Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Обрап>н<>, если >'— идеал кольца 1<, то отображение >)>: )е — >. 1И, определяемое условием >)> (а) .= а + > для всех а ~ )с', является гомоморфизмом кольца )с на Гх,».' с ядром У. Отображения могут быть использованы также для перенесения некоторой структуры с алгебраической системы на множество без структуры. Например, пусть 1< — кольцо, и пусть <р— взаимно однозначное отображение множества )с на множество 5; тогда с помощью отображения <р можно определить.
на 5 кольцевую структуру, которая превращает отображение >р в изоморфизм. Более подробно, пусть в, и з, — два элемента множества 5, а г, и г, — элементы кольца )с, однозначно определяемые условиями <р (г,) = з, и >р (г,) = зв. Тогда, определив сумму з, + зв как <р (г, + га) и произведение з,в, как ц> (г,га), обеспечим выполнение всех нужных свойств. Полученную на 5 структуру можно назвать кольцевой структурой, индуцированной отображением <р. При этом если кольцо Я обладает какими-либо дополнительными свойствами, например является целостным кольцом или полем, то эти свойства наследуются и множеством 5.
Применим этот принцип для получения более удобного представления конечного поля е,>'(р). 1.41. Определение. Для простого числа р обозначим через Кр множество 10, 1, „р — 1) целых чисел, и пусть отображение <р: 71(р) — Ь"р определяется условием ц> ((а !) = а для а =- О, 1, ..., р — 1. Тогда множество Гр со структурой поля, индуцированной отображением <р, называется полел> Галуа порядка р (часто оно обозначается также символом 6Р (р)), 2.
Кольца и поля 0 ! 2 3 4 0 ! 2 3 4 0 ! 2 3 4 ! 2 3 4 0 2 3 4 0 ! 3 4 0 ! 2 4 0 ! 2 3 0 0 0 0 0 0 ! 2 3 4 0 2 4 ! 3 0 3 ! 4 2 0 4 3 2 ! (В) Столь же прост и даже более важен пример конечного поля Г, второго порядка. Элементами этого поля являются 0 и 1, и таблицы операций имеют следующий вид: + 0 ! 0 0 ! ! ! 0 0 0 0 0 ! В таком контексте элементы 0 н 1 называются бинарными элементами.
Если Ь вЂ” произвольный ненулевой элемент кольца 7 целых чисел, то его аддитивный порядок бесконечен, т. е. из пЬ = О следует и =- О. Однако в факторкольце У/(р), где р — простое число, аддитивный порядок каждого ненулевого элемента Ь Равен р, т.
е, р — наименьшее натуральное число, для которого вь!полняется равенство рЬ = О. Это свойство приводит к следу!ощему важному понятию. 1.43. Определение. Пусть )к — произвольное кольцо. Если существует такое натуральное число и, что для каждого г Е )с выполняется равенство пг =- О, то наименьшее из таких чисел и (скажем, и„) называется характеристикой кольца )с, а само Я называется кольцом (положительной) характеристики и,. Если же таких натуральных чисел и не существует, то )с называется кольцом характеристики О. В соответствии с ранее сказанным отображение ф: 7/(р) — Г является изоморфизмом, так что ф ( [а ) + [Ь [) = ф ( [а )) -г ~р ([Ь)) и ф ([а) [Ь[) =- ф ([а [) ф ([Ь)).
Нулем конечного поля будет О, а единицей является 1, и его структура совпадает со структурой поля Т'(р). Поэтому при вычислениях с элементами поля Гр применяется обычная арифметика целых чисел с приведением по модулю р. 1.42. Примеры (!) Рассмотрим поле 7~(5), изоморфное полю Галуа Га = — [О, 1, 2, 3, 4[, с изоморфизмом, задаваемым соответствием [О[ — ~ О, [1) -а-1, [2[ -~-2, [3[ -э 3, [4) — 4.
Таблицы операций + и поля Га имеют впд зо Гл. !. Алгебраические основы 1.44. Теорема. Если кольцо Д ~ (0) с единицей е и без дели- телей нуля имеет положительную характеристику п, то и— простое число. Доказательство. Поскольку кольцо Д содержит ненулевой элемент, характеристика и этого кольца больше или равна 2. Если и — составное число, то п = Ьпг, где Ь, т ~ с„! < Ь, т < и.
Тогда 0 = пе =- (lгт) е =- (Ье) (те), так что либо Ье = О, либо те =-- 0 (поскольку в Д нет делителей нуля). Значит, либо Ьг = (Ье) г = 0 для всех г ~ Д, либо тг = (те) г = 0 для всех г Г- Д, что противоречит определению характеристики и. П 1.45. Следствие. Характеристикой конечного поля является простое число.
Доказательство. Учитывая теорему !.44, достаточно показать, что любое конечное поле Р имеет положительную характеристику. Рассмотрим в поле Р элементы е, 2е, Зе, ..., кратные единице е. Так как Р содержит конечное число различных элементов, то существуют натуральные числа Ь и т, 1 < Ь < т, такие, что Ье = те, так что (т — /г) е — -- О, и потому Р имеет положитель- . ную характеристику. (з Конечное поле Е1(р) (т. е.
Рр), очевидно, имеет характери- стику р, в то время как кольцо х целых чисел и поле С) рацио- нальных чисел имеют характеристику О. Заметим, что в кольце Д характеристики 2 имеет место равенство 2а =- а + а — -- О, откуда следует, что а =- — а для всех а ~ Д. Полезно следующее свой- ,' ство коммутативного кольца простой характеристики. 1.46. Теорема. Лусть Д вЂ” коммутативное кольцо простой, характеристики р. Тогда (а+Ь)е" =ае" +Ьь" и (а — Ь)е" =ае" — Ье" для всех а, Ь Е Д и и Е 1ч. Доказательсгпво. Воспользуемся гем фактом, что для всех (~ Ь61ч,1<Ь<р — 1, ) =— 0(пюдр).
Это следует из того, что биномиальный коэффициент ! ) — целое:: ~Ь,! число и при этом сомножитель р в числителе не может сократиться. 1 Поэтому по формуле бинома (см. упр. 1.8) (а+ Ь!е = аь+ ) ) аь — !Ь+ ... + ( абе — ! + Ье = ае+ Ьв. ~1) 2. Кольца я поля Теперь индукцией по и устанавливается первое тождество, а из него получаем а " =- ((а — Ь) + Ь)л" = (а ь)" ~ Ь,« откуда следует второе тождество. П Теперь выясним, каким должен быть идеал М коммутативного кольца И с единицей, чтобы факторкольцо )с~'М было целостным кольцом или полем. Для этого нам понадобятся некоторые понятия из теории колец.
Пусть И вЂ” коммутатнвное кольцо с единицей. Элемент а Е )«' называется делителем элемента Ь ~ )т, если существует элемент е ~ И, такой, что ас =- Ь. Делители единицы называются обратимыми элементами. Элементы а и Ь из )т' называются ассоциированными, если существует обратимый элемент е Е )к, такой, что а —. Ье. Элемент с Е )т называется простым элементом кольца )с, если оп не является обратимым элементом и не имеет других делителей, кроме ассоциированных с ним элементов или обратимых элементов. Идеал Р ~ Я кольца )г называется простым идеалом, «слп для а, Ь ~ Я включение аЬ ~ Р имеет место лишь в том случае, когда либо а Е Р, либо Ь Е Р. Идеал М Ф И кольца Я называется максимальным идеалом, если для любого идеала У кольца )г включение М ~ У влечет за собой г = М или Х =- Й.
Наконец, кольцо )т' называется кольцом главных идеалов, если опо является целостным кольцом и каждый идеал / кольца Я является главным, т. е. существует элемент а Е )«', такой, что (а) = (га ~ г ~ Й!. 1.47. Теорема. Пусть )7 — коммугпативное кольцо с единицей. Тогда (1) Идеал М кольца )с является максимальным тогда и только тогда, когда факторкольцо )с!М является полем. (В) Идеал Р кольца )т является простым тогда и только тогда, когда факторкольцо ФР является целостным кольцом. (ш) Каждый максимальный идеал кольца )т является простым.
(гч) Если )с — кольцо главных идеалов, то факторкольцо Яг(с) являепия полем в том и только гггом случае, когда с — простой элемент кольца Й. Доказательство. (!) Г! усть М вЂ” максимальный идеал коль~га Р. Тогда для а Е )«, а 4й М, множество l = (аг+ т ~ г ~ : Й, т ~ М! является идеалом кольца )с, содержащим М и отличным от М, так что У =- )с. В частности, существуют такие " 6 й и т Е М, что аг+ т = 1, где ! — мультипликативная «пяница кольца )с. Это означает, что если а + М чь О + М, т.
е. класс вычетов а + М является ненулевым элементом фактор~ольца гк/М, то он обладает мультиплнкативным обратным, так как (а + М) (г + М) = аг -1- М =- (1 — т) + М = ! -1- М. Следо- Гл. !. Алгебраические основы вательно, /с/М вЂ” поле. Обратно, пусть Ь,'/М вЂ” поле, и пусть,' / — такой идеал кольца /с, что / л М, / ~ М. Тогда для а Е,/,'1 а ~ М, класс вычетов а 1- М имеет мультипликативный обрат-~ ный, так что (а + М) (г + М) = 1 + М для некоторого г Е гг, ч Это означает, что аг + т =- 1 для некоторого лг Е М.
Поскольку) ./ — идеал, ! Е,/, а значит, (!) --- й ы ./, откуда / = /с. Такиме образом, М вЂ” максимальный идеал кольца /с. (В) Пусть Р— простой идеал кольца /с. Тогда факторкольцо. Р/Р является коммутативным кольцом с единицей 1 + Р чь О + + Р. Пусть (а + Р) (Ь + Р) = — — О + Р; тогда аЬ ~ Р. Так как Р— простой идеал, то либо а ~ Р, либо Ь Е Р, т. е, либо а +, + Р = О + Р, либо Ь + Р =- О + Р. Таким образом, фактор; кольцо /с/Р не имеет делителей нуля и потому является целостным кольцом. Обратное получим сразу же, проведя указанные; рассуждения в обратном порядке.
(!В) Это утверждение следует из (!) и (й), так как каждое поле является целостным кольцом. (1ч) Пусть с Е К. Если с — обратимый элемент, то (с) — — /х и факторкольцо /ч/(с) состоит из единственного элемента, так что оно не может быть полем. Если с не обратимый и не простой элемент, то с обладает некоторым делителем а ~ Р, который не является ассоциированным с с и не является обратимым элементом. Заметим, что а Ф О, так как если а =- О, то с =- О и а был бы! ассоциирован с с. Пусть с = аЬ, где Ь ~ /!. Мы утверждаем, ч а бй (с). Действительно, в противном случае а = сй =- аЫ, где с( Е !с, т.
е. а (1 — Ы) = О. Так как а чь О, то Ьд = 1, значит„.' Ь вЂ” обратимый элемент, а это противоречит тому, что а не ассо-'' циирован с с. Следовательно, (с): — (а) с:- (/с), где все включени, собственные, так что факторкольцо /!/(с) не может быть пол ввиду (!). Итак, остается последний случай, когда с — просто, элемент кольца К. Тогда (с) -ь Я, так как с не является обрати-' мым элементом. далее, если з':-о (с) — идеал кольца /ч', то у = (а для некоторого а ~ Я, поскольку /1 — кольцо главных идеалов„ Следовательно, с ~ (а), так что а — делитель элемента с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
