Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099)
Текст из файла
ББК 22.144 Л55 УДК 512.52 Монография известных математиков (Австралия, Австрия), отражающая многочисленные связи классического раздела алгебры — теории конечных полей — с комбинаторнкой, теорией кодировании, теорией автоматов. Изложение отличается простотой и ясностью, большим числом (около 600) примеров н упражнений, имеются комментарии исторического характера. Книга входит в известную энциклопедию математики и ее приложений (под ред. Дж.-К. Роты); ряд ее томов переведен в издательствах «Мнр» и «Наукаь.
Русское издание выходит в двух томах. Для математиков-прикладников, инженеров-исследователей, аспирантов и студентов университетов. 1702030000 — 273 Л 041 (01) — 88 ББК 22.144 Редакция лижераглуры яо матемалшеееким наукам 1БВЫ 5-03-000065-8 (русск.) 15ВЫ 5-03-000064-Х 15ВЖ 0-201-13519-1 (англ.) © СашЬгЫйе ()п)чегз11у Ргезз 1985 ТИз Ьоо1«теаз онй)па1)у риЬНзнеб 1п 1Ье Еп81!зЬ 1апйиайе Ьу СашЬ«168е 1)п!чегзИу Ргезз о! СашЬг!бйе, Епй1апд.
© перевод на русский язык, с дополнениями, «Мир», !988 Лндл Ры Нндеррайтер Г. Л55 Конечные поля: В 2-д т. Т. 1. Пер. с англ. — М.: Мнр, 1988. — 430 с. 18 В)ь) 5-03-000055-8 От редактора перевода Конечные поля стали изучаться в начале Х1Х в. Этому предшествовали исследования выдающихся математиков ХЧП и ХЧП1 в.
Но бесспорные заслуги в формировании этого понятия принадлежат Гауссу и Галуа. Длительное время конечные поля изучались и находили применение только в алгебре и теории чисел, однако в последние десятилетия грани соприкосновения теории конечных полей с разными областями математики и ее прикладными разделами существенно расширились. Теория чисел, теория полей, теория групп, алгебраическая геометрия, комбинаторика, теория кодирования — вот далеко не полный перечень разделов математики, с которыми эта теория успешно взаимодействует.
К настоящему времени по теории конечных полей и ее приложениям накопился значительный материал, который разбросан по многочисленным изданиям журнального типа, и вызывает удивление, что до недавних пор ни у нас, ни за рубежом не было монографии по теории конечных полей. Предлагаемая вниманию читателей книга Лидла н Нндеррайтера восполняет этот пробел. Хочется отметить ряд ее несомненных достоинств. Книга написана простым и ясным языком, авторы избегают излишней формализации, текст сопровождается большим числом примеров и упражнений.
В первой главе излагаются все необходимые сведения из алгебры и теории чисел, а последняя содержит таблицы индексов, логарифмов Якоби, неприводимых и примитивных многочленов. Исключительно ценными являются обширные комментарии, которыми оканчивается каждая глава. Они включают в себя исторические сведения и указывают связи рассматриваемых вопросов с другими разделами математики. В этих комментариях обсуждаются также различные подходы к излагаемому материалу. И наконец, книга содержит уникальную по полноте библиографию, занимающую около четверти ее объема н охватывающую практически все монографии и журнальные статьи по этой тематике вплоть до 1983 г.
Все это делает книгу доступной для широкого круга читателей и весьма ценным справочным пособием для всех специалистов, исследования которых связаны с конечными полями. От редактора перевода Она также может быть эффективно использована при подготовке студентов и аспирантов математических факультетов университетов и педвузов.
В процессе перевода в список литературы был добавлен ряд названий. Они помещены отдельным списком и отмечены звездочкой. Добавлено также несколько примечаний, которые либо имеют целью дополнить даваемую авторами историческую перспективу, либо носят характер уточнений. Русское издание выходит в двух томах. Перевод первых шести глав выполнен В. И. Петровым, остальных — А. Е.
Жуковым. В. И. Нечаев От редактора Энциклопедии Математика состоит главным образом из фактов, которые можно представить и описать подобно любому явлению природы. Эти факты, сформулированные явно в виде теорем или скрытые внутри доказательств, составляют основную часть приложений математики и, вероятно, переживут все изменения математических вкусов и интересов. Цель настоящей Энциклопедии — постараться осветить все области математики.
Непременным требованием к автору является ясность изложения материала, доступность для неспециалистов, з также наличие подробной библиографии. Тома Энциклопедии объединяются в серии, которые соответствуют различным областям современной математики; порядок выхода книг в отдельных сериях не устанавливается. Число томов и серий будет по мере надобности пересматриваться. Мы надеемся, что наше предприятие будет способствовать еще более широкому применению математики там, где без нее нельзя обойтись, и сделает возможным ее применение в тех областях, где она могла бы быть полезной, но куда еще не проникла ввиду недостатка информации.
Джан-Карло Рота Предисловие редактора серии В большинстве книг по современной алгебре конечным полям обычно уделяется лишь несколько страниц. Поэтому на первый взгляд может показаться удивительным появление целой книги, посвященной теории конечных полей, да еще вышедшей в серии «Энциклопедия математики и ее приложений». Од»(ако читатель этой книги увидит, что ее авторы выполнили в высшей степени своевременную задачу, собрав воедино различные линии развития, обязанные своим возникновением данному предмету.
В первую очередь следует отметить бурно развивающуюся теорию кодирования (которой в этой серии уже была посвящена монография Макэлайса). В настоящем издании теория кодирования трактуется в более широком контексте теории многочленов над конечными полями, и при этом устанавливается ее связь с линейными рекуррентными последовательностями и регистрами сдвига.
Что же касается «чистой» (т. е, теоретической) стороны, то имеется большая область теории чисел, которая наиболее естественно описывается в терминах конечных полей. Многое из изложенного здесь (например, тригонометрические суммы и уравнения над конечными полями) может служить образцом для более общего случая, и авторы продвигаются так далеко, как это только возможно при использовании лишь элементарных алгебраических методов. В результате книга может служить введением в указанную область. Но конечные поля обладают такими свойствами, которые присущи далеко не всем алгебраическим объектам.
Например, они (как, впрочем, и конечные булевы алгебры) функционально полны. Это значит, что любое отображение конечного поля в себя можно представить с помощью некоторого многочлена. Доказательство этого факта несложно (оно вытекает, например, нз ннтерполяционной формулы Лагранжа), однако при отыскании многочленов, осуществляющих перестановки, возникает целый ряд практических проблем. Такие перестановочные много- члены используются в самых разных областях, и в данной книге излагаются методы их отыскания. Настоящее издание, вполне соответствуя своему назначению настольной книги для прикладников, содержит множество разнообразных алгоритмов Предисловие редактора серии разложения многочленов на множители — как над большими, так и над малыми конечными полями.
Обширные комментарии в конце каждой главы дают интересную историческую перспективу, а исчерпывающая библиография делает данный выпуск Энциклопедии настоящим справочником по конечным полям. П. М. Кои Памеле и Герлинде Предисловие Теория конечных полей — это ветвь современной алгебры, ставшая за последние полвека весьма актуальной в связи с разнообразными приложениями, в том числе в комбинаторике, теории кодирования и математической теории переключательных схем. Начала теории восходят к ХЧП и ХЧП! в, и связаны с именами выдающихся математиков Пьера Ферма (1601 — 1665), Леонарда Эйлера (1707 — !783), Жозефа-Лун Лагранжа (1730 — 18!3) и Адриена-Мари Лежандра (!752 — !833), которые внесли вклад в структурную теорию простых конечных полей. Что же касается общей теории конечных полей, то она началась с работ Карла- Фридриха Гаусса (1777 — 1855) и Эвариста Галуа (18!! — !832), но привлекла внимание прикладников лишь в последние десятилетия, когда резко возросло значение дискретной математики.
В данной монографии, первой книге, целиком посвященной конечным полям, мы хотим представить оба аспекта этого предмета — как классический, так и прикладной. Таким образом, читатель найдет здесь не только вопросы, представляющие собой неотъемлемую сущность теории, но также и те результаты и технические приемы, которые важны главным образом в связи с их использованием в прило>кениях.
Ввиду обширности предмета на выбор материала были наложены жесткие ограничения. Пытаясь сделать книгу по возможности замкнутой в себе, мы воздер>кивались от включения в нее результатов и методов, принадлежащих собственно алгебраической геометрии нли теории полей алгебраических функций. Приложения описываются лишь в пределах, позволяющих обходиться без слишком больших отступлений, Для чтения книги требуются только знание основ линейной алгебры (в пределах первого курса) и некоторые элементарные познания нз анализа. Предварительное знакомство с абстрактной алгеброй, безусловно, полезно, хотя все необходимые сведения приводятся в гл. 1.
Глава 2 занимает в книге центральное место в силу того, что знакомит с общей структурой конечных полей, а также с основными понятиями, используемыми во всей книге. Третья глава, посвященная теории миогочленов, тесно связана с четвертой, рассматривающей алгоритмы разложения многочленов на мно- Предисловие жители, так что их целесообразно изучать вместе.
Столь же тесно связаны гл. 5 и 6, касающиеся тригонометрических сумм. Главы 7 и 8 можно читать независимо друг от друга, они опираются в основном на вторую и третью главы. Приложения, представленные в девятой главе, базируются на материале из предшествующих глав. Глава 10 дополняет некоторые части гл. 2 и Э. Каждая глава открывается кратким обзором ее содержания, поэтому приводить этот обзор в предисловии необязательно. Поскольку данная монография является частью энциклопедической серии, мы стремились дать как можно больше информации при заданном объеме, а это, в частности, привело к исключению некоторых громоздких доказательств. Чтобы не усложнять основной текст, мы вынесли библиографические ссылки в комментарии в конце каждой главы.
Эти комментарии, кроме того, снабжают читателя обзором литературы и сводкой дальнейших результатов. В конце книги собрана воедино вся литература, которая упоминалась в комментариях. Для повышения привлекательности данной монографии как учебного пособия мы поместили в подходящих местах текста разобранные примеры и снабдили каждую главу (кроме последней) списком упражнений. Упражнения эти весьма разнятся по сложности — от обычных задач до самостоятельных доказательств ключевых теорем. Они включают также материал, не охваченный основным текстом. Что касается перекрестных ссылок, то мы перенумеровали все отдельные пункты основного текста последовательно по главам — независимо от того, определения ли это, теоремы, примеры и т.
п. Таким образом, например, «определение 2.41» отсылает к и. 41 гл. 2 (который оказывается определением), а «замечание 6.28» отсылает к п. 28 гл. 6 (который оказывается замечанием). Аналогично «упражнение 5.31» отсылает к списку упражнений к гл. 5. Нам доставляет огромное удовольствие выразить благодарность профессору Джану-Карло Роте за то, что он предложил нам написать эту книгу, и за его терпение в ожидании результатов наших усилий.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
