Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 17
Текст из файла (страница 17)
„ Дадим еще одно определение следа. Пусть )' Е К [х[ — мини- мальный многочлен элемента а Е Р = — К „над полем К = [['»,' Его степень й является делителем числа т. Назовем многочлен а(х) =- г'(х)мге из К [х! характеристическим многочленом эле-'. мента а над полем К. Согласно теореме 2.14, корнями много-' члена 7" в поле Р являются элементы а, а», ..., а»е ', поэтому, учитывая замечание, следующее за определением 2.17, получаем,,' что корнями многочлена а в поле Р являются те и только те эле-, менгы, которые сопряжены с элементом а относительно поля К., Отсюда у(х) =хм+а тх — '+...
+ао =(х — а)(х — а») ... (х — а» '),. (2.1)1 и сравнение коэффициентов дает Тгегк (а) = — а (2.2ь В частности, получаем, что след Тгегк (а) всегда является эле- ментом поля К. 2.23, Теорема. Пусть К = [['» и Р = г' . Тогда функИия' следа Тгегк обладает следующими свойствами: (1) Тгкгк (а + р) = Тгвтк (а) + Тгегк ([1) для всех а, [1 Е Р'„ (й) Тгцк (са) = сТгед< (а) для всех с Е К, а ~ Р; т) В дальнейшем мы будем часто называть его базисом лола Р нлд К. — ': Прим. нерее. $ 3. Следы, нормы н баэнсы 75 (ш) Тгргк является линейным отображением из Р на К, где Р и К рассматриваются как векторные пространства над полем К; (!ч) Тгргк (а) = та для всех а ~ К; (ч) Ттрн (а«) = Тгргк (а) для всех а Е Р.
Доказательство. (!) Используя теорему !.46 для а, р Е Р, получим Тгргк(а+()) =а+() +(а+ р)«+... +(а+ р)« = а+ ))+а«+. ()а+... +а« '+ р« =- Тгргк(а)+ Тгр~к(()). (й) для с ~ К по лемме 2.3 с«~ = с для всех ! ) О, Поэтому дляа~Р Тгргк(са) = — са+с«а«+... +с« 'и« =-си+са«+... +са« ' =сТгргк(а). (!й) Из свойств (!) и (й) с учетом того, что Тгргк (а) Е К для всех а ~ Р, получаем, что функция следа Тгргк является линейным отображением из Р в К.
Остается установить, что это отображение «на». Для этого ввиду (й) достаточно доказать существование элемента а Е Р, такого, что Ттрн~ (а) чь О. Ясно, что Тгргк (а) = О тогда и только тогда, когда а является корнем м~огочлена х« ~ + ... + х«+ х Е К (х! в поле Р. Но так как этот многочлен может иметь не более о — ' корней в Р, а поле Р состоит из о элементов, то нужный нам элемент в Р существует. (!ч) Это равенство непосредственно вытекает из определения функции следа и из леммы 2.3. (ч) Так как в силу леммы 2.3 для а Е Р имеем а« = а, то Тгргк (а«) = а«+ а«+ ...
+ а« = Тгргк (а). (:) Функция следа Тгргк не только сама является линейным отображением из Р на К, но может служить для описания всех возможных линейных отображений из Р в К (т. е., в иной терминологии, всех линейных функционалов на Р). Это описание имеет го преимущество, что не зависит от выбора базиса. 2.24. Теорема.
Пусть Р— конечное раацирение конечного полл К (оба поля рассматриваются как векторные пространства над К). Тогда линейными отображениями из Р в К являются отображения 1в, )! ~ Р, определяемые условием 1в (а) = -' Тгргк ())а) для всех а Е Р, и только они. При мпом если () и 7 — различные элементы поля Р, то Еа Ф Ер, 76 Гл. 2. Строение конечных полей Доказательство. Каждое отображение Ев в силу теоремы. 2.23 (ш) является линейным отображением из Р в К. При этом,, если 1), Т Е Р, () ~ Т, то Еа (!х) — 1 (а) = Тгед~ (()а) — Тгьтк (уа) = Тге7к ((и — Т) !х) ~ О для подходящим образом выбранного элемента а Е Р, так как' Тге7к отображает Р на К; поэтому отображения Ев и Е„раз-, личны.
Если К = Г„и Р = Кч~, то получим а различных: линейных отображенйй Еа из Р в К. С другой стороны, выбрав' определенный базис (а„..., а ) векторного пространства Р над. полем К, мы можем получить любое линейное отображение из Р' в К, отображая базисные элементы а;, / = 1, ..., т, в произ-' вольные элементы поля К. Это можно сделать д различными способами; следовательно, все линейные отображения из Р в К исчерпываются отображениями Ев, р Е Р.
П, 2.25. Теорема. Пусть Р— конечное расширение поля К = Р . Тогда для а Е Р равенство Тге7к (а) = О выполняется в том' и только том случае, если имеет место равенство а == ()е — () для некоторого элемента () ~ Р. Доказательство. Достаточность этого условия очевидна ввиду теоремы 2.23 (ч). Для доказательства необходимости допустим, что а Е Р = Кч~ таково, что Тге7к (а) = О, и () — корень мно-,; гочлена хе — х — а из некоторого расширения поля Р. Тогда,,',' ()е — р=а и О = Тге7к(а) = а+ ае+... + а~ = (Не Н) .~ (()е — 6)е+... !.
(()е р)е'о =(() -())+(~~- ~)+ -"+(()«" — ~ ') = так что 1) Е Р. П' Если рассматривается двухэтажная башня К ~ Р с= Е расширений полей, то композиция функций следа ведет себя очень' просто. 2.26. Теорема (транзитивность следа). Пусть К вЂ” конеч поле, Р— конечное расширение поля К и Š— конечное расшире', ние поля Р. Тогда для всех а Е Е имеет место равенство Тге7к (а) = Тге7к (Тге7е (!х)).
Доказательство. Пусть К = Кч, (Р: К) = т и (Е: Р! = и"' так что (Е: К) = тп согласно теореме 1.84. Тогда для а Е Е е — ! Тге7к(Тгв7е(а)) = ~ (Тгв!е(а))е' = $ 3. Следы, нормы н базисы 77 ы — ~ /а-~ аоа "1 ! а 1 = ~„'~~~ао/ ~ = Е Ха4+'= о=о ,/=о о=о /=о гла — 1 ао' = — Тге/к (а). а=о Другая интересная функция из конечного поля в его подполе получается, если рассматривать произведения элементов, сопряженных с некоторым элементом поля относительно данного подполя.
2.27. Определение. Для а Е Р = Ко и К = Ко определим норму г)р/к (а) элемента а над полем К равенством Мр/к(а) =. а ао ао ° ....ао = а( ')~/<о и. Сравнивая в равенстве (2.1) постоянные члены, получим выражение нормы Хр/к (а) через свободный член характеристического многочлена элемента а над полем К: (2.3) Ыр/к (а) = ( — !) ао.
В частности, получаем, что норма 1чр/к (а) всегда является эле- ментом поля К. 2.28. Теорема. Пусть К = Го и !о = Ко . Тогда ФУнккил нормы Хр/к обладает следующими свойствами: (1) Хр/к (а))) = Хр/к (а) Хр/к (!)) для всех а, р Е Р; (й) Хр/к отображает г на К и Ра на Ко; (ш) г!р/к (а) = а для всех а Е К; (!т) Ир/к (ао) = )'!р/к (а) длл всех а ~ с. Доказательство. Свойство (1) вытекает непосредственно нз определения нормы. (й) Мы уже отмечали, что функция Хр/к отображает г в К, Поскольку Хр/к (а) == О в том и только том случае, если а = О, то Хрук отображает г"* в К*. Свойство (1) означает, что отображение Ир/к является гомоморфизмом мультипликативной группы с' в мультипликативную группу К". Так как элементами ядра гомоморфизма Хр/и являются корни многочлена х(о 'у/<~ н— — 1 Е К !х), принадлежащие полю Р, и только они, то порядок д этого ядра удовлетворяет неравенству с( ~ (д'" — 1)/(д — 1).
Согласно теореме 1.23, образ отображения Хр/к имеет порядок (Ч вЂ” !)/с( ~ д — 1. Значит, Хр/к отображает га на К* и, следовательно, Р на К. (ш) Это свойство сразу вытекает из определения нормы и того факта, что все элементы, сопряженные с а Е К относительно поля К, равны а. тв Гл. 2. Строение конечных полей (!ч) Учитывая, что )ч(рГк (а) ~ К для любого а Е Р, и прн- менЯЯ (!) и леммУ 2.3, полУчим, что 1чрГк (а») = ХрГк (а)» =, = хрГк (а), и это доказывает (!ч).
Ц~ 2.29. Теорема (транзитивность нормы). Пусть К вЂ” конечное. поле, Р— конечное расширение поля К и Š— конечное расширение" поля Р. Тогда для всех а Е Е )4еГк (а) 1 (р(к (Р(еГр (а)). Доказательство. В обозначениях теоремы 2.26 для а Е Е' получаем гчрГк ()чеГр(а)) = ирГк (а(»"" — ')Г(»" — ')) = = (а(»'"н-11!(»"'-1))(»"-~)ГИ-~ > = = а(» "-1)Г<» "= )чеГк(а). (:)' Если (а„..., ам) — базис конечного поля Р над некоторым подполем К, то возникает вопрос о вычислении коэффициентов с» (а) Е К, 1 ~ Г < т, в однозначном представлении а=с,(а)а,+...+с (а)а,„ (2.4)' элемента а Е Р. Заметим, что сГ.
'а н-нсГ (а) есть линейное отобра. жение из Р в К, и потому, согласно теореме 2.24, существуе' элемент рГ Е Р„такой, что сГ (а) =- тгрГк (()Га) для всех а Е Р. Полагая а = аь 1 ~ ( ~ т, мы видим, что след ТгрГк (р(а»)';, равен О при( Ф Г и 1 при! = Г.
Кроме того, (()„..., ()м) — тож4! базис Р над К, так как если Ыф+... +»( () =О при 4~К, 1~(( т, то, умножая на фиксированное а~ и применяя функцию след ТгрГк, получаем, что А = О. 2.30. Определение. Пусть К вЂ” конечное поле и Р— его ко!' нечное расширение. Тогда два базиса (а„..., а ) и (рм ..., р поля Р над К называются дуальными, если для 1 ~ (, Г ~ Г ( О при ТгрГк(аД) = ~ ~ 1 при Выше было показано, что для любого базиса (а„..., ан» поля Р над К существует некоторый дуальный базис (()„..., (3н»)' В действительности дуальный базис для базиса (а„..., а ' определяется однозначно, так как из его определения видно, ч коэффициенты сГ(а), 1 ~ / ~ т, в (2.4) для всех а Е Р задаютс равенством сГ (а) = ТгрГк (р(а), и по теореме 2.24 элемент ()Г ~ однозначно определяется линейным отображением сл й 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
