Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Поскольку число а' — 1 ' делит как в" — 1, так и в' — 1, то оно делит также и ф — 1, Но ', ях — 1 < д',— 1, а значит, г = О. Отсюда получаем, что число г делит и. Рассмотрим теперь уравнение классов сопряженности для'„ группы Рн (см. теорему 1.27). Центром 0* является группа л"''нг 4 6. Теорема Веадероераа 93 порядка д — 1. Если а Е Р«, то й1; — нормализатор элемента а в группе Р".
Поэтому любой класс сопряженности группы Р*, содержащий более одного элемента, состоит из (д« вЂ” 1)/(д' — 1) элементов, где т — некоторый собственный делитель числа п, 1 ( г < и. Значит, уравнение классов сопряженности имеет вид « д — 1=4 — 1+~„'', (2.?) , о" — ! где г„..., га — собственные делители числа и (не обязательно различные), причем 1 ~ г~ ( и, 1 ~ 1 < й.
Рассмотрим л-круговой многочлен !',!„над полем рациональных чисел. В силу теоремы 2.45 (!!) Я„(д) — целое число. Согласно лемме 2.50, число 9„(д) делит (д« вЂ” !)!(д' — 1) при любом 1, ! ( ! ~ й.' Поэтому из (2.7) получаем, что число ()„(д) делит 4 — !. Однако это приводит к противоречию. Действительно, по определению 9„(х) = Ц (х — ь'), иод !«, «>=~ где комплексное число ~ является первообразным корнем п-й степени из единицы над полем С! рациональных чисел.
Поэтому, переходя к модулю комплексного числа Я„(д), получаем « « 1(~.М! = П !Ч вЂ” Р! ) П (4- 1) Ч вЂ” 1 нод <м «!=~ нод <«, «! =-1 так как и ) 1 и д ~ 2. Это неравенство несовместимо с утвержде- нием, что !'„1„(д) делит д — !. Полученное противоречие означает, что и = 1, т. е. Р =- У, что и доказывает теорему. и Прежде чем приступить ко второму доказательству теоремы Веддерберна, установим несколько вспомогательных результатов. Пусть Р— конечное тело с центром Л, и пусть г' — максимальное подполе тела Р, т. е.
г" — такое подполе тела Р, что единственным подполем этого тела, содержащим г", является само поле г. Тогда г является расширением поля 2. Действительно, если бы существо- вал элемент г ~ Л, г 4й г, то, присоединяя г к г, мы получили бы подполе тела Р, содержащее г в качестве собственного подполя, что противоречит максимальности г. Согласно теореме 2.10, г =- х ($), где ч Е г'« — корень некоторого нормированного не- приводимого многочлена г Е х (х). Если рассматривать тело Р как векторное пространство над полем г", то для каждого фиксированного элемента а Е Р равен- ство Т, (4 = На для любого Н Е Р Гл. 2. Строение конечных полей определяет некоторый линейный оператор Т, в этом векторном пространстве.
Рассмотрим теперь линейный оператор Ть Если й— какой-нибудь собственный вектор этого оператора, то для некоторого Х Е Р* (соответствующего собственного значения) будем иметь Т» (й) = ай = М, или дай ' = Х. Отсюда вытекает, что. йр*й-' = Ре, т, е. элемент И принадлежит нормализатору )ч' (Ре) группы Р" в группе й*. Обратно, если й ~ Ф (Р*), то й$й ' = к для некоторого Х Е Р*, а это означает, что й — собственный вектор линейного оператора Ть Таким образом, мы доказали следующий результат. 2.56. Лемма. Элемент й ~ х)е является собственным вектором линейного оператора Тх в том и только том случае, когда он принадлежит нормализатору М (Р*) группы Р' в группе Йе.
Если Х вЂ” собственное значение, соответствующее собствен-; ному вектору й линейного оператора Т~, т. е. если йй = Ы, то О = й1 (и) = 7 (Х) й. Это означает, что Х должно быть корнем многочлена 7. Если дев другой собственный вектор, соответствующий тому же собственному значению Х, то й,й 1)ййе' = Х, так что элемент Ь = йф '' коммутирует с Х, а следовательно, и с каждым элементом поля. Р = 2 (Х). Если через Р обозначить множество значений много-'. членов из Р (х) при х = Ь, то легко проверить, что Р образует конечное целостное кольцо, а значит (ввиду теоремы 1.31), Р—: конечное поле. Но поскольку Р содержит Р, то ввиду максималь-:.
ности Р имеем Р = Р. В частности, получим, что Ь Е Р, а так, как йе = Ы, то заключаем, что собственному значению 1. не мо. жет соответствовать двух и более линейно независимых собствеиг' ных векторов. Теперь нам понадобится следующий результат ив;, линейной алгебры. 2.57, Лемма. Пусть Т вЂ” линейный оператор в конечномеЯ' ном векторном пространстве У над полем К. Для того чт пространство У имело базис, состоящий из собственных некто оператора Т, необходимо и достаточно, чтобы минимальн многочлен оператора Т разлагался в поле К в произведение рвали" ных нормированных линейных сомножителей.
Л~ Так как 7 ($) = О, то многочлен 7 аннулирует оператор Т", Кроме того, ввиду теоремы 2.14 7 разлагается в поле Р в произв '. дение различных нормированных линейных сомножителей. М нимальный многочлен оператора Тй делит ~, а следователь тоже разлагаегся в Р в произведение различных нормирован линейных сомножителей. Поэтому по лемме 2.57 векторное п странство Р над Р имеет базис, состоящий из собственных ве ров оператора Ть Но выше было показано, что каждому собств 4 6.
Теорема Веахерберна а~ийа7'=" П(5 — 5») л» ' =П (а»5а ' — АЖ ')= »=1 ! т = П (5! — 5») = О. — прим. тареа. » ! '1 Тах как '=- Ц (5! — $е») »=! ному значению этого оператора может отвечать лишь одномерное собственное подпространство.
Следовательно, размерность л! векторного пространства Р над Е равна числу различных собственных значений оператора Ть Пусть $ = $„з„,, $ — различные собственные значения линейного оператора Ть а 1 = д„ »»е, „., »1 — соответствующие им собственные векторы, образующие базис векторного пространства Р над Е.
Так как У (Ее) как группа замкнуто относительно умножения, то в силу леммы 2,56 произведение д»д» тоже является собственным вектором оператора Тм соответствующим некоторому собственному значению $ю так что д»с(»Я = зад»г(», а поскольку»Я = $»с(», то отсюда получаем ИД» =- А!А, или ЙД»»(7! = $». Это доказывает, что для любого », 1 а ! ~ »и, отображение, переводящее Ц» в»(Д»ду!, переставляет собственные значения $» между собой.
Если ввести чногочлен а (х) = (х — $!) .„(х — $ ), то сказанное выше означает, что его коэффициенты коммутируют с собственными векторами д», ..., д оператора Тм Так как коэффициенты многочлена а, очевидно, принадлежат полю Е, а значит, коммутируют со всеми элементами этого поля, то они коммутируют также и со всеми элементами Р, поскольку каждый такой элемент может быть представлен в виде линейной комбинации собственных векторов д», ... ..., д с коэффициентами из Е. Следовательно, коэффициенты много- члена а принадлежат центру 2 тела Р.
Но а ($) = О '). Поэтому ввиду леммы 2.12 многочлен» делит д. С другой' стороны, выше было установлено, что каждое собственное значение $! оператора Т! является корнем многочлена Т. Значит, а = ». Тем самым показано, что (Е: 2) = (У ($): 21 = деи Д) = и. Но число и в то же время являетсн размерностью векторного пространства Р над полем Е, поэтому размерность Р над полем 2 равна л!е (теорема !.84).
Поскольку эта размерность не зависит оТ поля Е, мы заключаем, что каждое максимальное подполе тела Р имеет одну и ту же степень над полем 2. Придадим этому результату следующу»о эквивалентную форму: 2.58. Лемма. Все максимальные подпали л»ела Р имеют один и а»оа» же порядок. Второе доказал»ельса»ао теоремы 2.55. Пусть Р— конечное тело, а 2, Е = 2 Д) и Т Е 2 (х) те же, что и раньше. Пусть Е— произвольное максимальное подполе тела Р. Тогда по лемме 2.58 поля Е и Е имеют один и тот же порядок, скажем д. В силу леммы Гл. 2.
Строение конечных полей 2.4 как Е, так и Р являются полями разложения многочлена хе — ' над Л. На основании теоремы ! .91 существует изоморфизм поля на Е, оставляющий на месте элементы из Л. При этом изоморфизм образом элемента $ является некоторый элемент т] Е Е', являюл щийся корнем многочлена ~ в поле Е, так что Е = Я (ч!).
Рассмо трим теперь линейный оператор Тч в векторном пространстве над Р. Так как ~ (т!) = О, то многочлен г аннулирует оператор Т~ Но поскольку ~ разлагается в поле Р на линейные сомножител " существует такой корень Х Е Р многочлена 1, который явля собственным значением оператора Тч. Для соответствующего собственного вектора е[ ~ В мы получим тогда пч =- Ы. Отсю ввиду того, что Р =- 3 (Х), получаем, что Е* =- Н 1Р*п'. Таким разом, Е* является сопряженной с Р' подгруппой группы ьг, Для произвольного элемента с Е 0е множество значеи многочленов из Я [х] при х = с образует целостное кольцо, к торое ввиду его конечности является полем (теорема 1.31). П тому каждый элемент группы ]9е содержится в некотором подпо тела О, а значит, и в некотором максимальном подполе тела Выше мы доказали, что каждый элемент группы ]9е принадл некоторой сопряженной с Р" подгруппе.
Число различных сопр ' женных с Р* подгрупп группы О" равно индексу нормализа ра У (Р*) в группе ]9е (теорема 1.25), а так как Р* ~ Ф (Ре то оно не превосходит числа [Р* Ц Р' [. Поскольку каждая пряженная с Р* подгруппа группы Йе содержит единицу тела то объединение всех сопряженных с Р" подгрупп содержит более элементов. Но за исключением случая Е!" = Ре это число мен [О* [. Значит, В =- Р, т. е. тело В является полем. Комментарии $ 1. Этой главой начинается собственно теория конечиыв полей. Большинство руководств по абстрактной алгебре пос ' щают конечным полям лишь несколько страниц. Наиболее ширные из таких разделов можно найти в книгах А!Ьег1 [3, ' Вег!ейашр [4], В!г]еЛоИ, Ваг1ее [1], Сагш!сЬае! [4], Рогпйо .
НоЬп [1], Негз1е1п [4], [.йпеЬпгя [2], йебе! [1О), [11] и ч Апппоп, Тгопб!е [1]. Общая теория полей подробно изложен' в книгах Вгочй]п [2], ЛасоЬзоп [2], Хада!а [2] и Ж!п1ег [1]: О конечных кольцах см. Меропа!д [1!. Понятие конечного поля в его общем значении (т, е. ког имеются в виду не только простые поля ]1'р) впервые появляетс в 1830 г. в статье Галуа (Оа!о1з [1 ]) в связи с решением сравнен Комментарии 97 по модулю р (т. е. уравнений над полем [Гр) в подходящих расши- рениях поля Гр. К этому времени многие свойства простых ко- нечных полей Гг были уже установлены Ферма, Эйлером, Ла- гранжем, Лежандром н Гауссом (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
