Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Мы признательны.за помощь госпоже Мелании Бартон, которая с большой тщательностью и умением отпечатала нашу рукопись, и, наконец, мы благодарим весь персонал издательства АИ1зоп-Жез!еу за высокий профессионализм при создании этой книги, Р. Лидл, Г. Оидеррайтер Глава 1 Алгебраические основы Эта вводная глава содержит обзор некоторых основных алгебраических понятий, которые используются в книге. В элементарной алгебре применение арифметических операций (например, сложения и умножения) с заменой конкретных чисел символами обеспечивает возможность получения формул, которые при подстановке чисел вместо символов дают решение частных числовых задач. В современной алгебре уровень абстракции возрастает: от обычных операций над действительными числами переходят к общим операциям — процессам образования в некотором множестве общего вида из двух или более данных элементов некоторого нового элемента, При этом ставится цель изучить общие свойства всевозможных систем, состоящих из множества и некоторого числа заданных на нем и определенным образом взаимодействующих операций, например множества с двумя бинарными операциями, взаимодействующими подобно сложению и умножению действительных чисел.
Мы рассмотрим лишь самые основные определения и свойства алгебраических систем (т. е. множеств с одной или несколькими операциями на них), сознательно ограничив себя тем минимумом теории, который необходим для нашей основной цели— изучения конечных полей. При этом некоторые стандартные результаты мы сообщим без доказательства. В вопросе о множествах мы принимаем наивную точку зрения. Будем использовать следующие числовые множества: ич — множество натуральных, Ж вЂ” целых, (;) — рациональных, И вЂ” действительных и С— комплексных чисел.
в 1. Группы Известны две операции на множестве Ж целых чисел — сложение и умножение. Обобщим понятие операции на произвольное множество. Пусть 5 — некоторое множество, и пусть 5 х 5 обозначает множество упорядоченных пар (з, (), где з Е 5, ( ~ 5. Тогда произвольное отображение из 5 х 5 в 5 мы будем называть (бинарной) операцией на множестве 5. В этом определении мы й Е Группы требуем, чтобы образ каждой пары (з, 1) ~ 5 х 5 был непременно элементом множества 5 — это так называемое свойство замкнутости операции. Под алгебраической системой или алгебраической структурой мы будем понимать некоторое множество 5 с одной или несколькими операциями на нем.
В элементарной арифметике мы имеем дело с двумя операциями — сложением и умножением, важным свойством которых является ассоциативность. Среди всевозможных алгебраических систем, имеющих одну ассоциативную операцию, самыми изученными и развитыми являются группы. Теория групп — один из старейших разделов абстрактной алгебры, который к тому же особенно богат приложениями.
1.1. Определение. Группой (б, «) называется некоторое множество 6 с бинарной операцией «на нем, для которых выполняются следующие три условия: 1. Операция «ассоциативна, т. е, для любых а, Ь, с ~ б а «(Ь «с) = — (а «Ь) «с. 2. В 6 существует единичный элемент (или единица) е, такой„ что для любого а Е б а«е=е«а=а. 3. Для каждого а ~ 6 существует обратный элемент а ' Е 6, такой, что а «а-' = а ' «а = е. Если группа удовлетворяет также следующему условию: 4.
Для любых а, Ь Е 6 а«Ь=Ь«а, то она называется абелевой (или коммутативной). Группу (О, «) будем обозначать просто б. Легко показать, что единичный элемент е группы О, а также обратный элемент а-1 для каждого данного элемента а ~ О определяются однозначно указанными выше условиями. Далее, для всех а, Ь ~ О имеет место равенство (а «Ь)-' = — Ь-' «а '.
Для простоты мы часто для групповой операции будем использовать мультипликативное обозначение (как для обычного умножения) и вместо а «Ь писать а.Ь или просто аЬ (чазывая этот элемент произведением элементов а и Ь). Но необходимо подчеркнуть, что при этом мы отнюдь не предполагаем, что операция и в самом деле является обычным умножением. Иногда, однако, для групповой операции бывает удобно использовать аддитивную запись и писать а + Ь вместо а «Ь (называя этот элемент суммой элементов а и Ь), б вместо е (называя этот элемент нулем) и — а вместо а-'. Такие Гл. !.
Алгебраические основы !4 (аддитивные) обозначения обычно резервируются для абелевых групп. Закон ассоциативности гарантирует, что выражение вида а,а, ... а„, где а, ~ О, 1 а ! ~ и, не содержит никакой двусмысленности, так как независимо от расстановки скобок это выражение всегда представляет один и тот же элемент группы б. Пусть а Е б и и Е 1Ч, Будем применять запись а" = аа ... а (и сомножителей а) н называть элемент а" п-й степенью элемента а. Если же для групповой операции применяется аддитнвное обозначение +, то вместо а" будем писать па = а+ а+ + а (п слагаемых а).
Используя обычные обозначения, мы получаем следующие пра- вила: Лддитивные обозначения М ультипликатиеные обозначения а-" = (а-')" а"а" = а -~." (ат)л — атк ( — п) а=- п( — а) та + па = (т + и) а и (па) = (тп) а Для п = 0 р. Ж полагаем а' = е в мультнплнкативных обозна- чениях и Оа = 0 в апдитнвных (здесь второй нуль является еди- ничным элементом группы 6). !.2. Прнмеры (!) Пусть Сг — множество целых чисел с операцией + (обычным сложением). Известно, что это ассоциативная операция и что сумма двух целых чисел — однозначно определенное целое число. Легко убедиться, что б — группа, в которой единичным элементом является нуль О, а обратным для целого чнсла а— противоположное число — а. Эту группу обозначают через 2.
(й) Множество, состоящее нз единственного элемента е с операцией «, определенной условием е в е = е, образует группу. (111) Пусть б — множество 10, 1, 2, 3, 4, 5) остатков от деления целых чисел на 6, н для а, Ь ~ б пусть а «Ь вЂ” остаток от деления на 6 обычной суммы чисел а и Ь. Существование единичного элемента и обратных здесь очевидно, но для установления ассоциативности операции «требуются некоторые вычисления. Полученную группу можно непосредственно обобщить, заменив целое число 6 любым натуральным числом п.
Интересный класс образуют группы, в которых каждый элемент является степенью некоторого фиксированного элемента 4 1. Группы группы (при аддитивной записи говорят о кратном, а не о сте- пени). 1.3. Определение. Мультипликативная группа 6 называется циклической, если в ней имеется такой элемент а, что каждый элемент Ь ~ 6 является степенью элемента а, т. е, существует целое число й, такое, что Ь = а». Этот элемент а называется абраэуюи(им группы 6.
Для циклической группы 6 применяют обоаначение 6 = (а), Из определения сразу же следует, что каждая циклическая группа коммутативна. Заметим также, что циклическая группа может иметь не один образующий. Например, в аддитивной группе Ж образующим является как 1, так и — 1. Рассматривая аддитивную группу остатков от деления целых чисел на и ~ 1й), обобщающую пример 1.2 (В!), нетрудно заме- тить, что используемый там тип операции приводит к отношению эквивалентности на множестве целых чисел.
В общем случае отношением эквивалентности на множестве 5 называется под- множество Я множества 5 м 5 упорядоченных пар (э, 1), э, 1 ~ 5, обладающее следующими тремя свойствами: (а) (э, э) Е»к' для всех э ~ 5 (рефлексивноеть). (Ь) Если (э, 1) ~ К, то (1, э) Е Я (симметричность). (с) Если (э, 1), (1, и) ~ )к, то (э, и) ~ Я (транэитивноеть). Элементы э, 1 ~ 5 называются эквивалентными, если (э, 1) Е К. Наиболее простым примером отношения эквивалентности явля- ется равенство. Важно отметить, что любое отношение эквива- лентности на множестве 5 вызывает некоторое разбиение этого множества, т.
е. представление 5 в виде объединения его непу- стых попарно непересекающихся подмножеств. Собрав вместе все элементы множества 5, эквивалентные некоторому фиксиро- ванному элементу э ~ 5, получим класс эквивалентности эле- мента э, обозначаемый символом (э) = (1 Е 51(э 1) Е В. ,: Совокупность всех различных классов эквивалентности и дает ' требуемое разбиение множества 5. Заметим, что (э) = Н) в том ' и только том случае, когда э и 1 эквивалентны, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
