Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 9
Текст из файла (страница 9)
(ш) Пусть /(х) = х'+ 2 ~ ге [х). Тогда факторкольцо 1'е (х!/(/) состоит из р" = 3' классов вычетов .(О), [13„[21, [х), (х + ! 1, (х + 23, (2х], (2х+ [1, [2х + 21. Таблицы операций факторкольца Ке [х1/ (/) опять можно получить, производя соответствующие операции над определяющими классы вычетов мпогочленами с последующим приведением по модулю / (когда это нужно).
Поскольку Ке (х)/(/) — коммутативное кольцо, достаточно найти лишь элементы таблиц операций, стоящие на главной диагонали и над нею. 1.62. Примеры (1) Пусть /(х) = х Е Г, Ь]. В этом случае р" =- 2' много- членов степени, меньшей [, из К, Ь] определяют полный набор классов вычетов, составляющих факторкольцо г, [х1/ (х), так что это факторкольцо состоит из классов вычетов [О) и (11 и, следовательно, изоморфно полю г',. (В) Пусть / (х) = х' + х + 1 Е [[, (х1. В этом случае факторкольцо [['х )х1/ (Д состоит из р" =- 2' элементов [О), 1! 1, [х), [х + [1, Для построения таблиц сложения и умножения этого ~)>акторкольца нужно произвести требуемые операции над много- членами, определяющими соответствующие классы вычетов, а затем, если нужно, привести результаты по модулю /. Мы получаем следующие таблицы: Гл.
!. Алгебраические основы 42 + [0] 1(] [21 [х] [х+! ] [х+2] (2х] [2х+! ) (2х+211 !2х! (2х+! ) [2х+2) ~ [2х+! ) [2х+2) [2х) [2х+2) [2х] [2х+! ] '. [0) (! 1 [2] (1] [21 [0] (21 (о) П) [х] [х+11 [х+2) [х+2] [х) [х+1) [2х] [2х+! 1 [2х+2) [О! [! 1 [21 [х1 [х+! 1 [21 10! [х+(1 (х+2] [1) [х+21 [х) [2х] (2х+1] (2х+2] [01 [() 121 [х] [х+1] [х+2] [2х] 12х+1] [2х+2] [х+21 [х) [х+! ) 12х+21 [2х] [2х+! ) [0] [! ] [2] [х] [х+! ) (х+21 [01 10] (О] 12х] [2х+! ] (2х+21 [х) [х+21 (х+! ) [21 (х+2] [2х+2) [2х+2] 10) [х+11 [х+2] [2х+1] [0) И1 [2х+! ) [х+(1 [х+2] (0) [2х+21 [01 [о) (0) [0) 10) (о) [! 1 12] [х) [х+! 1 [х+21 [( ) [2х) [2х+2) [2х+( ] (! 1 1х+1! [2х+11 [2х+2! 10 ] [х+21 [0) (1] [2) [х] [х+(1 [х+21 [2х) [2х+! 1 [2х+2] Заметим, что факторкольцо Га [х)( ()) не является полем (и даже не является целостным кольцом).
Это соответствует и теореме! .61, ', поскольку )'(х) =- х' + 2 =- (х + 1) (х + 2) приводим над К,. () Пусть снова Р— произвольное поле и )'(х) Е Р (х). Тогда; замена переменной х в многочлене Г'(х) произвольным элементом,, поля Р обращает этот многочлен в корректно определенный эле- ' мент поля Р.
Точнее, если Г (х) =- а, + а,х + ... + а„х" Е Р (х1 -' и Ь ~ Р, то, заменяя х на Ь, получаем элемент ( (Ь) = а, + ': + а,Ь + ... + а„Ь" Е Р. Будем его называть значением много- ,'' члена Г (х) при х = Ь. Если в кольце Р [х! имеется какое-либо! (полиномиальное) равенство, то, заменяя в нем х произвольным! фиксированным элементом Ь Е Р, мы получаем равенство в поле Р;,' (принцип подстановки). (.63. Определение. Элемент Ь Е Р называется корнем г (или (! нулем) многочлена Г ~ Р (х1, если [(Ь) = О. Следующая теорема устанавливает важную связь между кор- )] нями и делимостью.
'1 1.64. Теорема. Элемент Ь ~ Р является корнем многочлена ( (' Е Р 1х] в том и только том случае, когда многочлен х — Ь ( делит ('. Доказательство. Применяя алгоритм деления (см. теорему 1.52), ( можно написать 1(х) = а (х) (х — Ь) + с, где д Е Р (х1, с Е Р. ( $ 3. Многочлены Подставляя элемент Ь вместо переменной х, получим г" (Ь) = с, откуда ) (х) = и (х) (х — Ь) + ((Ь).
Из этого равенства легко следует доказываемая теорема. П 1.65. Определение. Пусть Ь С Р вЂ” корень многочлена ~ Р [х]. Кратностью корня Ь называется такое натуральное число й, что ) (х) делится на (х — Ь)е, но не делится на (х— — Ь)"+'. Прн й = 1 корень Ь называется простым, а при м > !в кратным. 1.66.
Теорема. Пусть 1' Е Р (х) и с1ен (1) = и )~ О. Если Ь,,, Ь Е Р вЂ” различные корни мнагачлена 1 соответственно кратностей км ..., Ь, та 1' делится на произведение (х — Ь,)"' ... ... (х — Ь )""'. Следовательно, м, + ... + й ~( и и мнагачлен 1 мажеп1 иметь не более и различных корней в поле Р.
Доказательство. Заметим, что каждый многочлен х — Ьь ! .. 1 < т, неприводим над Р, так что (х — Ь;) > входит в качестве сомножителя в каноническое разложенйе многочлена 1. Таким образом, в это каноническое разложение входит произведение (х — Ь,) 1 ... (х — Ь ), и, следовательно, оно является делителем многочлена 1. Сравнивая степени, получаем, что й, + ... + й «( и, и неравенства т < й, + ... + й ( и доказывают последнее утверждение. П 1.67. Определение.
Производной многочлена ) = 1 (х) = а, + а,х+ а,х'+ ... + а„х" Е Р [х] называется многочлен [' = 1' (х) = а, + 2а,х+ ... + па х" ' Е Р!х]. 1.68. Теорема. Корень Ь Е Р мнагачлена 1' Е Р [х] является кратным тогда и талька тогда, когда ан одновременно являетсл и корнем производной 1' мнагачлема 1. Существует связь между несуществованием корней и неприводнмостью. Если ) — неприводимый многочлен из Р [х] степени .'-2, то, согласно теореме 1.64, он не имеет корней в поле Р. Обратное справедливо для многочленов степеней 2 н 3, но вовсе не обязательно для многочленов более высокой степени.
1.69. Теорема. Для непривадимасти мнагачлена Г ~ Р [х] сте. пени 2 или 3 в кольце Р [х] необходимо и достаточна, чтобы ан ме имел корней в пале Р. Доказательства. Необходимость этого условия уже отмечалась выше. С другой стороны, если многочлен г' не имеет корней в поле Р, но приводим в кольце Р [х], то его можно записать в виде йй, где д, й (- Р [х] и 1 ~( йея (д) ( ден (й). Но бей (й) + + бей (й) = йен ()) ~< 3, откуда ден (й) = 1.
Значит, й (х) = == ах + Ь, где а, Ь б Р, а чь О. Но тогда элемент — Ьа ' является Гл. !. Алгебраические основы 44 корнем многочлена у, а значит, и многочлена 1 в Р, что противо-. речит предположению. П" 1.70. Пример. Пользуясь теоремой 1.69, можно найти непри ' водимые многочлены степеней 2 и 3 в кольце ~е [х), исключая из полной совокупности многочленов соответствующей степени, принадлежащих данному кольцу, те многочлены, которые имеют корни в поле [[' .
Этим путем легко убедиться, что в кольце Ре [х ) имеется всего одйн неприводимый многочлен степени 2, а именно Г (х) = = х' + х + 1, и два неприводимых многочлена степени 3: ~„(х) = = хв + х + 1 и Га (х) = х' + х' -)- 1. [:): В математическом анализе хорошо известен метод построения' многочлена с действительными коэффициентами по его значениям в заданных точках. Этот метод применим и к многочленам над произвольным полем. 1.71. Теорема (интерполяционная формула Лагранжа). Пусть и )~ О, и пусть а„а,, ..., а„— различные и Ье, Ь,, ..., Ь произвольные элементы поля Р. Тогда существует в точности оди " многочлен [' Е Р [х) степени -4 и, такой, что 1(а;) = Ь; для' [ = О, 1, ..., и.
Этот многочлен имеет вид а л 1(х) = ~~ Ь, П (а; — аа) '(х — аа). г=о а=о ееег Можно рассматривать также многочлены от нескольких перес менных. Пусть )с обозначает коммутативное кольцо с единицеи. и пусть хы ..., х„— символы, которые выступают в качест переменных. Образуем сначала кольцо многочленов )ч [х,), вате" кольцо многочленов )ч [х„х,) = )) [хг) [х,) и т. д., пока достигнем )с [х„..., х„) = )ч [х,, ..., х„,) [х„). Элементам' кольца )) [х„..., х„) являются выражения вида ) = 1(хы ..., х„) = ~, а,, х,'г...
х„г с коэффициентами а;, „,„~ )с, причем суммирование распро' страняется на конечное множество п-наборов ([,, ..., [„) неотри' цательных целых чисел и соблюдается соглашение х) — — 1, 1 -~ [ ~( п. Такое выражение называется многочленом от перемен. ныхх„..., х„над кольцом [ч'.Двамногочлена7" идиз)) [х,, ..., х„ равны тогда и только тогда, когда равны все соответствующие к фициенты. При этом предполагается, что переменные х„..„х коммутируют (т. е. перестановочны) друг с другом, так что, н ' пример, выражения хгхвхвхе и хех,х,х, отождествляются.
$ 3. Мяьгочлены 1,72. Определение. Пусть многочлен 7 ~ )» [х„..., х„1 задан выражением г( и, х„)= Еа,, х,"... «'в Если а;,,; чь О, то а;,„; х,' ...х„' называется членом многочлена 1, а 1, + ... + 1„— степенью этого члена. Степень многочлена г Ф О (обозначаемая через дед (г)) определяется как наибольшая из степеней его членов. Для 7 = О полагается бес (Г) = — оь, Если 7 = О или все члены ) имеют одну и ту же степень, то многочлен Г называется однородным. Любой многочлен 7' Е 1» [х„..., х„1 можно записать в виде конечной суммы однородных многочленов. Степени многочленов из )» [х,, ..., х„1 сиона удовлетворяют неравенствам теоремы 1,50, а если [» — целостное кольцо, то справедливо равенство (!.4), так что г[ [х,, ..., х„[ тоже является целостным кольцом, Если Š— поле, то каждый многочлен положительной степени из Е [х,, ..., х„[ снова может быть единственным образом представлен в виде произведения постоянного сомножителя и нормированных простых элементов кольца г" [х„..., «„1 (где нормированность определяется подходящим образом).
Однако здесь при и =. 2 не существует аналога для алгоритма деления, и г [х,, ... ..., х„1 ие является кольцом главных идеалов. Важным классом многочленов от и переменных являются симметрические многочлены. 1.73. Определение. [»4ногочлен ) ~ )» [х,, ..., х„1 называется симметрическим, если для любой перестановки 1„..., („ целых чисел 1, .„и выполняется равенство 7 (х,, ..., х;„) = 7 (хь ..., х„).
1.74. Пример. Пусть г — переменная над кольцом Р [х„... ..., «„1, и пусть й'(г) = (г — х») (х — хь) ... (г — х„). Тогда д(з) = е" — а»е" ~ + афх" — . + ( — 1)" ои, где оь — о, («,, ..., х„) = ~ х, ...х, (А = 1, 2, ..., п). гк~,<... < сью Таким образом, о,— -х,+хе+ +х ~2 == «1« -' «1«3 + ' ' ' + » + Гл. К Алгебраические основы Поскольку многочлен у остается неизменным при любой пере- становке переменных х„х„..., х„, то все ад являются симметри-' ческими многочленами от этих переменных и каждый из них однороден.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
