Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 56
Текст из файла (страница 56)
П Переходя к конечному полю Ге, сразу заметим, что в нем имеется две очень важные конечные абелевы группы, а именно аддитивная и мультипликативная группы этого поля. Поэтому 240 Гл, 5. Трнгенеметрнчеенне суммы необходимо проводить четкое различие между характерам соответствующими этим двум группам. В обоих случаях мы пр' ведем явные формулы для характеров. Рассмотрим сначала аддитивную группу поля Гд.
Пусть р характеристика конечного поля Гд, тогда простым полем, держащимся в Кд, является К,, которое мы отождествля с факторкольцом 7!(р). Пусть Тг: ~д - К вЂ” функция а лютного следа из Г в Гр (см. определение 2.22). Тогда функция Х,' определенная равейством Х, (с) = еенгтг мне длЯ всех сает«, (5. является характером адднтивной группы поля Кд, так как дл любых с„с, Е !(' мы имеем Тг (с, + с,) = Тг (с,) + Тг (се так что Х, (с„+ с,) =- Х, (с,) Х, (с,). Вместо того чтобы говори «характер аддитивной группы поля Кдь, будем в дальнейш ' употреблять термин аддитивный характер поля К .
При это' характер, определенный равенством (5,6), мы будем называ каноническим аддитивным характером поля !гд. Любой аддити ный характер поля Кд можно выразить через канонический ха' рактер 5.7, Теорема. Пусть Кд — конечное поле и 5 ~ К . Тог ' функция Хь, определенная равенством Хь (с) = Х, (ус) для вс ' с Е Кд, является аддитивным характером поля г" . При это каждйй аддитивный характер поля !г' совладает с харакпи ром, '', для некоторого 5 ~ г . Доказательство. Для с„с, ~ 'г Хь (сд + се) = Хг ((юг + усе) =- Хг (Ьс«) Хг (ус,) = Хь (сг) Хь (се)«-;;.' и первая часть установлена. Поскольку, согласно теореме 2.23 (ш), функция Тг о жает поле г на ~ , то Х, — нетривиальный характер.
П для а, 5 ~ г'д, а чь 5, найдется элемент с ~ Г„ такой, что так что Х, и Хь — различные характеры. Поэтому когда эл пробегает поле Кд, мы получаем у различных адаптивных теров Хь. С другой стороны, согласно теореме 5.5, сущ ровно о аддитивных характеров поля Гд, так что этим с исчерпываются' все аддитивные характеры поля Гд, Полагая 5 =- О в теореме 5.7, мы получаем тривиальиыж,)( Йе рактер Х,, обладающий свойством Х, (с) =- ! для всех с ' и;д Пусть Š— конечное расширение поля К, Х, — канон „, йи "й Й аддитивный характер поля К и !ь, — канонический аддит(т)хны характер поля Е, определенный по аналогии с (5.6), где фул)изхия $1.
Характеры 241 Тг, естественно, заменяется функцией абсолютного следа Тгг из Е в Кр. НетРУдно видеть, что хаРактеРы Х, и Р» свЯзаны следчющим равенством: тл(Тге»у ((1)) = (ь,(р) для всех р ~Е, (5 Т) где Тге»р — функция следа из Е в К . Это вытекает из транзитввности функции следа (см. теорему 2.26): Тге(р) = Тг(Тге»р,((1)) для всех р ЕЕ. Характеры мультипликативной группы Г поля в назы- ваются мультипликативными характерами поля К . Поскольку р,' — циклическая группа порядка у — 1 (см.
теорему 2.8), то ее характеры легко найти. 5.8. Теорема. Пусть д — некоторый фиксированный прими- тивный элемент поля К . Тогда для каждого 1, О «(1 «( о — 2, функция ф;, определенйая равенством ф»(уе) = е'Я»»"»и-'> для всех й, 0«я (д — 2, определяет некоторый мультипликативный характер поля г . При этом каждый мультипликативный характер поля Г совпа- дает с характером ф» для некоторого 1, О «« / < д — 2. »(оказательство. Утверждение теоремы сразу вытекает из примера 5.1.
П Независимо от выбора примитивного элемента у в теореме 5.8 характер фе всегда является тривиальным мультипликативным характером, т. е. обладает свойством фе (с) = 1 для всех с ~ Г,. 5.9. Следствие. Труппа мультипликативных характеров ко- нечного поля г является циклической группой порядка д — 1 с единичным глементом фе Доказательство.
Каждый характер ф» из теоремы 5.8, для которого индекс 1 взаимно прост с числом о — 1, является обра- зуюв1им элементом группы (г ) мультипликативных характеров поля ге () 5 1О Пример. Пусть ге — поле нечетной характеристики, и ~усть иа его мультнпликативной группе г задана действительно- зиачиая функция 11, такая, что и (с) = 1 для элементов с, являю- щихся квадратами некоторых элементов группы Ке, и т) (с) = — 1 для всех остальных элементов с ~ г,. Легко проверить, что е) "вляется мультипликатнвным характером поля Ке.
Он совпадает ' х~рактером ф> из теоремы 5.8 при 1 = (д — 1) 2. Характер т) '"нулирует подгруппу группы у', состоящую из квадратов эле- 1З зяя. ам Гл. 3. Тригонометрические суммы 242 ментов этой группы, и, согласно теореме 5.6, он является ственным нетривиальным характером группы Ге, облада таким свойством. Этот однозначно определенный характерд называется «вадратичным характером поля Г. Если а — П' етое нечетное число, то с помощью квадратичного харак и сх можно определить символ Лежандра ( — ) из элементарной Ч рии чисел, полагая ( — 1=у((с), где сЕГе. ~9/ Соотношения ортогональностн (5.3) и (5,4), примененные к дитивным или мультипликативным характерам поля Ге, пр' водят к некоторым фундаментальным тождествам.
Рассмотр сначала случай адаптивных характеров, для которых мы б использовать те же обозначения, что и в теореме 5.7. Тогда аддитивных хаРактеРов и, и уь мы имеем — (О, если а~Ь, Х (с) 1(ь (с) = ~ с5 Ге если а= Ь. В частности, у,(с) =О, если ачьО. с5Ге Далее, для элементов с, е( Е Ге — ( О, если с ~е(, уе(с)у~,(д) =1 Ьк Ге 14, если с=д. Аналогично для мультипликативных характеров ф и и поли имеет место соотношение — О, если фчьт, ф (с) т (с) = ~ с ЕГ ~ а — 1, если ф= и.
В частности„ (5.12 Е ф(с) = О, если сйГ Если с, е( ~ Ге, то ~ ф(~) ф(е() а — 1, если с = д, где сумма берется по всем мультипликативным характерам поля Ге. з 2. Суммы Гаусса $2. Суммы Гаусса Пусть ~р — мультипликативный, а Х вЂ” аддитивный характеры поля К . Тогда сумма Гаусса ') для поля ге определяется следующим равенством: 6 (~р, Х) = ~~ ф (с) Х (с). сЕГ у — 1, с ~р=~ры Х=Хл, 6И Х)= 1 " Е='р Х~Хе О, если ф чь ф„Х = Хл. (5.14) Если же фифе и Х~Ха, то )6(Ф, х)! = у'" (5.15) Доказательство. Первый случай из (5.14) тривиален, третий сразу вытекает из (5.12), а во втором случае, согласно (5.9), 6(рв Х) = Е Х(с) = Е Х(с) — Х(0)= — 1.
ссГ ссГе Если жеф~ф их„-ьхе, то )6(Ф х)!'=6(Ф, х)6(Ф, х) = = Е Е ~цс) Х (с) р (сх) Х (сх) = сЕГ' с1ЕГ = Е Е р (с-'сх) Х (сх - с). сЕГ" с1 ЕГе 1 )о, б... (ч"с"ьнмми), поскольку входящие в иих характеры являются экспоиенциальиымн !"лн тригонометрическими) функцнямн, как это вндко на примера 5.1, равенства 1 ) н теорем 5.7 и 5.8. — Прим ларса. 16е Абсолютная величина суммы Гаусса б (~р, Х), очевидно, не превышает числа д — 1, но, как правило, гораздо меньше, что вытекает из следующей теоремы. Снова через фе будем обозначать тривиальный мультипликативный характер, а через Хе — тривиальный адаптивный характер поля Гр.
5.11. Теорема. Пусть ф — некоторый мультипликативныи, а Х вЂ” аддитивный характеры поля Ге. Тогда сумма Гаусса б (ф, Х) удовлетворяет следующему соотноиаениюс Гл, о. Тригонометрические суммы 244 Введем новую переменную с(, полагая во внутренней сумме с тсе, = с(; тогда 16(р. Х)1*= Е Е рему(с(д — 1)) = сЕсе осте = Е Р(д)1Е Х((д-1))-Х(О))= вЕ ре ~~6 ~е = Е Ф(д) Е Х(с(а — 1)), сЕсе где в последнем равенстве использовано соотношение (5.1 Внутренняя сумма ввиду (5.9) принимает значение д при с( и значение О при Ы ~ 1, Поэтому ~ 6 (ф, Х)1е = ~р (1) д = усе тем самым равенство (5.15) установлено. Изучая поведение сумм Гаусса при различных преобразо ниях аддитивных или мультипликативных характеров, мо получить некоторые полезные тождества. 9" 5.12.
Теорема. Суммы Гаусса для конечного поля Г» удовле ряют следующим условиям: (1) О ($, Хеь) = Ф (а) 6 (Ф Хь) для аЕГе, Ь~Уе; ь' (В) 6(Ф, Х)=~Р( — 1)бй, Х); (ш) 6(Ф, Х) = р( — 1) 6($ Х); ((ч) 6(1Ь, Х)б(Ф, Х) =~Р( — 1)д для фифе, Хаус', (ч) О ($с Хь) = 6 (~Р, Хомо) длл ЬЕЕе, где Р— хаРакте отака поля К и о (Ь) = Ьс. Доказательство. (1) Согласно определению из теоремы гм, Х,ь (с) = Х, (аЬс) = Хь (ас) для любого с ~ Ге.
Поэтому б (1р, у ь) = ~ ф (с) у ь (с) = ~ ф (с) Хь (ас). сЕ ре ссее Введем теперь новую переменную д, полагая с( = ас. Тогда 6(Р, Х.ь)= Е р(а'д)уь(д)= вЕг'е Х = р(а') Е р(д)Х Ф= ~(а)6(р. Х). "сее (В) Согласно теореме 5.7, Х = Хь для подходящим обри . выбранного элемента Ь ~ Ге и Х (с) = Хь ( — с) = Х ь(с) любого с Е ~Ге. Поэтому, используя (1) при а = — 1 и замеч что чр ( — 1) = +1, получаем ОИ, Х) =6(Р, Хь) = Ф( — 1)ОИ, Хь) =Ь( — 1)б(Ф Х)". $2. Суммы Гаусса 245 (1!!) Из (В) вытекает, что б (ф, д) = ф ( — 1) б(ф, Х) = =,р( — 1)б(Ф, Х) ° (1у) Комбинируя (1!!) и (5.15), получаем, что б (р, Х) б (Р, х) = у ( — 1) б (р, х) б (р, )() = = Ф ( — 1Н б (Ф, Х)!' = ~р ( — 1) Ч (у) На основании теоремы 2.23 (у) Тг (а) = Тг (аь) для а Е поэтому согласно (5.б), Х, (а) = у, (аа).
Таким образом, для любого с Е Г получаем )(ь(с) = Х,(Ьс) = т,(Ьаса) =)(ась,(сь), а потому б (р', дь) = Е ~'(с) )( (с) = Е Ь (св) у <ь>(с'). сЕГ~ сел" Но когда с пробегает группу гл, сь тоже пробегает гл, так что отсюда вытекает требуемый результат. а 5.13. Замечание. В связи с доказанными свойствами сумм Гаусса представляет интерес значение ф ( — 1). Очевидно, что ~) ( — 1) = +1. Пусть и — порядок характера ф в группе мультиплнкативиых характеров поля Кю т.
е. и — наименьшее натуральное число, обладающее свойством $ = фь. Тогда и делит число д — 1, так как ф — ' = $ь. Поскольку значениями характера ф являются корни и-й степени из единицы, то значение — 1 может получиться лишь в случае четного числа и. Если а — примитивный элемент поля ге, то ~Р (д) = Ь, где Ь вЂ” первообразный корень и-й степени из едйницы. Если и четно (и, значит, д нечетно), то в силу примитивности я $ ( — 1) = ф (йла — па) = =-- ~м пл. Полученное число равно — 1 в том и только том случае, когда (о — 1)/2 = и!2 (пюд и), т.
е, когда (о — 1)lи зз = 1 (пюд 2). Поэтому ~р ( — 1) = — 1 тогда и только тогда, когда и четно, а (о — 1)/и иечетно. Во всех же остальных случаях мы имеем ~р ( — 1) = 1. П Суммы Гаусса возникают в самых разных областях. Рассмотрим такой пРимеР. ПУсть ~Р— мУльтнпликативный хаРактеР полЯ Ка, ~огда, применяя (5.10), можно написать р()=+;У, Р(д) ~ Х.()Х.И)= ЛСГ'л Ьчт'4 = — ~~~~ )(ь(с) ~~Я 'Р(д) Хь(д) ьсГа лсГ Гл. о, Тригонометрические суммы для каждого с Е Ц. Поэтому ф(с) = — »~»~6(ф, х)у(с) для всех с Е Ц, (5,1' 1 х где сумма берется по всем аддитивным характерам у поля Зто тождество можно рассматривать как разложение Фурье му типликативного характера ф по аддитивным характерам поля р С коэффициентами Фурье которого являются суммы Гаусса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
