Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 8
Текст из файла (страница 8)
е. многочлены г и д взаимно просты. [:) Двойственным к понятию наибольшего общего делителя является понятие наименьшего общего кратного. Пусть ~„...„~„— ненулевые многочлены из Р [х). Тогда можно показать (см. упр 1.25), что существует однозначно определенный нормированный многочлен т Е г [х), обладающий следующими свойствами: (1) т делится на каждый многочлен Г» 1 < ( < и; (П) любой многочлен а ~ Р [х), который делится на каждый из многочлепов Г» 1 < ! < и, делится на т.
Многочлен т называется наимвныиим оба[им кратным многочленов !и ..., )„н обозначается Гл. 1. Алгебранческне основы НОК ф, ..., ~„). Для двух ненулевых многочленов ~, а ~ г" [х] имеет место соотношение -'~й = НОД д, д) НОК ((, д), (1.6) где а — старший коэффициент произведения )й. Это соотношение легко сводит вычисление НОК (~, а) к вычислению НОД ((, а), Однако для трех и более многочленов прямого аналога формулы (! .6) не существует.
В этом случае для нахождения наименьшего общего кратного применяется тождество НОК ([ы ..., ~„) = НОК (НОК (~„..., ['„,), ~„). Простые элементы кольца Р [х] обычно называются неприводимыми многочленами, Ввиду особой важности этого понятия дадим еще одно его определение.
1.57. Определение. Многочлен ( Е Р [х] называется неприводимым (точнее, неприводимым над полем г" или в кольце Р [х]), если он имеет положительную степень и равенство 7 = дй, а, й ~ Р [х], может выполняться лишь в том случае, когда либо а, либо й является постоянным многочленом. Короче говоря, многочлен положительной степени неприводим над Р, если он допускает лишь тривиальные разложения на множители. Многочлен положительной степени из Р [х], не яв-: ляющийся неприводимым над Р, называется приводимым над Р. ', Приводимость нли неприводимость данного многочлена суще-,: ственно зависит от того, над каким полем он рассматривается.[ Например, многочлен хч — 2 Е (г [х] неприводим над полем [.[] рациональных чисел, но приводим над полем ]ч действительных ~ чисел, так как хг — 2 = (х — у 2) (х + у 2).
ч Неприводимые многочлены играют важную роль в устройстве; кольца г [х], поскольку каждый многочлен из Р [х) может быть записан и притом единственным способом в виде произведения, неприводимых многочленов. Для доказательства этого предложе-: ния нам понадобится следующий результат. 1.58. Лемма. Если неприводимый многочлен ~ из Р [х) делит ., произведение ~, ...
( многочленов из г" [х], то по крайней мере ' один из сомножителей ~~ делится на ). Доказательство. Так как многочлен ~ делит произведение 7„... Г, то в факторкольце г" [х]/([) мы получаем равенство (~„+ . + (г)) ." (Р» + (г)) =- б + ([). Поскольку иа основании теоремы 1.47([ч) это факторкольцо является полем, то для некоторого 1, 1 ( 1 ( т, должно выполняться равенство ~~ + (7) = 0 + (['), ' а это означает, что многочлен 1 Делит ]р П: $ 3. Многочлены 39 1.59. Теорема (об однозначном разложении на множители). Каждый многочлен положительной степени 1' ~ г" 1х] (где г"— поле) может быть представлен в виде произведения )е ~е» где а с г, 7„..., )» — различные нормированные неприводимые многочлены из г" [х1„а е„..., еь — натуральные числа.
Более »ного, згпо разложение однозначно с точностью до порядка, в котором расположены сомножители. Доказательство. Возможность представления любого непостоянного многочлена ) ~ г" [х] в виде (1.7) доказывается индукцпей по степени многочлена )'.
Случай дед (1) = 1 тривиален, так как любой многочлен первой степени неприводим над г". Предположим теперь, что требуемое разложение установлено для всех непостоянных многочленов из г" [х] степени <и. Если дев (1) = и а,г иеприводим над г", то [". = а (а '1), где а — старший коэффиппент ), — требуемое представление, так как а '~ — нормированный неприводимый многочлен из Р [х1. Если же 7 приводим, т он допускает разложение ~ =- дй, где д, Ь Е г' [х1, ! «< '' деп (д) < и, 1 «( Ьеп (Ь) < и. По предположению индукции можно д и Ь представить в виде (1.7), а следовательно, можно а таком виде представить и ). Для доказательства единственности предположим, что 1" имеет два разложения вида (1.7): 7 = а[,'» ...
1»» = Ьд~» ... а~г, (1.8) Сравнение старших коэффициентов дает а =- Ь. Далее, неприво,шмый многочлен г, из г" [х! делит правую часть равенства (1.8), н потому (ввиду леммы 1.58) он делит один из многочленов 1::-; 1 < г. Но многочлен да тоже неприводим в кольце г 1х], так что дт — с(„где с — постоянный многочлен. Так как а„ п 1, оба йормированы, то д~ =- 1,, Таким образом, мы можем а равенстве (1.8) сократить 1, и да и к полученному равенству применить тот же прием. После конечного числа таких шагов чы убедимся, что оба разложения в (1.8) совпадают с точностью до порядка сомножителей.
П Разложение (1.7) будем называть каноническим разложением многочлена 7 в кольце г" [х]. Если поле г совпадает с полем Я рапнональных чисел, то существует метод Кронекера, позволяюп»нй найти каноническое разложение за конечное число шагов. Этот метод вкратце описан в упр. 1,80. Для многочленов над копечпыми полями алгоритмы разложения будут описаны в гл.
4. Основным вопросом для многочленов из г [х1 является вопрос о том, приводим или неприводим данный многочлен над полем г'. 40 Гл. 1. Алгебраические основы Для наших целей особенно интересны многочлены, неприводимы над простым полем Кр. Чтобы найти все неприводимые нормир ванные многочлены данной степени и над полем Кр, можно сна чала найти все приводимые нормированные многочлены степени над этим полем, а затем исключить их из множества всех нормиро ванных многочленов степени и над 1' . Однако, если числа или и велики, такой метод непригоден, и мы в 5 2, 3 гл.
3 разовье более мощные методы. 1.60. Пример. Найдем все неприводимые многочлены сте' пени 4 над полем [["е (заметим, что каждый ненулевой многочле из [['е [х[ автоматически нормирован). Всего существует 24;= ! многочленов 4-й степени над 1"е. Такой многочлен приводим тогд и только тогда, когда он имеет делитель 1-й или 2-й степени Найдем поэтому все произведения вида (а, + а,х + а,х' + х')(Ь, + х) и (ае+ а,х+х')(Ь,+ Ь,х+ хе), где аь Ь4~ [[„— э и будут все приводимые многочлены 4-й степени из [[в [х) Искл чив их из полного набора многочленов 4-й степени над [['„полу.' чим искомые неприводимые многочлены: /, (х) = х'+ х + 1 / (х) = хе+ хе + 1 и /е (х) =. «4+ хе + х' + х -!- 1.
Поскольку именно неприводимые многочлены над полем являются простыми элементами кольца р [х), следующий резуль тат (одна часть которого уже была использована в лемме !.5$ непосредственно вытекает из теорем 1.47(|ч) н 1.54. 1.61. Теорема. Пусть /' Е г [х). Для того чтобы факто «плечо г" [х)/(/) было полем, необходимо и достаточно, чтоб' многочлен / был неприеодим над полем Р С целью подготовки к следующему параграфу мы остап нимся подробнее на строении факторкольца Р [х)/ (/), где / произвольный ненулевой многочлен из г" [х). Это факторколь состоит из классов вычетов [д) = а + (/), где д Е г" [х), а оп ' рации вводятся формулами (1.2) и (! .3). Два класса вычетов а + (' ий + (/) совпадают в том и только том случае, когда 6 = — Ь (шод[ т. е. когда многочлеп а — Ь делится на /. Это равносильно тре ванню, чтобы д и Ь давали один и тот же остаток при делении на В классе вычетов а+ (/) содержится единственный многочл г Е г' [х).
для которого дед (г) ( дед (/); этот многочлен прос является остатком при делении д на /. Процесс перехода от к г называется приведением по модулю /. Единственность мног члена г вытекает из того, что если существует многочлен г, Е а + (/), такой, что дея (г,) < дед (/), то разность г — г, долж делиться на /, но поскольку дед (г — г,) ( дед (/), то это в можно лишь при г, = г.
Различные элементы, образующие фа торкольцо р [х)/(/), можно теперь описать явно: а именно э классы вычетов г + (/)„где е пробегает все многочлены из г" [, 41 $ 3. Многочлены степени, меньшей чем дед (3'). Таким образом, если г" == К и Оед(Д = п)~ О, то число элементов факторкольца Гр (х]/(/) равно числу многочленов степени, меньшей п, в кольце (['р (х], -,. е. р", [О] [1) [х] [х+! 1 [0] (! ) [х] ]х+1) 1[1 [01 [х+11 [х) 1х) [х+! ] [0] (1] [ +]1 [х3 В] [О) [О] [1] [х! [х+1) [0) [1] [х] [х+!1 [0] [01 [О] [0] [0] [! 1 (х) [х+! 1 (01 1х! [х+]] [1! (01 [х+1) [! ] [х] [0] [1] [х) [х+1] Из этих таблиц видно, что факторкольцо [['е (х)/(/) является полем (это следует также из неприводимости многочлена / (х) = х' Р х + ] над полем К, на основании теоремы 1.6[). Это наш первый пример конечного поля, число элементов которого не является простым числом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
