Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 24
Текст из файла (страница 24)
К!оЬе (1] и Койегз К. (1]). Второе доказательство принадлежит Тейлору (Тау1ог Р. Е, [1]). Доказательство леммы 2.57 можно найти, например, в книге Но([шап, Кинзе (1, сЛ. 6). Многие доказательства теоремы Веддерберна используют тео- рию групп. Так, доказательство Цассенхауза (УаззепЛапз (2]) опирается на следующую лемму: любая конечная группа, в ко- торой нормализатор каждой абелевой подгруппы совпадает с ее цеитрализатором, является абелевой.
По поводу других теоретико- групповых доказательств см. Вгапе(]з[! ], Касгупзк( [1] и 5соН [1, сЛ. 14]. В книге В!апсЛагд [1, сЛ. 4] дается доказательство, ос- нованное на теории когомологий. В статье Негз1е(п [2) использо- вана комбинация теоретико-кольцевых и теоретико-групповых методов. Доказательство, использующее многочлены над телами, гредложено Артином (Аг1(п [2]). Доказательства теоремы Веддерберна, основанные на теории конечномерных алгебр и на результатах, аналогичных лемме 2.58, можно найти в работах В(апсЛагд (1, сЛ. 3], ВопгЬаЫ (2, сЬ. 'и'П[, '~ 11 [, Ь[апаЛага, Тош(папа (1] и чап с(ег %аегдеп [3, сЛ. !4!. !(ятересный вариант доказательства приводится в статье 3о(у [5], гле в решающем месте использована теорема Шевалле об уравне- ниях над конечными полями (см.
следствие 6.6). Другие доказательства и комментарии к истории теоремы Беддерберна можно найти в работах Аг1(п [4], Нега(е!п (3, сЛ. 3], [4] и Меде! [1О, сЬ. 8]. Известным обобщением теоремы Веддерберна является сле- дующий результат Джекобсона (см. ЗасоЬзоп [1]): если в кольце )т для каждого элемента а Е ]г найдется натуральное число п (а) > 1, такое, что аа <е> =- а, то ]х является полем. Доказательство теоремы Джекобсона имеется также в работах Нега(е1п [1 ), (2[, [3, сЛ.
3], [4), 1.аПеу (1], Ь]ацаЛага, Тош!пара [1], (то- дегз К. [2] и %ашз!еу [1]. В другом направлении теорема Вед- дерберна была обобщена смягчением условия ассоциативности умножения в конечном теле (А1Ьег1 (2], МсСг!шшоп (1]). Харак- тсризация конечных простых полей в классе почти-колец (пеаг- г1пдз) с единицей была дана в работах С1ау, Ма!опе [1] и Мах- зоп [1 ), (Кох (КоЛ [1*]) получил оценки для числа невырождеиных квадратных матриц порядка п над произвольным конечным полем.
В работе Са!тпе1 [1*) рассматриваются алгебраические алгоритмы в конечных полях (типа алгоритмов для разложения многочленов из множители, нахождения корней многочленов и т. п.]. По те- матике второй главы имеются еще следующие работы: Вагйег [1' ], Сойеп (2*], (3" ], [4*], Соррегяп(ЬЬ [1*], СоррегяпВЬ, Ог(!узхо, ВсЛгоерре1 [1* ], бег(Л [!" ], Не(!тап, Кеупег! [1* ], Ка1хе, Йз]каг(е [1а], [2а], Ьешре!, 5егоцзз(, %!побегат( (1и], 1.ешре(, Гл. 2.
Строение конечных полей 104 Зегопзз[, Х!у 11" 1, Мп[()<ора([[(уау [1*1, Мнз)(а[, %111[ап<з [1»1, ' Ре[, Юапд, Опшга !1*1, Хе[1[ег [1*1, Кисловская [1" 1, Курба-' тов 11" 1 и Сейтенов 11*1. — Перев.! Упражнения 2,1 ДОКаЗатЬ, Чта МНОГОЧЛЕН Х'+ 1 НЕПРИВОДИМ НаД ПОЛЕМ Г«, И ПОКат зать непосредственно, что факторкольцо Г«[х[<(ха+ !) состоит из !2! эле-, мента. Доказать также, что многочлен х'+ х+ 4 непрнводим над полем г«,' и показать, что факторкольца Г«[х 1/(ха+ 1) и Ь м [х)<(ха+ х+ 4) изоморфны,.'. 2.2.
Показать, что для каждого конечного паля, кроме Г'„сумма нсех ега элементов равна О. 2.2. Пусть а, Ь вЂ” элементы поля Г „ (л — нечетное число). Показать, чта из равенства а' + аЬ + 6» = 0 вытекает а = Ь =- О. 2.4. Найти все примитивные элементы поля [Г<. 2.5. Найти все примитивные элементы поля г'«. 2.а. Найти все примитивные элементы поля Г».
2.2, Записать все элементы поля хм в виде линейных комбинаций базисных элементов над полем га. Затем найти какой-нибудь примитивный элемент [), поля Гаь и для каждого элемента с< Е г'та найти наименьшее целое неотрицатель- ' ное число л, такое, что а = [)л. 2.2. Если элементы мультипликативной группы [Г' поля г' представлены в виде степеней фиксированного примитивного элемента Ь Е ге, то сложение в поле Еч облегчаетсЯ введением так называемого логаРифма Якоби' ) У. (л),, определяемого равенством 1 + Ь" = Ьс ("! где случай Ь" = †! исключается '). Покааать, что тогда всюду, где й опре-. делен, справедливо рзвенство Ь<л 1 Ьл Ьт+Е (л — ло Построить таблицу логарифмов Якоби для полей й"» и г «. 2.2. Доказать, что любая конечная подгруппа мультипликативной группы г"» произнольного поля Р цикличиа. 2.10. Пусть Р— поле. Доказать, что если его мультипликативная группа г» циклична, то р — конечное поле.
2.11. Пусть Р— конечное поле и Р» — его мультнпликативная группа,„' Доказать, что множество Н () (0) для любой подгруппы П группы Р' будет подполем паля Р в том и только том случае, если порядок группы г"» равен 1 или простому числу вида 2Я вЂ” 1, где р — простое число. 2.12. Показать, что каждый элемент конечного поля г ч характеристики р < имеет в этом поле один и только одни корень р-й степени. 2.13.
Показать, что если Гч — конечное поле нечетной характеристики, то элемент а Е й"' имеет в поле г' квадратаый корень тогда и только тогда,, ч когда а(е — 11<'3 — 1 2.14. Доказать, что для данного натурального числа А элемент а Е г '; является Ь-й степенью некоторого элемента из поля [Гр в том и только том .
случае, если а(ч '1(~ =- 1, где <( = НОД (<) — 1, Ь). <) Некоторые авторы (например, Сопя<ау [!!) называют его логарифмом Зека (Зесй). — Прим. лерга. э) В соответствии с соглашением в подстрочном примечании к примеру 2.52 ' длн такого л, что Ь" = — 1, налагается й (л) = в. — Прим. лерга. Упражнения 166 2.15.
Доказать, что для любого й Е И каждый элемент поля Гч является )ьй степенью некоторога элемента из этого поля в том и только том случае, если !!ОД (д — 1, й) = !. 2.16. Пусть (Гч — конечное поле, й — положительный делитель числа д — ! и а — такой элемент поля Рч, что уравнение хз = и не имеет решений в Рч. Доказать, что эта уравнение ймеет решение в поле Рчм, если число гл делится на й, и что если й — простое число, то выполняется обратное ут' всрждение, 2.17.
Доказать, что для ! Е (Гч (х) верно равенство () (х))з = ! (хе). 2.!8. Показать, что л~обой квадратный многочлен нз Гч(х) разлагается над нолем Рг, на линейные множители. а 2.19. Показать, что при а Е Рч и и Е 24 многочлен хз — х+ пи делится вз хз — х+ а в кольце (Р„(х). 2.20. Найти все автоморфизмы конечного паля. 2.21. Пусть Р— некоторое поле и отображение Ч': Р - Р определяется условием Ч' (а) = а ' при и ~ О и Ч' (а) = О при а = О. Доказать, что Ч' является автоморфнзмом поля Р тогда и только тогда, когда Р состоит не более чем из четырех элементов. 2.22. Доказать, что натуральное число л делит число ф (р" — !), где р— простое число, а ф — функция Эйлера.
(Указание. Воспользоваться следствием '2. 19). 2,23. Пусть Гч — конечное пале характеристики р. Доказать, что много- член ! Е (Рч (х) обладает свойством Р (х) = О в том и только том случае, если ! является р-й степенью некоторого миогочлеиа из (Рч (х). 2.24. Пусть Р— конечное расширение конечного полн К, причем (Р; К) = - т, и пусть ) (х) = х'+ Ь,,х' — ' + " + Ь, Е К (х) — минимальный многочлен элемента сг Е Р над полем К. Доказать, что тг (сг) = — (т)и) ьз ! и (чя (сг) = ( — !)~ ь 2.26. Пусть Р— конечное расширение конечного поля К и гг Е Р.
Пусть, далее, отображение Тл р Е Р ь — мара Р является линейным оператором в поле Р, рзссматрнваемом как векторное пространство над К. Доказать, что характеристический многочлен я (х) элемента а над К совпадает с характеристическим много. женам линейного оператора („т. е, д (х) = бе1 (х! — 7.), где ! — тождественный оператор. 2.26. Рассмотрим ту же ситуацию, чта и в упр. 2.25. Доказать, что Тг (гх) совпадает со следом линейного оператора Е (т. е. с суммой диагональных элементов соответствующей оператору матрицы в произвольном базисе), и (сг) = бе! (Т.). 2.27.
Доказать свойства (!) н (!!) из теоремы 2.23, используя интерпретацию Тгру (а), полученную в упр. 2.26. 2.28. Доказать свойства (!) и (!В) из теоремы 2.28, используя интерпретацшо М„. д (гг), полученную в упр. 2.26. ' г~к 2.26. Пусть Р— конечное расширение конечного поля К характеристики р. рпь Доказать, что для всех гх ~ Р и л Е И имеет место равенство Тг (гхи у = = (Тг .
(а)]я . 2.26. Дать другое доказательства теоремы 2.25, рассматривая поле Р как векторное пространство над полем К и показав, сравнивая размерности, что ЯДРО ЛИНЕйиаГО ОтсбРажЕНИЯ Ттяук СОВПаДаЕт С МНОжЕСтВОМ ЗНаЧЕНИй ЛИНЕЙ. Гл. 2. Строение конечных полей ного оператора (. в векторном пространстве Р над полем К, где (. (()) = Рч— для всех (] р Р. 2.31. Дать другое доказательство необходимости условия в теореме 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
