Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Пусть а, — такой элемент; положим ь/э'( р'( Ь( =-- а( '. Тогда Ь,' = 1, откуда следует, что порядок эле- Г( $( мента Ь, является делителем числа р, и, значит, имеет вид р;, где О < э; ( г(. С другой стороны, р'( ьп(( ( ( так что порядок элемента Ь; равен р,'. Покажем теперь,' что эле- мент Ь = Ь,Ь, ... Ь имеет порядок /(. Допустим, что это не так н что порядок элемента Ь является собственным делителем числа /(, а значит, делителем по крайней мере одного из т целых чисел Ыро ! ( ( ( т, скажем Ыр,.
Тогда Ьыт Ьь/тбь/э Ьчт Г( ь/т Теперь если 2 < ( ( т, то р,' делит число Ыр„так что Ь(/т —— 1. Поэтому Ь,(т = 1. Это означает, что порядок элемента Ь, должен делить число /(/р„, а это невозможно, так как он равен р', . Итак, '('; — циклическая группа с образующим элементом Ь. 11 2.9.
Определение. Образующий элемент циклической груп- пы Г' называется примитивным элементом поля Г . Гл. 2. Строенне конечных полей Из теоремы 1.15 (ч) следует, что поле Г» содержит ~р (а — 1 примитивных элементов, где ~р — функция Эйлера. Наличие в любом конечном поле примитивных элементов можно восполь) зоваться, например, для доказательства того факта, что квжд конечное поле является простым алгебраическим расширениех(' своего простого подполя. 2.1О. Теорема. Пусть Т» — конечное поле и Г, — его конеч' ное расширение. Тогда К, является простым алгебраическим рщ,. ширением поля г„причем образующим элементом эпюго про-. стого расширения моасет служить любой примитивный элемент поля Г,.
Доказательство. Пусть ь — любой примитивный элемент по,' ля г,. Тогда очевидно, что К» (ь) е= г,. С другой стороны'"', поле Р» (ь) содержит О и все степени элемента ь, а значит, вс' элементы поля Т,. Следовательно, ~» (ь) =- Т,. 2.11. Следствие. Для каждого конечного поля Т» и каждого натурального числа п в кольце К» (х) суи(ествует неприводимы, многочлен степени п. Доказательство. Пусть Ä— расширение поля Г» порядкацо-' так что (~,: К») = и.
Согласно теореме 2.10, существует тако элемент ь Е К„, что Г, = ~ (ь). Но тогда в соответствии с те ремами 1.82 (1) и !.86 (И) минимальный многочлен элемента над г» является неприводимым многочленом степени и в коль Г, Ь).' 2 2. Корни неприводнмых многочленов В этом параграфе мы исследуем вопрос о множестве корне неприводимого многочлена над конечным полем. 2.12. Лемма. Пусть )' ~ Т (х) — неприводимый много над конечным полем Т», и пусть а — корень этого много»ге внекотором расширении поля Г». Тогдадлямногочлена й ~ К» ( равенство й (а) = О выполняется в том и только том случ если много»лен Г делит й.
Доказательство. Пусть а — старший коэффициент многочл "' на Г. Положим й (х) = а 'Г (х). Тогда д — нормированный и приводимый многочлен из Т» (х), причем й(а) = О, а значи й — минимальный многочлен элемента а над К» в смысле опр деления 1.81. Остальное вытекает из теоремы 1.82 (й), 2.13. Лемма. Пусть Г Е Т» (х) — неприводимый многоч степени т над Г».
Тогда Г (х) делит многочлен х»" — х в и только том случае, если число т делит п. 4 2. Корив иеириводиыых миогочлеиов Доказательство. Допустим, что многочлен ~ (х) делит х»" — х. Пусть а — некоторый корень многочлена 1 в поле разложения этого многочлена над г». Тогда а»" = а, так что а ~ г „. Значит, простое расширение Г» (а) поля г является подполем поля К»„. Но так как (г* (а): Р~) = т и (К~„: Р,) = и, то из теоремы 1.84 следует, что число т делит и. Обратно, если т делит и, то из теоремы 2.6 следует, что поле Г „содержит Г в качестве подполя.
Если а — некоторый корень многочлена 1 в поле разложения этого многочлена над Г», то Т» (а): Г,) = т, так что Г» (а) =- К . Следовательно, а ~ Г „, значит, а»" =- а и, таким образом, а — корень много члена х»" — х Е Г (х ). Тогда в соответствии с леммой 2.12 мы заключаем, что 1 (х) делит многочлен х» — х. П 2.14. Теорема. Если г' Е К [х) — неприводимый многочлен степени'т, то в поле г содержится любой корень а много- иена 1. Более того, все корни многочлена ~ просты и ими являются и различных элементов а, ол, а»~, „., а» ' поля г Доказательство.
Пусть а — произвольный корень много»лена ~ в поле разложения этого многочлена над Г». Тогда )у» (а): ~») = т, так что г (а) = К, н, в частности, а Е Покажем теперь, что если р ~ К „— какой-нибудь корень многочлена (, то ()» — тоже корень этого многочлена. Пусть ( записан в виде 1 (х) = а х'" + ...
+ а,х + а„где а, ~ К», О ~( 1 ( т. Применяя лемму 2.3 и теорему 1,46, получим 1 ф») = и р» +... + иф+ ао = и' р» +... + аф»+ ио »= = (о р +... + а1(1 + ио)» = Щ)» = О. Поэтому элементы а, а», а»», ..., а» являются корнями многочлена ~. Остается доказать, что эти элементы различны. Допустим обратное.
Тогда а»~ = а»ь для некоторых целых 1 и й, О -( 1' < й ( т — 1. Возводя это равенство в степень д — и, получим а» ь+' = а» = а. Из леммы 2.12 тогда следует, что многочлен ((х) делит много член х» +~ — х, а по лемме 2,13 это возможнолишь в случае когда число тделитт — а + 1. Но так как О < т — й+ 1 < т то мы получаем противоречие. П 2.15. Следствие. Если ~ ~ г» (х) — неприводимый многочлен степени т, то его полем разлахсения над полем Г» является Г щ.
72 Гл. 2. Строение конечных полей Доказательство. Из теоремы 2.14 следует, что многочлен й', вполне разлагается в поле Г . При этом для некоторого корня с(( многочлена 1 имеем К (а, ач, ач', ..., ач ') = ~Гч (а). Но ин!;, доказательства той же теоремы 2.14 видно, что Г (а) = К . (): ч ч 2.!8.
Следствие. Поля разложения любых двух неприводимыгв,'. многочленов одной и той же степени из кольца Гч (х ) изоморфны: ' Введем более удобную терминологию для элементов, появляю-. щихся в теореме 2.14, не зависящую от того, является элемент' а Е Г корнем некоторогонеприводимогомногочленастепенит'; из Гч ~х) или нет. 2.17. Определение. Пусть à — расширение поля Гч, и '1 пусть а ~ Г . Тогда элементы ч а,ач,ач, ...,ач называются сопряженными с элементом а относительно поля Кч.,~ Сопряженные с а ~ К относительно поля !г элементы раз- ~, ч"' ч личны тогда и только тогда, когда минимальный многочлен эле- ' мента а над Е имеет степень т.
Если же это нетак, то степень й . минимального многочлена элемента а является собственным де- ( лителем числа т, и тогда среди сопряженных с а относительно элементов различными будут лишь элементы а, ач, ач*, ... д ..., ачв, каждый из которых повторяется в ряду сопряженных -( тЫ раз'). 2.18. Теорема. Элементы, сопряженные с элементом а ~ Ц ! относительно любого подполя поля Гч, имеют один и тот жв ( порядок в группе Цч.
Докизательство. Так как, согласно теореме 2.8, Ц вЂ” цикли-:.:, ческая группа, то этот результат следует из теоремы !.15 (П) ! и того, что каждая степень характеристики поля Гч взаимно,, проста с порядком в — 1 группы Ц. () 2.19. Следствие. Если а — примитивный элемент поля Гч,; то примитивными также будут и все сопряженные с ним отно- ( чо 1 сительно любого подпали поля Гч элементы.
2.20. ПРимеР. ПУсть а Г- Гга — коРень многочлена 1 (х) = = х' + х + ! из К, (х). Тогда сопряженными с а относительно ! поля Ц будут элементы сс, а', а' = а + 1 и а" = а' + 1, каж- ':. Дый из котоРых ЯвлЯетсЯ пРимитивным элементом полЯ Кта. !~ ') Посаедиее вытекает нз того, что ввиду и~ = а совокупность сс, ач, чы-~ ..., а инвариантна относительно возведения ее членов в степень ч.
— ! Прим. перса. 5 2. Кории иеприводимых миогочлеиов 73 Сопряженными же с а относительно поля ]["4 являются лишь элементы а и а4 = — а + 1, [:] Существует тесная связь между сопряженными элементами и автоморфизмами конечного поля. Пусть Т вЂ” расширение поля Г,. Назовем овтоморфизмом о поля Г над Г такой автоморфизм поля К, который оставляет неподвижными элементы »~ поля Г». Точнее говоря, о — такое взаимно однозначное отображение йз К, на себя, что о (а + [)) =- о (а) + о (р) и о (ар) = - о (и) о (р) для любых а, р Е Гд, и о (а) = а для любых с с г».
2.21. Теорема. Различными автоморфизмами поля Г над [['» являются отображения о;, о„..., о „определяемые условиямй о» (а) = а»', где а ~ [['д„, О ( ! ( т — 1, и только они. Доказательство. Для каждого отображения о и любых а, р ~ (- Тды мы, очевидно, имеем ог (с»[)) =- о, (а) о, (р) и о7 (а + р) =— — о7 (а) + о7 (р) ввиду теоремы 1.4б, так что о7 является эндоморфизмом поля 1'», . Кроме того, о> (а) = 0 тогда и только тогда, когда а = О, так что о — взаимно однозначное отображение. Но поскольку [['»~ — конечное множество, о; является эпиморфизмом, а следовательно, и автоморфизмом поля [['» .
Кроме того, по лемме 2.3 ог (а) = а для всех а ~ [['». Итак, каждое о7 есть некоторый автоморфизм поля Г»ы над 7». При этом отображения о„о„..., о,„г различны, так как ойи переводят фиксированный примитивный элемент поля Г» в разные элементы. Предположим теперь, что о — любой автоморфизм поля над Г». Пусть ]) — некоторый примитивный элемент поля [['» и ! (х) =- х + а,х — ' + ... + а, Е [['д [х] — его минимальный многочлен над К». Тогда О =- о (р" + а„1]) — '+... + а») = = о([)) +а,о(р) -'+... +а,, тзк что элемент о (р) ~ [['»ы'тоже является корнем многочлена ). Из теоремы 2.14 следует, что о (р) = р»~ для некоторого 1, 0 ( -.. ! ( т — 1.
Но так как о — гомоморфизм, то тогда для любого а ~ Г» получаем о (а) = ад~ (поскольку любой элемент чь О представйм степенью элемента р), (:] На основании доказанной теоремы ясно, что сопряженные с данным элементом а ~ [['»ы относительно Г» элементы можно ! получить, действуя на а автоморфизмами поля Г над Т' . !оскольку автоморфизмы поля К»ы над Г» образуют группу » относительно операции композиции отображений, то из теоремы 2.2! следует, что эта группа является циклической группой порядка т с образующим элементом и,. Гл. 2.
Строение конечных полей $3. Следы, нормы и базисы В этом параграфе мы снова будем рассматривать конечное рас-, ширение Р = г' конечного поля К = г» как векторное про-' странство над К (см. гл. 1, 5 4). Тогда размерность Р над К рав-', на т, и если (а„..., а ) — базис векторного пространства Р: над полем К '), то каждый элемент а Е Р однозначно представйм: в виде линейной комбинации а=ста,+ ° +с а, ст~К, 1~/~т, Введем важную функцию из Р в К, которая, как мы позже уви- дим, оказывается линейной функцией. 2.22. Определение. Пусть К = К», Р = К „и а С Р. Опре- делим след Тгегк (а) элемента а над К равенством Тгегк(а) = а+а»+а»т+ . + а» Если К вЂ” простое подполе поля Р, то Тге,к (а) называется' абсолютным следом элемента а и обозначается просто Тгн (а). Другими словами, след Тге~к (а) элемента а над полем К, есть сумма всех сопряженных с а относительно К элементов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
