Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Определение. (1) Кольцо называется кольцом с единицей, если оно имеет мультипликативную единицу, т. е. если существует такой элемент е ~ гг, что ае =- еа = а для любого а ~ )с. (й) Кольцо называется коммутативным, если операция коммутативна. (И) Кольцо называется целостным кольцом (или областью целостности), если оно является коммутативным кольцом с единицей е ~ О, в котором равенство аЬ = 0 влечет за собой а = 0 или Ь= О. (1ч) Кольцо )г называется телом, если К' ~ 10) и ненулевые элементы в )с образуют группу относительно операции (ч) Коммутативное тело называется полем.
Поскольку наша книга посвящена полям, то особое внима-, ние мы обратим на определение этого понятия. Прежде всего ' 2. Кольца и поля 25 доле есть множество г", на котором заданы две операции, назы- ваемые сложением и умножением и которое содержит два выде- ленных элемента 0 и е, причем О чь е. Далее, поле г — абелева группа по сложению, единичным элементом которой является О, а элементы из Р, отличные от О, образуют абелеву группу по умножению, единичным элементом которой является е. Две опе- рации, сложение н умножение, связаны законом дистрибутнвно- стн а (Ь + с) =- аЬ + ас. Второй закон дистрибутивности (Ь + .
с) а =- Ьа + са выполняется автоматически в силу коммута- тнвности умножения, Элемент 0 называется нулевым элементом (нлн просто нулем), а е — единичным элементом (или просто единицей) поля г. В дальнейшем для единицы, как правило, будем использовать символ 1. Свойство, появляющееся в определении 1.29 (ш): равенство аЬ =- О влечет за собой а = 0 или Ь = 0 — будем выражать словамн «отсутствуют делители нуляъ. В частности, поле не имеет делителен нуля„так как если аЬ = О и а Ф О, то умножение на и-' дает Ь =- а-'О = — О. Проиллюстрируем понятие кольца следующими примерами. 1.30. Примеры (1) Пусть )с — абелева группа с групповой операцией +. Определим умножение условием аЬ = О для всех а, Ь ~ )«'. Тогда й становятся кольцом.
(В) Целые числа образуют целостное кольцо, но не поле. (ш) Четные числа образуют коммутативное кольцо без единицы. (нч) Функции à Р— (ч образуют коммутативное кольцо с единицей, если сумма Г + д и произведение 1у определяются у'словиями (1 + д) (х) = 1(х) + д(х) и (ф) (х) ==-1(х) д(х) для любых х Е Р (ч) Множество всех (2 х 2)-матриц с элементами из К обра- зует некоммутативное кольцо с единицей относительно операций сложения и умножения матриц. П Выше мы видели, что поле, в частности, является целостным кольцом. Обратное, вообще говоря, неверно (см. пример 1.30 (П)), однако верно в случае, когда указанное целостное кольцо состоит кз конечного числа элементов (т е, является конечным кольцом). 1уорядком конечного кольца называется число элементов этого кольца, 1 31.
Теорема. Каждое конечное целостное кольцо является пслелс Доказательство. Пусть элементы конечного целостного агольца )ч суть а„а„..., а„. Для некоторого фиксированного ненулевого элемента а ~ )ч рассмотрим произведения аа„аа„..., Гл. ! Алгебраические основы аа„. Они различны, так как если аа; = аа,, то а (а, — а;) =- О, и так как а ~ О, то а, — а, = О, т. е. а; = — а;. Таким образом, каждый элемент в )с имеет вид аа, и, в частйости, е =- аа, для . некоторого 1, ! ( ! ( и, где е — единица )г. Поскольку кольцо Ус коммутативно, то также а;а = е, так что элемент а; является ', мультипликативным обратным к а. Таким образом, ненулевые ', элементы кольца )с образуют абелеву группу, т.
е, Я вЂ” поле, ', (:) ! !.32. Определение. Подмножество Я кольца (!г, +, ) пазы- ! вается подколы(ом этого кольца, если оно замкнуто относительно ! операций + и и образует кольцо относительно этих операций. :"., 1.33. Определение. Подмножество У кольца )т называется (двусторонним) идеалом этого кольца, если оно является подкольцом кольца !с и для всех а Е У и г ~ Я имеет место аг ~ У и га Е У. 1.34. Примеры (!) Пусть )г — поле (;) рациональных чисел. Тогда множе- 1 ство 7 целых чисел является его подкольцом, но не идеалом, ) так как, например, ! ~ е„'/, Е ~, но '~, 1 = г/к ф 7. (П) Пусть !х — коммутативное кольцо, а ~ Я, и пусть У = =- (га ( г Е г().
Тогда У вЂ” идеал кольца )ч'. (ш) Пусть )с — коммутативное кольцо. Тогда наименьшим идеалом, содержащим данный элемент а Е Й, является идеал,: (а) = (га + па ) г ~ )с, п ~ 7), Если кольцо )г имеет единицу, ' то (а) = !га ( г ~ )х). Пч 1.35. Определение. Пусть Я вЂ” коммутативное кольцо.
Идеал У кольца Я называется славным, если существует элемент а ~ )г, такой, что У = (а). В этом случае У называют также главным идеалом, порожденным элементом а. Так как идеалы являются нормальными подгруппами адди- ' тивной группы кольца, то каждый идеал У кольца )г определяет некоторое разбиение множества Й на смежные классы по аддитивной подгруппе У, называемые классами вычетов кольца )г по модулю идеала У. Класс вычетов кольца Я по модулю У, содержащий элемент а ~ !с, будем обозначать через (а) =- а + У, так как он состоит из всех элементов У1 вида а + с, где с Е У. ' Элементы а, Ь ~ Р, принадлежащие одному и тому же классу вычетов по модулю У (т. е. такие, что а — Ь ~ У), будем назы- ' вать сравнимыми по модулю У и записывать это так: а гв Ь (шод У) ' (ср, с определением !.4).
Нетрудно проверить, что если а =- =— Ь(шодУ), то а+ г = Ь+ г(вод У), аг = Ьг(вод У), га = : — гЬ (шод У) и па == пЬ (шод У) для любых г ~ !х и и Е Х. Если, кроме того, г э— з в (шод У), то а + г зэ Ь + в (шод У) и аг = Ьв (шод У). з 2. Кольца н поля [О) (О! (! ) [2) [1! [!1 [21 [О) (2] [2) (О) [!) (О) 1 [О) [О! [О) [! ) 10! [11 [2! [2) [О) [2) [1] Факторкольцо л,г(р) — наш первый пример конечного поля, т. е. поля, содержащего конечное число элементов, Общая теория таких полей будет развита позже. Следует предостеречь читателя от ошибочного предположения, что при образовании факторкольца обязательно сохраняются гь юч.т, р р, Е Г.
') Кольца такого внда часто называют кольцами еычеглое. — Прим. нерее. Прямой проверкой показывается, что множество классов вьщетов кольца й по модулю идеала 7 образует кольцо относительно операций + и, определяемых равенствами (а + У) + (Ь + /) = (а + Ь) + У, ([,2) (а + е) (Ь + 7) =- аЬ + У. (1.3) 1.36. Определение. Кольцо классов вычетов кольца )с по модулю идеала 7 относительно операций (!.2) и (!.3) называется фикторкольцом кольца )т по идеалу У и обозначается через )с!,7.
1.37. Пример (факторкольцо е,l(и)) '). Как и в случае группы (ср. с определением [,5), обозначим класс вычетов по модулю и (и (- е[), содержащий число а ~ Е, через [а]; этот класс также может быть записан в виде а + (и), где (п) — главный идеал, порожденный числом п. Элементами кольца Уг(п) являются 10! = О+(и), [)1=-1+(и), ..., 1и — 11= и — 1+(и).
() 1.38. Теорема. Факторкольцо Л/(р) кольца л, целых чисел по главному идеалу, иороасденному простым числом р, являегпся полем. Доказательство. В силу теоремы 1.31 достаточно показать, что е./(р) является целостным кольцом. Ясно, что его единицей является [11 и что равенство 1а ! [Ь ! =- [аЬ ! = 101 выполняется в том и только том случае, когда аЬ= — йр для некоторого целого числа й. Но поскольку р — простое число, то оно делит произведение аЬ тогда и только тогда, когда оно делит по крайней мере один из срмножителей.
Следовательно, либо 1а ! = [01, либо (Ь1 — — [О 1, так что кольцо г.!(р) не имеет делителей нуля [] 1.39. Пример. Пусть р = 3. Тогда факторкольцо Е/(р) со. стоит из трех элементов (01, [11 и [2). Операции в этом кольце можно задать таблицами (сложення и умножения), аналогичными таблицам Кэли конечных групп (см. пример 1.7): + ( [01 [1) [2! ( [О) [1) [21 Гл. 1. Ллгебранчеснне основы сгвия делителей нуля при этом не всегда сохраняется, что видно на примере кольца гл(п) при составном натуральном числе и. Понятие гомоморфизма групп допускает очевидное обобщение на случай колец.
Отображение >р: >с — > 5 кольца )< в кольцо 5 называется гомоморфизмом, если для любых а, Ь ~ 1< >р (а + Ь) = <р (а) + <р (Ь) и ц> (аЬ) = <р (а) >р (Ь), Таким образом, гомоморфизм ц>: )с — 5 сохраняет обе операции + и кольца 1< н индуцирует гомоморфизм аддитивной группы кольца >с в аддитивную группу кольца 5. Множество Кег<р=-(а ~ )с!<р(а) = 0 ~ 5) называется ядром гомоморфизма <р.
Другие понятия, такие, как изоморфизм и т, п., аналогичны приведенным в определении 1.16. Имеет место также теорема о гомоморфизме, аналогичная теореме !.23 для групп: 1.40. Теорема (о гомоморфизме колец). Если >р — гомоморфизм кольца )с на кольцо 5, то Кег ц> — идеал кольца Я, причем кольцо 5 изоморфно факторкольцу Я/Кег <р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
