Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 3
Текст из файла (страница 3)
(э, 1) ~ К. ":,Пример 1,2 (гВ) подводит к следующему понятию. 1.4. Определение. Пусть а и Ь вЂ” произвольные целые числа ;,,и и — натуральное число. Будем говорить, что а сравнимо с Ь "по модулю и, и будем писать а г— а Ь (шоб и), если разность а — Ь делится на п, т. е. если а = Ь + йп для некоторого целого числа й.
Легко проверяется, что сравнимость по модулю и является отношением эквивалентности на множестве Ж целых чисел. ,Рефлексивность и симметричность его очевидны. Транзитивность Гл. !. Алгебренчеснне основы тоже проверяется несложно: если а = Ь + нп и Ь = с + !п для некоторых целых чисел й и 1, то а = с + (Ь + 1) и, так что из а = Ь (шой и) и Ь = с (шод и) следует а г— в с (шод п). Рассмотрим теперь классы эквивалентности, на которые отношение сравнимости по модулю и разбивает множество л (они называются классами вычетов по модулю и). Ими являются множества 101 = [..., — 2п, — и, О, п, 2п, ...), [1)= !..., — 2п+1, — п+1, 1, и+1,2п+1,...), [и — 1) = !..., — и — 1, — 1, и — 1, 2п — 1, Зп — 1, ...). Мы можем определить на множестве [ 101, [1 ), ..., [п — 11) классов вычетов по модулю и некоторую бинарную операцию (которую мы снова обозначим знаком +, хотя она, конечно, не является обычным сложением), положив [а1 + [Ь) = 1а + Ь), (1.!) где а и Ь вЂ” произвольные элементы соответствующих классов [а ) и [Ь), а сумма а + Ь справа является обычной суммой чисел а и Ь.
Для того чтобы показать, что мы действительно определили некоторую операцию, т. е. что наше определение корректно, мы должны проверить, что класс вычетов [а1+ [Ь! однозначно определяется классами [а1 н [Ь ) и не зависит от выбора их представителей а и Ь. Доказательство этого мы оставляем читателю в качестве упражнения. Ассоциативность операции (1.1) следует из ассоциативности обычного сложения.
Единичным элементом является [01, а обратным элементом для 1а] будет [ — а1. Итак, множество элементов [ [01, [11, ..., [п — 11) образует группу относительно операции +. 1.5. Определение. Группа, образованная множеством [ [О), [11, ..., 1п — ! 1) классов вычетов по модулю п с операцией (1.1), называется группой классов вычетов по модулю и н обозначается Я„. Группа Ж„является циклической группой с образующим элементом 111, и эта группа имеет порядок п в соответствии со следующим определением. 1.6. Определение.
Группа называется конечной (соответственно бесконечной), если она состоит из конечного (соответственно бесконечного) числа элементов. Число элементов конечной группы называется ее порядком. Для порядка конечной группы 6 будем использовать обозначение ) б ). Существует удобный способ задании конечной группы— в виде таблицы.
Эта таблица, представляющая групповую операцию (она обычно называется таблицей групповой операции 4 1. Группы 17 или таблицей Кэли группы), строится так: ее строки и столбцы помечаются элементами группы и на пересечении строки, помеченной элементом а, и столбца, помеченного элементом Ь, ставится элемент аЬ. 1.7.
Пример. Таблица Кэпи группы л, имеет вид + [О! [11 [21 [3! [41 [51 [01 [01 [11 [21 [31 [11 [11 [2] [31 [4] [2! [21 [31 [41 [51 [3! [31 14] [5] [01 [4! 14] [51 [01 [1] [51 [51 [О! [11 [21 [41 [51 [51 [01 [О! [11 [11 [21 [21 [31 [31 [4] Каждая группа содержит некоторые подмножества, которые сами образуют группу при той же групповой операции.
Например, таким свойством обладает годмножество [101, [21, 14!! группы Ж,. 1.8, Определение. Подмножество Н группы 6 называется подгруппой этой группы, если Н само образует группу относительно операции группы 6. Подгруппы группы 6, отличные от тривиальных подгрупп [е! и 6, называется ее собственными подгруппами. Легко проверяется, что множество всех степеней произвольного элемента а группы 6 образует подгруппу этой группы, 1.9. Определение.
Подгруппа группы 6, состоящая из всех степеней элемента а этой группы, называется подгруппой, порожденной элеменпюм а, и обозначается символом (а). Эта подгруппа, очевидно, циклическая. Если (а) — конечная подгруппа, то ее порядок называется порядком элемента а. В противном случае а называется элементом бесконечного порядка. Таким образом, порядок элемента а равен наименьшему натуральному числу Ь, такому, что аь = е. Нетрудно показать, что любое целое число т, обладающее тем свойством, что а~ = е, делится на [г. Если 5 — некоторое непустое подмножество группы 6, то подгруппа Н группы 6, состоящая из всех конечных произведений степеней элементов из 5, называется подгруппой, порожденной множеством 5, и обозначается символом (5), а 5 называется множеством образующих подгруппы Н.
Для аддитивной группы Х целых чисел понятие сравнимости по модулю и (где и — натуральное число) тесно связано с под!'руппой (и), порожденной элементом и, так как а = — Ь (шо!] и) с:: а — Ь Е (и). 18 Гл. 1, Алгебранчеснне основы Таким образом, подгруппа (и) определяет отношение эквивалентности на множестве Я. Эту ситуацию можно обобщить следующим образом. 1.10.
Теорема. Если Н вЂ” подгруппа группы 6, то отношение Кц на О, определяемое условием (а, Ь) Е ]ец ч=» а = Ьй для некоторого И ~ Н, является отношением эквивалентности. Доказательство тривиально. Соответствующие отношению ]сц классы эквивалентности называются левыми смежными классами группы 6 по подгруппе Н и обозначаются аН = [ай [й 6 Н] (или а + Н = [а + И] й ~ Н], если 6 — аддитивная группа), где а — фиксированный элемент группы 6.
Аналогично определяется разбиение группы 6 на правые смежные классы по подгруппе Н, которые имеют вид На =- [йа [й ~ Н). Если С— абелева группа, то ее левые смежные классы по подгруппе Н совпадают с правыми. 1.11. Пример. Пусть 6 =- 21е, и пусть Н вЂ” подгруппа [ [0], [3 ], [6 ], [9]]. Тогда различными (левыми) смежными классами 6 по Н являются [О] + Н = [[О], [3], [6], [9]], [1] + Н = [[1], [4], [7], [1О]], ]2]+ Н = [Р] [6] [6] [1П) П 1.12.
Теорема. Если Н вЂ” конечная подгруппа группы О, то каждый (левый или правый) смеэкный класс группы 6 по подгруппе Н содержит столько же элементов, сколько Н. 1.13. Определение. Если подгруппа Н группы 6 такова, что множество смежных классов 6 по Н конечно, то число этих смежных классов называется индексом подгруппы Н в группе 6 и обозначается через (6: Н). Так как левые смежные классы группы О по подгруппе Н образуют разбиение этой группы, то из теоремы 1.12 вытекает следующий важный результат. 1.14. Теорема. Порядок конечной группы 6 ровен произведению порядка любой ее подгруппы Н на индекс (6: Н) этой подгрупиы в 6.
В частности, порядок любой подгруппы Н группы 6 и ее индекс в 6 делят порядок группы 6, и порядок любого элемента а ~ 6 делит порядок группы О. Подгруппы и порядки элементов для циклических групп описываются несложно. Относящиеся к этому факты мы суммируем в следующей теореме. !9 $ !. Группы !.!5. Теорема. (!) Каждая подгруппа циклической группы также является циклической. (й) В конечной циклической группе (а) порядка т элемент аь порождает подгруппу порядка т1НОД (й, т) (где НОД (й, т)— наибольший общий делитель чисел й и т), (гй) Если й — полоасительный делитель порядка т конечной циклической группы (а), то (а) содерасит единственную подгруппу индекса й. Для любого положительного делителя 1 числа т группа (а) содержит в точности одну подгруппу порядка 1. (!у) Пусть 1 — положшпельный делитель порядка конечной циклической группы (а).
Тогда (а) содержит ~р (1) элементов порядка 1. (Здесь гр (1) — Функция Эйлера, указывающая число целых чисел я, ! ~ й ( 1, которые взаимно просты с Ц (ч) Конечная циклическая группа (а) порядка т содержит ц. (т) обр зующах (т. е. таках элел!ентов а', что (а') = (а)). Образующими являются !пе и только те степени а' элемента а, для которых НОД (г, т) -=- !. Доказательство. (!) Пусть Н вЂ” подгруппа циклической ~руины (а), такая, что Н эь '(е!. Если а" ь Н, то а —" ~ Н; поэтому Н содержит по крайней мере одну степень элемента а с положительным показателем.
Пусть й — наименьший положительный показатель, для которого ал Р- Н, и пусть а' Г: Н. Деление э на й дает э =- цй + г, О ~ г < й, д, г ~ У.. Таким образом, а' (а — л)л -- а' ~ Н, что противоречит минимальности й, если г чь О. Поэтому показатели всех степеней элемента а, принадлежащих Н, кратны й, так что Н = (а").
(й) Положим й =-- НОД (й, т), Порядок группы (а") — наименьшее натуральное число и, такое, что а"" — е. Последнее равенство справедливо тогда и только тогда, когда число т делит число яп, т. е. тогда и только тогда, когда т1й делит и. Наименьшее натуральное число и с таким свойством есть т1й. (!й) Если й задано, то (ал) является подгруппой порядка туа группы (а) и потому имеет индекс й в (а) ввиду (й).
Если (а')— другая подгруппа индекса й группы (а), то ее порядок равен т'й, так что й = НОД (й, т) в силу (й). В частности, й делит й, так что а" ~ (ал) и (аь) является подгруппой группы (ал). Но так как обе группы одного порядка, то они совпадают. Вторая часть вытекает из того факта, что подгруппами порядка 1 являются те и только те подгруппы, индексы которых равны тН. (Ь) Пусть ~ (а) ) = т и т::: й1. В силу (й) элемент аь имеет порядок 1 в том и только том случае, если НОД (й, т) — й. !!оэтому число элементов порядка 1 равно количеству целых чисел я, ! ~ й .к. т, для которых НОД (й, т) =- й. Значит, 4 = йй, где ! к й.к 1, и тогда условие НОД(й, т) = й эквива- 20 Гл.
К Алгебраические основы лентно условию ИОД (Ь, 1) = 1. Количество таких чисел Ь равно тр (1). (у) Образующими группы (а) являются те и только те элементы, порядки которых равны пт, так что первая часть следует из (1у), Вторая же часть вытекает из (В). ьл При сравнении структуры двух групп весьма важную роль играют такие отображения одной группы в другую, которые сохраняют их операции. 1.16. Определение.
Отображение (: 6 - Н группы 6 в группу Н называется гомоморфизмом группы 6 в Н, если оно сохраняет операцию группы 6. Это значит, что если в и — операции в группах 6 и Н соответственно, то для«всех а, Ь ~ 6 имеет место равенство ) (а » Ь) = )".(а) ( (Ь). Если, кроме того, (— отображение на Н, то оно называется эпиморфизмом (илн гомомпрфизмом «нав), и в этом случае Н называется гомоморфным образом группы 6. Гомоморфизм группы 6 в 6 называется эндоморфизмом этой группы. Если (" — взаимно однозначный гомоморфизм группы 6 на группу Н, то он называется изоморфизмом, и в таком случае говорят, что группы 6 и Н изоморфны. Изоморфизм группы 6 на 6 называется аепгоморфизмом этой группы. В качестве примера рассмотрим отображение (' аддитивной группы У целых чисел на группу У„классов вычетов по модулю и, определяемое условием ( (а) =- 1а1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
