Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Следы, нормы и базисы 79 2.31. Пример, Пусть а ~ Га — корень неприводимого много- члена х' + х' + 1 из Ге (х). Тогда (а, а', 1 + а + а') — базис поля га над !ге. Легко проверить, что однозначно определенным дуальным к нему базисом снова будет (а, а', 1 + а + а'). Такой базис, который дуален к самому себе, называется пвтодуальным.
Элемент а' ~ "г'а можно однозначно представить в виде а' = := с,а + с,аа + с, (1 + а + а'), где коэффициенты с„с„с, из Ка определяются равенствами с, = Тг!р, (а а ) = О, с, = Тгр,(сс'а') = 1, са = Тгр ((1 + а + а') а') = 1, так что ае = ат + (1 + а + а'). Различных базисов поля Р над К существует довольно много (см. упр.
2.37), но имеется два особенно важных типа базисов. Один — это так называемый полиномиальный ') базис (1, а, а', ..., а -'), образованный степенями образующего элемента а поля Р (как простого расширения поля К). В качестве а часто берется примитивный элемент поля Р (см, теорему 2.10). Другим важным типом базиса является нормальный базис, определяемый некоторым подходящим образом выбранным элементом поля Р.
2.32. Определение. Пусть К = Гч и Р = Кч . Тогда базис поля Р над К вида (а, ае, ..., ае ), состоящий из подходящим образом выбранного элемента а Е Р и сопряженных с ним относительно поля К элементов, называется нормальным базисом поля Р над К. Базис (а, а', 1+ а + а') поля !г'а над Г„рассмотренный и примере 2.31, является нормальным базисом поля Га над К„ так как 1 + а + а' = а4, Покажем, что нормальный базис су)ществует всегда. Доказательство этого факта опирается на две леммы — одну о линейной независимости групповых гомоморфнзмов определенного вида и другую о линейных отображениях.
2.33. Лемма (лемма Артина). Пусть )р„..., ф — различные гомоморфизмы некоторой группы 6 в мультипликативную группу Ре произвольного поля Р и а„..., а — элементы поля Р, не все равные нулю. Тогда суи!ествует такой элемент й группы 6, что атт))т (й) + ... + а ф„(д) Ф О. ')~*)"" "Ф*.)"*))т) ляетсн в этом баэисе аначением прв к =- а некоторого многочлена 1В (х) Е К 1х) степени, не превышающей.ш — 1, — Прим. пери. Гл. 2. Строение конечных полей Доказательство. Применим индукцию по т. Случай т = тривиален.
Предположим, что т > 1 и что утверждение спра ведливо для любых т — 1 различных гомоморфизмов. Тенер' возьмем указанные в лемме ф„..., эр и а„..., а . Если а, = то предположение индукции сразу приводит к нужному резуль тату. Поэтому пусть а, чи О. Допустим, что имеет место равенст ' а,эра(й)+... +а ф (а) =О для всех у~6, (2.$ Так как тра ~ тр, то существует Ь Е 6, такой, что эР, (Ь) ~ эР (Ь)" Тогда, заменяя а на Ьд в (2.5), получим а,эра(Ь)ф,(й)+... +а тр„(Ь)ф„(д) ==О для всех йЕО.
Умножая на ф (Ь) ', получим Ь,эр, (у) +... + Ь,ф, (йг) + а эр„(йг) =- О для всех д ~ 6, где Ь| = а~э(Ч (Ь) ф (Ь) ', 1 ~ ( м: т — 1. Вычитая полученн равенство из (2.5), приходим к равенству сМт(йг)+ +с тф т(д) = О для всех у~6, гдес, =- аэ — Ьь 1 ~ ( ~ т — !. Нос, =- а, — а,ф, (Ь) ф (Ь)-з ~ О, так что получаем противоречие с предположением инду " ции. ,э Напомним теперь некоторые понятия и факты из линейн алгебры.
Пусть Т вЂ” линейный оператор (линейное преобразо ние) в конечномерном векторном пространстве (г над (произво ным) полем К. Будем говорить, что многочлен Т'(х) =- а„х", ... + а,х + а, из кольца К (х! аннулирует оператор Т, ес а„Т" + ... + а,Т + ае( = О, где! — тождественный, а Π— н' левой операторы в пространстве )г. Однозначно определенный н мированный многочлен наименьшей степени, обладающий так свойством, называется минимальным многочленом оператора Он делит любой другой многочлен из К (х)„аннулирующий Известно, что минимальный многочлен оператора Т делит хар ', теристический многочлен йг (х) этого оператора (теорема Гамп тона — Кэли), который задается равенством д (х) =- г(е( (хТ вЂ” Т) и является нормированным многочленом степени, равной разм ности пространства (г.
Вектор а Е )г назовем циклическим век ром оператора Т, если совокупность векторов Таа, Ь =- О, 1, ') Олределилмлем бе! (Т) линейного оператора Т в конечномерном вектор ' пространстве )г над полем К называетсн определитель матрицы А этого оп тора в произвольном базисе. Если  — матрица оператора Т в другом бав то В = 5 зАЯ длн некоторой иевырожденной матрицы В, так что бе( (В = бе( (А). — Прим. перев. 4 3. Следы, нормы н базисы порождает пространство У. Приведем известный результат из линейной алгебры.
2.34. Лемма. Пусгпь Т вЂ” линейный оператор в конечномерном векторном пространстве У. Оператор Т обладает циклическим вектором в том и только том случае, если его характеристический многочлен совпадает с минимальным. 2.35. Теорема (теорема о нормальном базисе). Для каждого конечного поля К и каждого его конечного расширения Р существует нормальный базис поля Р над К. Доказательство.
Пусть К == К» и Р =- !!'»ы, т ~ 2. Из теоремы 2.2! и следующих за ней замечаний известно, что автоморфизмы поля Р над К исчерпываются различными автоморфизмами е, о, о', ..., о ', где з — тождественный автоморфизм поля Р, о (а) = а» для любого и ~ Р, а о! означает /-кратную композицию отображения ос самим собой. Поскольку о (а + ()) == - о(а)+о((!) и о(ссс)=-о(с)о(а)= — со(а) для а, !) Е Р и с Е К, отображение а можно также рассматривать как линейный оператор в векторном пространстве Р над полем К. Так как о"' = е, то многочлен х" — ! Е К (х! аннулирует оператор о.
Из леммы 2.33, примененной к операторам з, о, оз, ..., о рассматриваемым как эндоморфизмы группы Р', следует, что в кольце К (х! не существует ненулевых многочленов степени, меньшей т, которые аннулируют оператор о. Следовательно, х'" — 1 — минимальный многочлен линейного оператора о. Поскольку характеристический многочлен оператора о является пормированным многочленом степени т, делящимся на минимальный многочлен этого оператора, то ясно, что характеристическим многочленом оператора о тоже является хы — !. Поэтому в силу леммы 2.34 существует элемент а Е Р, такой, что элементы а, о (а), оз (а), ... порождают пространство Р.
Отбрасывая повторяющиеся элементы, мы видим, что элементы а, о (и), о' (а), .. о — ' (а) порождают Р и, следовательно, образуют базис Р пзд К. Так как этот базис состоит из а н сопряженных с ним относительно поля К элементов, то он является нормальным базисом поля Р над К. П Другое доказательство теоремы о нормальном базисе будет азно в 3 4 гл. 3. Оно использует так называемые линеаризованные мкогочлены. Введем одно понятие, которое позволит нам решить вопрос, является ли данное множество элементов базисом некоторого расширения поля.
2 36. Определение. Пусть К вЂ” конечное поле и Р— его расширение, имеющее степень т над К. Тогда дискриминантом Гл. 2. Строение конечных полей Лргк(аь ..., а„) элементов аь, а С Р над К назовем сл дующий определитель порядка т: Тгргк(а~а~) Тгргк(а1ах) ... Тгргк(а1а,„) Тгр~к(аха~) Тгргк(ахах) ... Тгр~к(аха ) Й'/к(аь ..., а„)= Тгргк (а„а~) Тгр~к (а„,ах)... Тгр~к (а,„а,„) Из определения следует, что дискриминант брук (ап ..., а всегда является элементом поля К. Теперь можно дать следующу простую характеризацию базиса.
2.37. Теорема. Пусть К вЂ” конечное поле и Р— еео расш денис степени т. Элементы (а„..., а ) поля Р образуют е базис над К в том и только том слдчсе, если Лри (аь ...„аы) эьб' Доказательство. Пусть (а„..., а ) — базис поля Р над К Докажем, что строки определителя Ар~к (ап ..., а ) лннейн независимы; это и будет означать, что Арак (а1, ..., а ) Ф О Допустим, что с1ТгрГк(а~аГ)+ схТгрйк(аха1) +... + сыТгр~к(а аГ) = О для 1 ()~т, где с„..., с Е К. Тогда если ()=с,а,+ ...+с а, Тгргк (~аг) = О для 1 ~ 1 ~ т, и так как элементы а~, ..., а порождают пространство Р, то это значит, что Тгргк (()а) = для всех а Е Р. Но это возможно лишь при р= О,т.е.
с,а, + ...+с,„а =О, а это значит, что сх=се= ...=с Обратно, допустим, что Лргк (ап ..., а„) чь О и с~а1 + .. ... + с а„, =О для некоторых с„..., с„~ К. Тогда с,ахар+ ... + с,„а„ар = О для 1 к 1 < т и, применяя функцию следа, получаем с~Тгр~к(айаг)+... +с„,Тгр~к(а„,аг) =О для 1 «)~т. Но поскольку строки определителя Ар~к (аь ..., а„) лииейн независимы, с, = ... = с = О. Поэтому элементы а„..., а линейно независимы над полем К. Имеется и другой определитель порядка т, служащий той ж цели, что и дискриминант Ар~к (аь ..., а ). Но его элементам являются элементы расширения Р поля К = Еч.
Для данны элементов а„..., а поля Р пусть А будет тхт-матрицей (аы)' К-1 где ан = а1 . Если через Ат обозначить матрицу, транспон ' рованную к матрице А, то легко подсчитать, что в т хт-матриц $3. Следы, нормы и базисы и .= АтА на пересечении !-й строки и /-го столбца стоит элемент Тге к (а!аг).
Поэтому, переходя к определителям, получаем Ьр,к (а!, ..., а„) = де1 (А)'. Таким образом, теперь из теоремы 2.37 вытекает следующий результат. 2.36. Следствие. Злеменп!ы (а„ ..., а„) поля г'ч образуют базис этого поля над полем Гч тогда и только тогда, когда определитгль а, а, ач азч ... а пе( (А) = Ем — ! з!л — ! ы а! абаз ...
а отличен от нуля. С помощью полученного критерия нетрудно проверить, приводит или нет данный элемент к нормальному базису. 2.39. Теорема. Для того чтобы степени (а, ач, ач', „., а~ ) элемента а Е Гчм образовывали нормальный базис поля Г„т над полем Гч, необходимо и достаточно, чтобы многочлены ахл! — ! ! ачхм-г +,, ач 'х -1 ачм ' из колы(а Г,м (х1 были взаимно простыми. л! — ! Доказательство. При а, = а, а, = аз, ..., а = аз определитель из следствия 2.36 принимает вид а ач ач ...
аР азл' ' а аз ... а~ л!-2 лл-! а а а ... а , — з (2.6) ач аз* ач' ... а (после подходящей перестановки строк). Теперь рассмотрим результант Й (1, а) многочлеиов 7 (х) = х — 1 и й! (х) = ах ' + -'- азхы-з+...+ аЧ ~х+ а~ с формальными степенями т и !и — 1 соответственно, Этот результапт в соответствии с определением 1.93 является определителем порядка 2т — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
