Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 12
Текст из файла (страница 12)
+ а„ = а,(х — а,) ... (х — а„) ~ К [х], то из определения элементарных симметрических многочленов (см. снова пример 1.74) вытекает, что ое(иь ..., а„)=( — 1) аеао' ~ К, 1(й(п, Гв. П Алгобрввчосвве основы Таким образом, Р(~) = з(аы ..., ао) = й(ао(аы ..., а ), ..., о„(а,, ..., ав)) =" = й ( — а1ао ',, ( — 1)" а.ао ') ~ К. Так как 0 О) Е К, то возникает мысль, нельзя ли подсчитать, дискриминант 0 ()), не переходя к расширению поля К. Оказы" вается, это можно сделать, воспользовавшись понятием резуль; танта. Заметим сначала, что если многочлен 1 с К [х[ задан в виде 1(х) = а,х" + а,х" ' + ... + а„, то мы не исключаем, возможности равенства нулю коэффициента а„так что натураль-, ное число и не обязательно'является степенью многочлена ~,." В таком случае мы будем называть число и формальной степень многочлена [; формальная степень и всегда не меньше настоящей степени дед ([).
1.93. Определение. Пусть 1 (х) = аох" + а,х" — ' + ... + а„~! ~ К [х1 и а(х) = Ь,х'"+ Ь,х — ' + ... + Ь Е К [х1 — два' многочлена с формальными степенями п и т соответственно, и,, т Е о[. Тогда результант Р (1, и) этих двух многочленов — это определитель а ао ... а„ 0 ......... 0 0 а, ....... а„ 0 ... 0 т строк 0 ... 0 а, а, ... а„ 0 ... 0 оь,..........ь„... о п строк 0 ......
Ьо Ь, ...... Ьы порядка т + и. Если ахеи ([) = п (т. е. а, чь 0) и ~ (х) = а, (х — а,) ... (х — ао) в поле разложения многочлена [ над К, то сс ([, д) можно такж задать формулой (1.10), В этом случае очевидно, что равенство И ([, д) = 0 выполняется тогда и только тогда, когда многочлены 1 и д имеют общий корень; (т. е, 1 и а имеют общий делитель положительной степени в кольце; К [х1). Теорема 1.68 наводит на мысль, что между дискриминанто 0 (1) и результантом Р (1, [) имеется связь.
Пусть ( ~ К [х1,; Комментврнн бек (!') = и )~ 2 и старший коэффициент 1 равен а, Тогда и в самом деле имеет место равенство Р(1) =-( — )"'" ""а '[еа 1'), (1.1 1) где производная !' рассматривается как многочлен формальной степени и — 1. Последнее замечание требуется потому„ что в случае поля К простой характеристики может оказаться, что бед(~') < < и — ! и даже что г' == О. Но в любом случае равенство (1.11) выполняется, так что дискриминант Р (!) можно найти, вычислив определитель порядка 2п — 1 с элементами нз поли К.
Комментарии й 1. Определения и теоремы этой главы можно найти почти в каждой из вводных книг по современной алгебре. Упомянем некоторые из них: В!гИо!1, Мас1.апе [11, Гга!е!8)> [11, Негз1е!и [41, Кос)>епдог[!ег [11, [.апд [41, йег)е! [10), чап бег %аегбеп [21 :а также Калужнин [1* ), Кострикин [1*1, Курош [1*1, Ми>ива, Проскуряков [1'1, Скорняков 11*1, Сушкевич [1*1, Фаддеев [1*1.
— Перев.) Существуют и другие эквивалентные определения группы. Например, группу можно определить как непустое множество 6 с ассоциативной бинарной операцией, такой, что для любых а, (> ~ 6 уравнения ах = б и уа = (> имеют решения в 6. Важной иллюстрацией понятия группы может служить (наряду с приведенными выше примерами) группа матриц, т. е.
множество матриц с элементами из некоторого поля, образующее группу относительно операции умножения матриц. Такие группы встретятся нам в гл. 8. Другие важные примеры можно найти в упомянутых руководствах (а также в книгах На!! [61, Каргаполов, Мерзляков [1* 1, Курош [2* 1, Шмидт [1* 1. — Перев.) Латинским квадратом называется квадратная таблица, в кажной строке и в каждом столбце которой ровно один раз встречается каждый элемент некоторого множества. Таким образом, таблица Кэпи любой конечной группы является латинским квадратом.
Однако не каждый латинский квадрат можно рассматривать как таГ>лицу Кэли некоторой группы, так как не обязательно выполнен закон ассоциативности. Подробнее о латинских квадратах см, в 9 4 гл. 9, а также в книге Репез, Кеедве!1 [11. По поводу циклических групп можно легко доказать, что любая бесконепная циклическая группа изоморфиа аддитивной группе Х целых чисел и любая циклическая группа порядка п язоморфна аддитивной группе 7„вычетов по модулю п. >) «Звездочкой» помечены работы, добавленные прн переводе, — Прим.
рм>. Гл. !. Алгебраические основы Стоит упомянуть определения некоторых алгебраических си- ' стем, которые даже проще, чем группы, так как для нпх выпол-: няется лишь часть аксиом группы. Так, множество с бинарной операцией называется группоидом; если же дополнительно предполагается ассоциативность операции, то это полугруппа.
Полу- группа с единичным элементом называется моиоидом. й 2. Существуют разные определения кольца. Например, не-': которые авторы опускают ассоциативность умножения, а струк-. туру, введенную определением 1.28, называют ассоциативным!. кольцом. В определении целостного кольца иногда опускается. требование существования мультипликативной единицы. Первое абстрактное определение поля было дано Вебером; (ЖеЬег [3)). Конечные простые поля !Гр, где р — простое число, были широко изучены еще Гауссом (Оапзз 13)) в связи со сравне-" ниями в кольце У. целых чисел по простому модулю.
Характеристика поля совпадает с характеристикой его простого подполя. Существуют поля простой характеристики, не яв-: ляющиеся конечными. Примером может служить подходящее рас-, ширение поля (Гр, скажем, поле рациональных функций над или алгебраическое замыкание поля Г (ср. с комментариямй:.' к 3 4). Многие свойства целых чисел можно перенести на соответствующие главные идеалы в кольце Е.
Это обусловлено тем фак* том, что целое число а делит целое число Ь в том и только томе случае, если главный идеал (а) содержит главный идеал (Ь)...; Особый интерес представляют простые числа. Согласно обычному- определению, простым называется целое число )1, которое.' не имеет нетривиальных делителей. Можно дать другое равно; ~ сильное определение, назвав простым такое целое число >1;.. которое делит произведение целых чисел лишь тогда, когда оно делит один из сомножителей.
Перефразируя для идеалов этн: характеризации простого числа, мы соответственно приходим,' к определениям максимального и простого идеалов. 5 3. При обычном определении многочлена как выражения".': вида а + а,х + ... + а„х" обсуждения вопроса о связи коэффи-::, циентов а, и переменной х обычно избегают. Однако существует;, способ дать совершенно безукоризненное определение многочленв. как элемента кольца многочленов. Чтобы дать такое определение„ рассмотрим множество 5 всех' бесконечных последовательностей вида (ае, а„..., а„, ...), компонентами а, которых являются элементы некоторого комму тативного кольца Я с единицей 1, причем лишь конечное числе( компонент а, может быть отлично от О.
Нетрудно убедиться, чт ' Комиенторни 57 чкожество 5 образует коммутатнвное кольцо с единицей относительно следующих операций сложения и умножения: (ио, а„...) + (Ьо, Ь„...) = (ао + Ьо, ц, + Ь„...), (а,, а„, .„) (Ь„Ь„...) = (а,Ь„а,Ь, + а,Ьо, ...), где (и + 1)-я компонента произведения равна а,Ь„+ а,Ь„, + ... ,, + а„Ь,. Нулевым элементом кольца 5 является, очевидно, (О, О, ...), а единицей (1, О, О, ...). Множество Р последовательностей вида (а„О, О, ...), где лишь первая компонента может быть отличной от О, образует подкольцо кольца 5.
Это подкольцо Р н заданное кольцо Я нзоморфны, причем изоморфнзм задается соответствием (ао, О, О, ...) а,. Поэтому мы отождествляем эти два кольца н пишем (ао, О, О, ...) = - а,. Кольцо Я, таким образом, можно рассматривать как подкольцо кольца 5, а 5 — как расширение кольца й. Обозначим теперь через х последовательность (О, 1, О, „,). Легко проверить, что х"=(О, ..., 0,1,0, ...) для п>.1, где 1 является (п + 1)-й компонентой. Если, кроме того, положить х' = (1, О, О, ...) = 1, то для любой последовательности (ао, а„а.„...) из 5 (и„а„а,, ...) = =(ао,0,0, ...)+(О,а„О, ...)+(0,0,а„О, ...)+...= =- (ао, О, О, ...) (1, О, О, ...) + (а„ О, О, ...) (О, 1, О, ...) + + (а„ О, О, ...) (О, О, 1, О, ...) + ... = =-(а„0,0, ...) 1+(а„0,0, ...)х+(а„0,0, ...)х'+.„= = а, + а,х + а,х' + ...
+ а„х" = 7 (х). Таким образом, элементами кольца 5 являются многочлены ,г (х) Е Я [х[, определяемые как бесконечные последовательности с конечным числом ненулевых компонент. Мы снова обращаем внимание, что главным соображением в пользу такого определения многочлена 7 (х) над я является пРояснение связи между элементами нз Я и новым элементом х'. Переход от кольца )г к кольцу 5 многочленов над )с называется кольцевым присоединением элемента х к кольцу )с. Кольцо много- членов я [х[ можно считать также подкольцом кольца формальных степенных рядов над кольцом я (оно будет введено в гл.
8). Рассматривая свойства кольца Я целых чисел и кольца Р [х[ многочленов над некоторым полем Р, нетрудно заметить некоторое сходство между ними. Действительно, оба типа колец относятся к одному н тому же классу — евклидовым кольцам. Евклидовв кольцо — это коммутативное кольцо я, содержащее не менее Гл. 1. Алгебраические основы двух элементов и не имеющее делителей нуля, для которого с ' ществует отображение ч из множества ненулевых элемент кольца Я в множество неотрицательных целых чисел со следу' ющими двумя свойствами: (1) если а, Ь ь )с, причем аЬ ~ О) то т (аЬ) ) ч (а); (й) для а, Ь ~ Я, где Ь ~ О, существуют эл ' менты д, г ~ )е, такие, что а = дЬ + г, причем либо г = О, ли ч (г) (и (Ь). Нетрудно заметить, что е, является евклидовы' кольцом, где т (и) = [и[ для п ~ л„а г [х1 является евклидоч вым кольцом, где ч(7) = бея (7) для 1 ~ г" [х1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
