Пусть Х„..., Хь — нультипликативные рактеры поля Гд, не все из которых тривиальны.
Ес' Х;, ..., ) ь — соответственно поднятия характеров Х,, ' ..., ),ь до конечного расширения Е поля Гд, где 1Е "Кд) = з, то ,(().1, ..., ),1) =(-1)1*->< — 1,((),м ..., Л,). (5 Доказательство. Заметим, что поднимая тривиальный рактер, получаем снова тривиальный характер, а поднимая н виальный, получаем нетривиальный. Поэтому если какой-л ' нз характеров )д тривиален, то обе части равенства (5.48) рав ' нулю, согласно (5.40). Если все характеры )„..., )ь иетр альпы и характер Х, ...
)ь тоже иетривиален, то для некотор нетривиального аддитивного характера у. поля Кд из (5.45)"' теоремы 5.14 следует, что 6 (х;, х ) ... 6 (х„, х ) l(Х;, ..., Х,') = 6(; ".;, х') ( — !)' '6( х)* " ( — 1)' '6(х х)' ( — 1)' '6Рд " хь х)' = ( — 1)' 11 ) г (Х~ )~ь)'. Если же все характеры Х, нетривиальны, но характер )и ... тривиален, то из (5.44) н теоремы 5.14 вытекает, что ,((),;, ...,)ь)= — —,а(),;, )() ...
а();, Х)= 1 1 = — — ( — 1)о-и "а()~ )()~ ... а()ь, )()*= $ й 3. Суммы якоби = ( — 1) ( — 1) ( — — б(Л Х) . б(Л Х)) = = ( — 1)< -и м-п.l (Л Л )* П Для случая й = 2, который часто встречается в приложениях сумм Якоби, можно установить несколько результатов, представляющих особый интерес. Мы снова бУдем употреблять понятие порядка мультипликативного характера, введенное в замечании 5.13. 5,27. Теорема. Пусть Л вЂ” мультипликативнаи характер поля имеющий порядок т ~ 2, и пусть Х вЂ” нетривиальный аддитивнай характер того жг поля.
Тогда б (Л Х)" = Л (-1) У 7 (Л, Л) 7 (Л, Л') ... 7 (Л, Л"-'). (5.43) Доказательство. Сначала допустим, что т ) 3. Тогда из (5.43) получим о(л, х) п(лг, х) о(л1+', х) /+, ' = 7(Л, ц) для 1</ <т — 2. Перемножая между собой все эти т — 2 равенств, получим о(л" ', х) = l(Л, Л)У(Л, Лг) ... 7(Л, Л -з). (5.50) Так как Л" — тривиальный характер, то Лм ' = Л, откуда в силу теоремы 5.12 (1ч) б (Л, Х) б (Л -, Х) = Л (-1) у. (5.51) Перемножая равенства (5.50) и (5.51), получаем требуемый результат.
Если же т = 2, то пустое произведение сумм Якоби в правой части интерпретируется как 1, и тогда результат содержится в равенстве (5.51). П Другой результат для й = 2 приводит к замечательному соотношению между суммами Гаусса. Для аддитивных характеров будем употреблять обозначении, введенные в теореме 5.7. 5 28.
Теорема (соотношение Дэвенпорта — Хассе). Пусть Л и Ф вЂ” мультипликативные характера поля Кч, причем Л имеет порядок т ) 2, а характер ф" нетривиален, и пусгпь уь — нетривиальный аддитивный характер того же поля. Тогда м — ! а(~ хь) — П,у(Ф ц) й(р,х ) =, Гл. 3. Тригонометрические суммы 5,20. Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 5.28. Тв;," гда для нечетного т имеет место равенство т — ! П б (Ч')" Хь) () б (Ч 1 Кть) (5.5ф (=о а для четного т имеет место равенство т — ! П б(ч!х( хь) = ( — 1)го " ' 2(('у( 2(12(((т) хь)гл(Ч ° х ь), (5.5 (=о где Ч вЂ” квадратичный характер поля К . о 'Ж: Прежде всего мы выведем указанное следствие из тео мы 5.28.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
