Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Тогда (" (а + Ь) = 1а + Ь 1 = — (а 1 + (Ь 1 = 1" (а) + ) (Ь) дляа,Ь~У, так что 1 — гомоморфнзм (точнее, эпиморфизм). Если 1: 6 -» Н вЂ” гомоморфизм и е — единичный элемент группы 6, то из ее = е следует ( (е) 1 (е) = ( (е), так что 1 (е) = = е' — единичный элемент группы Н. Из равенства аа-' =- е получаем ( (а-') = (( (а))-' для всех а ~ 6. Автоморфизмы группы 6 представляют особый интерес, в частности, потому, что они сами образуют группу относительно обычной композиции ') отображений (это проверяется без труда).

Важными примерами автоморфизмов группы 6 являются ее внутренние автоморфизмы. Внутренний алгпаморфизм ), определяется для фиксированного элемента а группы 6 условием т, (Ь) = аЬа-' для всех Ь ~ 6. Очевидно, что 1, — автоморфизм группы 6, и все внутренние автоморфизмы группы 6 получаются, когда а пробегает все элементы группы 6. Элементы Ь и аЬа-' называются сопряженными, и если 5 — непустое подмножество т) 1(омлозияией отображений ~р: В С и «Р: А В называется отображение 1: А — С (обозначаеыое 1 == ю . ф), которое определяется условием 1 (л) = = Ф («р (а)) для любого а ч 6.

— Прим. перев, й 1. Группы 2! в 6, то множество а5а-' =- (аза-' ( з ~ 5) называется сопря- женным с 5. Таким образом, сопряженными с 5 множествами в группе 6 оказываются образы множества 5 при всевозмож- ных внутренних автоморфизмах группы 6 и только они. 1.17. Определение. Ядром гомоморфизма )': 6 -+ Н группы 6 в группу Н называется множество Кегу = (а Е 6 )) (а) = — е'), где е' — единичный элемент группы Н. 1.18. Пример.

Для гомоморфизма 1": 7 -~ 7„, определен- ного условием Г (а) ==- (а), ядро Кег Г состоит из всех а ~ 7, для которых (а) = (О). Так как это условие выполняется для тех и только тех чисел а, которые делятся на и, то получаем, что Кег 1" =- (и) — подгруппа группы е„порожденная числом п. Легко проверить, что ядро Кег ( гомоморфизма (: 6 — Н всегда является подгруппой группы 6. Более того, эта под- группа Кег 1' обладает важным дополнительным свойством: для :нобых а ~ 6 и Ь ~ Кег !' имеет место включение аЬа-' ~ Кег 1'. '-.!то приводит нас к следующему важному понятию. 1.19. Определение. Подгруппа Н группы 6 называется нор- яальной подгруппой (или нормальным делителем) этой группы, сслн ада-' ~ Н для всех д ~ 6 и й ~ Н.

Ясно, что каждая подгруппа абелевой группы нормальна, поскольку в этом случае дйй-':=- йу 'тг = ей =- Ь. Дадим два критерия нормальности подгруппы. 1.20. Теорема. (1) Подгруппа Н группы 6 нормальна тогда и только тогда, когда она совпадает со всеми своими сопряжен- н1лми подгруппами, т. е. тогда и только тогда, когда подгруппа Н инвариантна относительно всех внутренних автоморфизмов группы 6. (В) Подгруппа Н группы 6 нормальна тогда и только тогда, когда для любого злемента а Е 6 левый смежный класс аН говна- !ага с правым смежным классом На. Важным свойством нормальной подгруппы является тот факт, что множество (левых) смежных классов по ией можно наделить групповой структурой.

1.21. Теорема. Если Н вЂ” нормальная подгруппа группы 6, пю множество (левых) смежных классов группы 6 по подгруппе Н образует группу относительно операции (аН) (ЬН) = — (аЬ) Н. 1.22. Определение. Пусть Н вЂ” нормальная подгруппа груп- пы 6. Тогда группа, образованная (левыми) смежными классами 22 Гл, !. Алгебраические основы группы 6 по подгруппе Н с операцией, введенной в теореме 1.21, называется факторгруппой группы 6 по подгруппе Н и обозначается через О~Н. Если факторгруппа б,'Н конечна, то ее порядок совпадает с индексом (6: Н) подгруппы Н в 6. Таким образом, из теоремы 1.14 получаем, что для конечной группы 6 ~ О~Н ~ = (6: Н) = ~ 6 Ц Н (.

Каждая нормальная подгруппа группы О естественным образом определяет некоторый гомоморфизм этой группы, причем верно и обратное утверждение. 1.23. Теорема (о гомоморфизме). Пусть 1: 6- О, = ) (6)— гомоморфизм группы б на группу 6,. Тогда ядро Кег 1' является нормальной подгруппой группы б, причем группа 6, изоморфна факторгруппе О!Кег 1'. Обратно, если Н вЂ” нормальная подгруппа группы 6, то отображение ф 6 — ь 6/Н, определяемое условием ф (а) = аН для любого а Е 6, является гомоморфизмом группы 6 на 61Н, причем Кег ф — — Н. Выведем теперь для конечной группы одно важное соотношение для мощностей ') классов сопряженных элементов, которое понадобится в 2 б гл, 2. 1.24. Определение. Пусть 5 — непустое подмножество группы б, Его нормализатором в группе О называется множество Ф (5) '=- ~)а Е 6 ( а5а-' == 5).

Если 5 =- 1Ь), то У (1Ь)) будем называть нормализатором злемента Ь в 6 и обозначать Ж (Ь). 1.25. Теорема. Для любого непустого подмножества 5 группы О нормализатор Ж (5) является подгруппой группы б, причем имеет место взаимно однозначное соответствие между левыми смеж- ными классами группы 6 по подгруппе М (5) и различными мно- жествами а5а ', сопряженными с 5. Доказательство. Очевидно, что е Е- М (5), и если а, Ь Е А( (5),, то а ' и аЬ тоже принадлежат У (5), так что У (5) — подгруппа: группы 6. Далее, а5а ' = Ь5Ь-г.с=в 5 = а 'Ь5Ь-'а = (а 'Ь) 5 (а 'Ь) ' ч=;.

с=, а-гЬ Е Аг (5) ч=а Ь Е аУ (5). Таким образом, сопряженные с 5 множества а5а-" и Ь5Ь ' совпа-, дают тогда и только тогда, когда элементы а и Ь принадлежат ' ') Мощностью конечного множества называется число злементов этого мно-,, жества. — Прим. иерее. 5 2. Кольца и поля одному и тому же левому смежному классу группы 6 по под~рупие й! (5). Отсюда следует вторая часть теоремы.

(:з Если собрать все элементы группы 6, сопряженные с фиксиРованным элементом а, то получим множество, называемое классом сопряженных с а элементов группы 6 или классом сопряженности группы 6, содержащим элемент а. Для некоторых элементов соответствующие им классы сопряженности состоят нз единственного элемента (а именно из самого исходного элемента). Таким свойством обладают элементы центра группы и только они. 1.26. Определение.

Центром группы 6 называется ее подмножество С = !с ~ 6 ! са == ас для всех а Е 6). Без труда проверяется, что центр — нормальная подгруппа ~руины 6. Очевидно, что группа 6 является абелевой тогда и только тогда, когда С = 6. Несложный подсчет приводит к следующему важному равенству, которое иногда называют «уравнением классов сопряженности». 1.27. Теорема. Пусть 6 — конечная группа с центром С. "огда имеет место равенство )6)=)С!+ ~ пь где п,, ..., и„— мощности классов сопряженности группы 6, содержащих более одного элемента, так что и, >. 2, и при этом каждое число и; делит порядок ~ 6 ~ группы 6, 1.( 1 ( й. Доказательство.

Поскольку отношение «а сопряжено с Ь» является отношением эквивалентности на 6, то различные классы сопряженности группы 6 образуют разбиение множества 6. Поэтому порядок ~ 6) группы 6 равен сумме мощностей различных классов сопряженности. Но имеется ровно ! С ~ классов сопряженности, состоящих из единственного элемента (они соотзстствуют элементам центра С), а мощности и„..., п„остальных классов сопряженности превышают единицу, Отсюда и вытекает требуемое равенство.

Для доказательства того, что каждое нз чисел и, делит ) 6 ), достаточно заметить, что и; — число элементов, сопряженных с некоторым элементом а; ~ 6, и потому з силу теоремы 1.25 оно равно числу левых смежных классов группы 6 по подгруппе М (а;), а индекс нормализатора по теоРеме !.14 делит порядок ) 6 ! группы 6.

П 5 2. Кольца и поля В большинстве числовых систем, используемых в элеменгарной арифметике, имеется две различные бинарные операции: Гл. 1. Алгебраические основы сложение и умножение. Примерами могут служить целые, рациональные и действительные числа. Сейчас мы определим важный тип алгебраических структур, называемый кольцом, который обладает основными свойствами указанных числовых систем.

1.28. Определение. Кольцом ()ч, +, ) называется множество гг с двумя бинарными операциями, обозначаемыми символами + и, такими, что 1. й — абелева группа относительно операции +. 2. Операция . ассоциативна, т. е. для всех а, Ь, с С- )с (а Ь).с = — а (Ь.с). 3. Выполняются законы дистрибутивности, т, е, для всех а, Ь, с Е )ч а (Ь + с) = а Ь + а с и (Ь + с).а = Ь а + с а.

Следует обратить внимание на то, что операции + и не обязательно являются обычными сложением и умножением. Для краткости кольцо (К, +, ) будем обозначать одной буквой )с. Единичный элемент аддитивной группы кольца гг называется нулевым элементом (или нулем) кольца )с н обозначается символом О, а обратный к элементу а этой группы обозначается через — а. Вместо а + ( — Ь) пишут обычно а — Ь, а вместо а Ь— просто аЬ. Из определения кольца получается общее свойство аО = Оа = 0 для всех а (- )ч. Из этого в свою очередь следует, что ( — а) Ь = а ( — Ь) == — аЬ для всех а, Ь Е гг.

Простейшим примером кольца является, по-видимому, кольцо обычных целых чисел. Рассматривая его свойства, нетрудно обнаружить среди них такие, которыми не обладает произвольное кольцо. Таким образом, кольца допускают дальнейшую классификацию. 1.29.

Характеристики

Список файлов книги