Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 23
Текст из файла (страница 23)
В той же статье" доказано, что поле Р всегда имеет следоортогональный базис над К т. е. базис (сеь ..., а,„), такой, что Тгггк (се;а1) = 0 для ! чь 7',"' Для случая о =- 2 эти результаты были установлены раньше в статье 1.ешре! [2]. В книге Мас%!1!!атз, 5!оапе [2, сЬ. 4]' показано, что поле Г, имеет автодуальный нормальный базис, если»п нечетно. Для четного т это не всегда верно (см. упр.' 2.41) .
Доказательство леммы 2.34 приводится, например, в книге';: Но!!шап, Кинзе [1, сЬ. 7]; указанное пособие можно рекомендо-','" вать для справок и по другим вопросам линейной алгебры. Тео-',," рема 2.35 является частным случаем общей теоремы о нормаль' ном базисе для конечных расширений Галуа (см.
А!Ьег1 [3, сЬ. 4]„' Вйгдег, Ве!пег [1], Вепг1пя [1], ЗасоЬзоп [2], йене! [10, сЬ. 11),', Жа!егЪопзе [3!). Другое доказательство теоремы 2.35 вместе с фон~' мулой для числа различных нормальных базисов поля г»ы над К~ будет приведено в гл. 3 (см, теорему 3.73 и следующее за ней заме'~ чание).
Теорема о нормальном базисе для конечных полей былй" сформулирована Эйзенштейном (Е!зепз!е!и [6]) и частично докйе,;, вана Шенеманном (БсЬопешапп [4]). Первое полное доказатель', ство ее дал Гензель (Непзе1 [1 ]). См, также Кгазпег [2 [, где даетсй., иной тип доказательства. Таблицы нормальных базисов и дуальй; ных базисов к полиномиальным и нормальным базисам построид' Конвей (Сопч»ау [1 ]) для полей характеристики 2; см. также гл, 1(4[ 8 1 и табл.
В). О приложении теоремы о нормальном базисе к тебе:, рии кодирования см. Саппоп [1]. Мур (Мооге [3 ]) представил определитель из следствия 2.о[я а П[йьр),,п р,л„~ р у е »1=! и-наборам (Ьь ..., Ь ) Е [Г», для которых ненулевой элемент с наибольшим индексом равен 1. См. также лемму 3.51, где е»Г формула доказывается проще. В статье СагН1х [85] доказано и сколько аналогичных равенств для определителей. Прямое док, зательство следствия 2.38, не использующее формулу Му было дано Диксоном (Г1[скзоп [2], [7, раг1 1, сЬ.
4]). Теор 2.39 была в эквивалентной форме доказана Дэвенпортом (Эач рог[ [9]). В этой же статье содержится доказательство теоре,' Комментарии 2,40. Для конечного поля г' достаточно большого порядка этот результат раньше был уже установлен Карлицом (СагИ]х [35)). Ленстра (1.епз1га Н. чЧ.
[1 1) показал, что нормальный базис поля г", состоящий из примитивных элементов, существует над любым подполем этого поля. Если число и в теореме 2.39 является степенью характеристики поля Ге, то утверждение теоремы выполняется при более слабом предйоложенин, а именно что след эле.
мента а над Г отличен от нуля; об этом случае см. также РеНЬ !1], Виге[е [5) и СЛИдз, ОгхесЛ [1], Эффективный алгоритм построения базисных векторов для всех подпространств заданной размерности некоторого векторного пространства над полем гч получен в статье Са!аЬЛ ЖИ [11. Некоторые комбинаторные задачи для векторных пространств над конечным полем Ге были рассмотрены в работах Ваиш, ;4еитч!г1Л [11, Ви [1), Сопз!ап1!п, Соиг1еаи 111, даш!зоп [11, !ее А, [11, ЛиЛ [1) и тЧоИшапп [1]. В статье Вгачч!еу, Напй[пз 1! ) дан перечень базисов векторного пространства, образованного ш и и-матрицами над [[„в соответствии с рангами базисных матриц.
$ 4. Явная формула для кругового многочлена будет указана в теореме 3.27, Результат теоремы 2.47 (1) был установлен впервые Кронекером (Кгопесйег [ ! 1). Другие классические доказательства принадлежат Арндту (Агпб! [1)), Дедекинду (Г!ее[ей!пд [2)) и Лебегу ([.еЬездие [31).
Доказательства этой теоремы можно найти также в книгах [.апд [4, сЛ. 81, ]геде! [!О, сЛ. 81 и чап .!ег %аеге[еп [2, сЛ. 81. Разложение круговых многочленов над простыми полями Гр рассматривалось Гауссом (Паизз 14)), Иенеманном (5сЛопешапп [3)) и Пелле (Ре!!е! 151) еще в Х1Х в. См. об этом также Ва!Иеи [!1, СЛочг!а, Ч!)ауагакЛачап [11, По[ошЬ [7], биегг]ег [11, [-иЬе!зй[ [21, Мс1.а!и, Ег[яаг [1], Кеде! !10, сЛ. 8] и чап с$е Чоогеп-чап Чееп [1). Случай произвольного конечного поля Ге рассмотрен в статье ]гаи[йг 12].
Из теоремы 2.47 (й) и элементарной теории чисел следует, что круговой много- член !',)„неприводим над полем г' тогда и только тогда, когда д— первообразный корень по модулю и и и принимает значении 4, га пли 2г" при простом нечетном числе г и неотрицательном целом числе й. Подробнее о методах отыскания разложений круговых многочленов над конечными полями см. в гл. 4, особенно в примере 4.6. Упражнение 2.57 содержит список дальнейших свойств круговых многочленов. В статьях меев, Тгиопя, МИ!ег 111, [2) развиты эффективные методы вычисления корней некоторой степени из единицы в конечных полях специального вида; см.
также [.!и, Кеес, Тгиопя [11. В работе АИЛаиз, ].еайе [11 дана формула обращения матрицы Вандермонда, элементами которой являются корни из единицы, см. также Кпи1Ь [2, сЛ. 11. 102 Гл. 2. Строение конечных полей й 5. В дополнение к уже рассмотренным методам представле-'. ния конечных полей заметим, что конечные поля можно рассма- ' тривать также как факторкольца кольца целых алгебраических' чисел по простым идеалам, — этой точке зрения придавал особое значение Дедекинд (РедеЫпд [3]); см.
также Витые [71 и %едегн гейег [!4]. Цассенхауз (Еаззепйапз [4!) дал алгоритм построения' конечных расширений поля [[ч, а ]О. П. Васильев в [11 рассма-,', тривает этот вопрос с точки зрения применения ЭВМ; см. также, Сапог [! 1. О представлении элементов конечных полей матрицами',.
см. Всодпаш!6![о [! ]. В этой связи интереснытакжеработы Веаге[:: 1! ], 121, ]3!, 14! и Веагб, МсСоппе! [!1. Некоторые результаты о сопровождающей матрице многочлена, используемой в этом пара-". графе, можно найти в книге НоИшап, Кцпхе [1, сп, 71. В статье Но[т[ег [1 ] поле Кр1 строится на базе простого поля ][н способом, напоминающим построение комплексных чисел на базе' действительных. Дальнейшие представления элементов конечных, полей можно найти в работах Ваг!ее, 5с]!пе!бег [! ], габ!п! 111, Мбпп!д 1! 1, ]х]е![г!гк [! ]. Конечные поля, которые можно рассма-, тривать как подполя факторкольца К/(т), были охарактеризо- ' ваны в статье Хушапп [! ].
В работе ]га[г!ое [!! показано, каке некоторые кольца, аналогичные кольцу многочленов над коль- цом Ж!(гп), можно построить, исходя из конечных полей и колец', многочленов над конечными полями. й 6. В 1905 г. Веддерберн доказал, что каждое конечное тело; является полем. Со времени исходной статьи Веддерберна %ее[-' е дегбпгп 11] было дано много других доказательств этого резуль=' тата, и они допускают разветвленную классификацию в зависи-,' мости от используемого аппарата: теории чисел, теории групп,; линейной алгебры, теории конечномерных алгебр или теории ко,' гомологий. В статье Веддерберна приведено три доказательства; этого результата.
Первое, основанное на линейной алгебре и тео- -; рии минимальных многочленов, однако, как заметил Артии ., (Аг!1п[2]), оказалось ошибочным; см. Н!пх [! 1, где это доказатель',: ство исправляется. Другие два доказательства основаны на сле--"' дующей теоретико-числовой лемме: если и и Ь вЂ” такие целые: числа )2, что каждый простой делитель числа Ь" — ! делит числа„". Ь вЂ” ! при некотором и, ! ~ т < а, то либо и = 2 и Ь + 1 — ее степень двойки, либо п = 6 и Ь =- 2 (см, Хз!дшопду 11], В!г[г- Ьо]1, Чапб!нег ]! 1, а также АгНп ]5]). Диксон в статье ИсЫзоа 18] дал свое доказательство теоремы Веддерберна (используют эту же лемму); при этом он отмечает, что Веддербдрн пришел':.
к своим последним двум доказательствам после того, как позна-:' комился с доказательством Диксона, Первое из приводимых нами доказательств теоремы 2.55 при»„' надлежит Витту (%!!! 1! 1). Оно одно из самых коротких и изящ-~, ных. В последней его части можно избежать использования ком" Комментарии 1ВЗ плексных чисел, воспользовавшись методами. элементарной тео- рии чисел (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
