Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Поэтому. а — либо обратимый элемент, либо ассоциирован с с, так что ли У = /с, либо / =- (с). Это показывает, что (с) — максимальны ' идеал кольца Р. Отсюда следует в силу (!), что факторкольц /с/(с) является полем. В качестве приложения этой теоремы рассмотрим случай Л = 7. Заметим, что 7 — кольцо главных идеалов, так как, в силу теоремы 1.!5(!) любая аддитивная подгруппа Х порождается единственным элементом.
Простое число Р подходит под: определение простого элемента, и, таким образом, из теоремы 1.47(!и) вытекает другое доказательство того известного фактан что факторкольцо У:(Р) является полем. Отсюда следует, ч 6 З. Миогачлеиы (Р) — максимальный и одновременно простой идеал кольца У. Для составного натурального числа и идеал (и) не является простым в Х, и потому факторкольцо 71(л) не является даже целостным кольцом. Другие приложения будут приведены в следующем параграфе, когда мы будем рассматривать факторкольца колец многочленов над полями. 5 3. Многочлены В элементарной алгебре рассматриваются выражения вида а„— . 'а,х+ ...
+ а„»", называемые многочленами (или полино- мами). Здесь а~ называются коэффициентами многочлена и обычно являются действительными или комплексными числами, а х рассматривается как переменная, т. е., подставляя вместо х произвольное число а, получаем определенное число а, + а,а + ... + а„а", называемое значением многочлена при х =- и.
Арифметика многочленов регулируется обычными правилами. Понятие мпогочлена и связанных с ним операций можно обобщить на формальную алгебраическую ситуацию следующим образом. Пусть )с — произвольное кольцо. Многое»гном (или поличсио.и) над )с называется выражение вида е 1(х) = ~, а~х' = ае+а,х+ +а„х", где п — неотрицательное целое число, коэффициенты аь О ««1 «« :,' и, — элементы кольца )с, а х — некоторый символ, не принадлежащий кольцу )с, называемый переменной (или неизвестной) пал ~т'. В тех случаях, когда из контекста ясно, какая переменная имеется в виду, мы для обозначения многочлена г" (х) будем использовать символ 1. Для удобства будем считать, что член а~х' с сй =- О пе обязательно выписывать.
В частности, выписанный выше много- член 1(х) можно записать в эквивалентной форме ) (х) = ае + ' а,х + ... + а„х" -)- Ох".ь' + ... + Ох"-ь", где й — любое натуральное число. Поэтому при сравнении двух многочленов 1(х) и л (») иад )с можно предполагать, что оба они содержат одни и те же степени переменной х. Многочлены е л 1(х) = ~ а;х' и д (х) =- ~~ Ь;х' г=е иад Й считаются равными тогда и только тогда, когда а; = Ь; хли О '=. 1 ( п. Определим сумму мпогочлеиов 1(х) и и (х) равенством +,(х) = ~' (а; + Ь )» ;=о Гл. 1. Алгебраические основы а произведение многочленов 1(х) = ~„ а;х' л и у (х) = ~ Ьтх1 1=о с=о равенством м+к )(х)у(х) = ~; скхю где с„= к=о а,ЬЬ 1-~-г=ь оси«ьь о«1 -к Легко видеть, что множество многочленов с такими операциями ' образует кольцо.
1.48. Определение. Кольцо, образованное многочленами над' кольцом Я с введенными выше операциями, называется кольцом многочленов над Я и обозначается через )с (х ), Нулевым элементом кольца й (х) является многочлен, все коэффициенты которого равны О.
Он называется нулевым много- членом и обозначается через О. Из контекста всегда будет ясно, обозначает ли символ 0 нулевой элемент кольца )с или нулевой' многочлен. Если )т — целостное кольцо, то ден ()д) = деп (г) + ден (д). (1.4) Если отождествить постоянные многочлены с элементам, кольца )с, то гс можно рассматривать как подкольцо кольца )с !х )1 Некоторые свойства кольца )с наследуются кольцом )т (х!. В сл, 1.49.
Определение. Пусть 1 (х) = ~„ 'а;х1 — многочлен над с=о кольцом )с, не являющийся нулевым. Значит, можно предполо-' жить, что а„че О. Тогда а„называется старшим коэффициентом,, многочлена 1(х), а, — его постоянным членом и и — его степенькь (последняя обозначается символом и = ден (! (х)) = дея (1)). Для, удобства будем считать, что дев (О) =- — оо. Многочлены степени (О называются постоянными многочленами (или константами).' Если кольцо )т имеет единицу 1 и если старший коэффициент мно-1 гочлена ! (х) равен 1, то многочлен ) (х) называется нормированным' (его называют также приведенным или унитарным).
Подсчет старших коэффициентов суммы и произведения двух; многочленов приводит к следующему результату. !.50. Теорема. Пусть ), у Е )т (х). Тогда деп (1+ у) ( шах (ден (г), ден (у)), ден ()л) ( дед (1) + дед (8). 4 3, Миогочлеяы дующей теореме доказательство части (ш) опирается на равенство (1.4). 1.51.
Теорема. Пусть )с — кольцо. Тогда (!) )с [х ! является коммутативным кольцом в том и только том случае, если кольцо 1( коммутативно. (й) !с [х! является кольцом с единицей тогда и только тогда, когда )т — кольцо с единицей. (гВ) П [х ! является целостным кольцом тогда и только тогда, когда Й вЂ” целостное кольцо. В последующих главах мы почти всегда будем иметь дело с многочленами над полями. Пусть г" обозначает поле (не обязательно конечное).
Понятие делимости применительно к кольцу Е !х! вводится следующим образом. Будем говорить, что много- член д б г" [х) делит многочлен !' Е г" [х), если существует многочлен й Е г" [х), такой, что г" = уй. В этом случае будем также говорить, что д — делитель многочлеиа г', а многочлен ( делится на у (или кратен д). Обратимыми элементами в кольце Е!х! являются делители постоянного многочлена 1, а следовательно, ими являются все ненулевые постоянные многочлены и только они. Как и в кольце целых чисел, в кольце многочленов над полем существует деление с остатком. 1.52. Теорема (алгоритм деления).
Пусть д ~ Π— много- член из г" [х), где г — поле. Тогда для каждого ~ Е Е [х! суи(ествуют такие многочлены у, г Е г" [х), что г = цд + т, где бей (г) ( бей (а). 1.53. Пример. Рассмотрим многочлены Г (х) = 2хл + х'+ Р 4х + 3 и д (х) = Зх'+ 1 из кольца Кь [х!. Вычислим много- члены а, г ~ Кь [х! нз теоремы 1.52, используя обычное деление углом: 2хь+ хл +4х+ 3 ! Зх'+ 1 2хл + 4х' ~ 4х'+ 2х'+ 2х+ 1 хе+ х' +4х+ 3 х' + 2х' х' + Зх' + 4х + 3 хз +2х Зх'+2х+ 3 Зх' +1 2х+ 2 Таким образом, в (х) = 4хь + 2х'+ 2х + 1, г (х) = 2х + 2„и, очевидно, дед (г) < г[ед (а). П Гл. ! Алгебраические основы Тот факт, что кольцо Р (х1 допускает алгоритм деления, приводит (стандартным рассуждением) к тому, что каждый идеал кольца Р [х] главный. 1.54. Теорема.
Кольцо Р [х] многочленов над полем Р являгтся,', кольцом главных идеалов. Другими словами, для каждого идеала / чь (О) кольца Р (х] найдется однозначно определенный нормированный многочлен й Е Р (х], такой, что У = (й). Доказательство. Согласно теореме 1.51(гй, Р (х1 является . целостным кольцом. Пусть г' ~ (0) — идеал кольца Р [х ]. Пусть, далее, Й (х) — ненулевой миогочлен наименьшей степени, содержащийся в У, Ь вЂ” старший коэффициент многочлена Ь (х) и й (х) = Ь й (х). Тогда д — нормированный многочлен, содержа-.
' щийся в У. Если ) — произвольный многочлен из /, то, применяя: алгоритм деления, найдем о, г ~ Р [х], такие, что г" =: вй + г и дед (г) < дед (й) = дед (Ь). Так как г — идеал, то г = !— — дй Е l, и поопределениюйдолжнобыть г =- О. Поэтому много- член 1 делится на й, так что l = (д). Если й, ~ Р [х] — другой нормированный многочлен, такой, что У = (й,), то й = с,д, и й, =.: с,й, где с„с, ~ Р !х1. Отсюда д = — с,скй, так что с,с, = 1, т. е, с, и с, — постоянные многочлены.
Поскольку оба многочлена, й и й, нормированы, той, = й, и единственностьй установлена, Д ' 1,55. Теорема. Пусть 1„..., 1„— многочлены из Р [х), не все равные О. Тогда существует однозначно определенный нормированный многочлен й ~ Р [х], обладающий следующими свойствами: (!) й делит каждый многочлен !'ь 1 ~( ! ~( и; (й) любой многочлен й Е Р [х], который делит каждый из многочленов )ь 1 -~ ! ~( п, делит и многочлен й. Более того, многочлен с! может быть представлен в виде й = ЬА+ ... + Ь„Г„, где Ь„..., Ь„!: Р [х]. (1.5) Доказательство.
Множество /, состоящее из всех многочленов. вида сД + ... + с„1„, где с„..., с„Е Р [х], является, как легко; убедиться, идеалом кольца Р [х1, Поскольку не все ~! равны нулю, ' У Ф (0), и по теореме !.54 получаем, что [ =- (й) для некоторого нормированного многочлена й Е Р [х]. Свойство (!) и представле-: ние (1.5) сразу вытекают из определения многочлена й. Свойство (й) следует из (!.5). Если д, — другой нормированный многочлен, из Р (х], удовлетворяющий (!) и (й), то из этих свойств получим, что многочлены й, и й делят друг друга, так что (й) = (й,).
Поэтому в силу единственности, доказанной в теореме !.54, й, =-- д. Д' Нормированный многочлен й, появляющийся в теореме 1.55, называется наибольшим общим делителем многочленов ~„, ..., !: и обозначается НОД Д„...„1„). Если НОД ()ы ..., 1„) = 1, то э 3. Многочлены 37 многочлены 1„..., )„называются взаимно простыми. Они называются попарно взаимно простыми, если НОД ()» 1г) = 1 для !. 1</<и. Наибольший общий делитель двух миогочленов ( н а из Р [х! можно найти при помощи алгоритма Евклида. Предположим без ограничения общности, что многочлен д отличен от нуля и не делит многочлен !. Тогда, применяя многократно алгоритм деления, получим ) =- Чзй + г» О < дея (г,) < е[еи (а), й = Чзгз + гз, О -< е[ед (г,) < дед (г,); гз = Чзгз + гз О < е[ед (г,) < е[ей (г,), г -з = д г, з + г„О < беа (г,) < е[еи (г,,), гв-з — Чзыгз.
Здесь Ч„..., Ч„, и г„..., г, — многочлены из Р [х). Так как степень дед (а) конечна, то процедура должна закончиться после конечного числа шагов. Если старший коэффициент последнего ненулевого остатка г, равен Ь, то НОД (г, д) = Ь 'г,. ДлЯ нахождениЯ НОД (гм ..., !'„) пРи и ) 2 и пРи ненУлевых многочленах ~~ сначала определяют НОД ()„гз), а затем последбаательно находят, применяя алгоритм Евклида, НОД (НОД (гм И 1з) = НОД Ч» 1г 1з) и т ° д. 1.56. Пример. Применяя алгоритм Евклида к многочленам ! (х) = 2х'+ х'+ х'+ 2 и д(х) = х'+ х'+ 2х из Гз [х), получаем 2х' + хз + х' + 2 = (2х'+ 1) (х'+ х' + 2х) + х + 2, х' + х' + 2х = (х' + х' + 2х + 1) (х + 2) + 1, х+2=(х+2)1. Следовательно, НОД (1, а) = — 1, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
