Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 25
Текст из файла (страница 25)
показав, что если сс, у е г таковы, что тглгх (сс) = О и тгя и (у) = — 1, 1 — ! б] = я+ я" + ... + ач, то элемент !Е: К] й= ~; буу" ' 1=-1 удовлетворяет условию )]ч — й = а. 2.32. Пусть г — конечное расширение поля К = Гч и сс = (]ч — () некоторого (] Е г. Доказать, что равенство я = уч — у выполняется для у К тогда и только тогда, когда р — у ь К. 2.33. Пусть г — конечное расширение поля К = — ]Гч.
Доказать, что а Е г равенство М„гк (я) = ! выполняется в том и только том случае, сс = рч для некоторого 3 Е г'*. чс — ! 2.34. Доказать, что ~~ хч — с = П (х — сс) для всех с Е К = !Гч, ( 1= произведение берется по всем а Е г" = й',„, удовлетворясощнм услов Тгягк (я) .= с. 2.33. Доказать, что для любого и Е Р] имеет место равенство '- — Ц (2'-) ч 2.36. Рассматривая поле 2" м как векторное пространство над полем]Г ч~ доказать, что для каждого линейного оператора й в этом векторном простран существует однозначно определенный льнабор (аэ, сс,, ..., а с) элементов Г чс, который обладает свойством ( (()) = аэ() + Мч+ .. + яа,()ч для всех )] Е Г а ч~ 2.37. Доказать, что если учитывать порядок элементов базиса, то ч различных базисов поля 3' пс как векторного пространства над полем 3'ч ра ', (д — 1) (9 — д) (д — д') " (д — Ч ').
2.38. Доказать, что если (сс„..., я,„) — базис поля г = Г,„как ве ч~ ного пространства над полем К = 2'ч, то Тгг (а!) Ф О хотя бы для одногс(, ! ~(((т. 2.39. Доказать, что существует нормальный базис (я, ач, ..., сс" поля г" = й,„над К .= Кч, для которого Тгяг, (я) = !. ччс 2.40. Пусть К вЂ” конечное поле, и" = К (я) — его простое расширение пенн и н ( Е К (х) — минимальный многочлен элемента я над К, пусть, дал — = рз+ рта+ +(]„сх 6г" (х) и у = К (а). ! (х) ч — ! Доказать, что дуэльным к базису (1, я, ..., я" !) поля г" над К является энс (()зу ', рху ',," рч-су Упражнения 107 2,41.
Показать, что существует автодуальный нормальный базис поля в'ч иад г'„но не существует автодуального нормального базиса поля (гтз цад 9'з (определение автодуального базиса см. в примере 2.3!). 2.42. Построить автодуальный базис поля 2 „ над 5'э (определение автодуального базиса см. в примере 2.31). 2,43.
Доказать, что дуальный базис к нормальному базису поля Ь',„ над (г ч снова является нормальным базисом. 2.44. Пусть Р— расширение конечного поля К с базисом (а, сг ) т над К. Пусть, далее, элементы (1,, ..., ()м О г" таковы, что ()г .=- ~~ Ь!гстг для (=! 1 .'. ! ( т, где Ьг) Е К. Пусть, наконец, В = (Ь|у) — квадратная матрица порядка т. Доказать, что бл(к ((1 и ..., ()„,) = [де! (ВЦт б (аы ..., ст ) 2 45 Пуст~ К = 5" и х =- Ь аь Доказать, что для любого гх с Р имеет ч чш место равенство б~(К(1 " " ) = П (о' — х'') Ожг<!<т — 1 2.46.
Доказать, что длЯ а Е Р=-Ь с т ) 2 и К=9'ч дискРиминант ч~ 5 . (1, и, ..., ссм ) совпадает с дискриминантам характеристического миогопена элемента ст над полем К (см, определение !.92). 2.47. Найти пеРваобРазные коРни 4-й и 8-й степеней из единицы в поле 5'т, 2.48. Найти первообразный корень 9-й степени нз единицы в поле й'г . 2А9.
Пусть [ — корень л-й степени иэ единицы над полем К. Доказать, гго ( О при [~1, ~ и при [=1 2.50. ДлЯ л ~ 2 пУсть ь» ..., ьи — все (не обЯзательно Различные) коРни п.й степени иэ единицы над произвольным полем К. Доказать, что 1!+ +1, =~ (О при й=!,2, ...,л — 1, ~ л при А=О. 2.51. Показать, что К!з"! = К!"! для произвольного поля К и нечетного числа л, 2.52. Пусть К вЂ” произвольное поле. Доказать, что круговое поле К!к! является подполем поля К!"! для каждого положительного делителя Ы числа и 5 (ч.
найти минимальный миогочлен над полем Кы! такого корня из единицы, когорый может служить образующим элементом простого расширения )(пэ! нзл Ки) 2.53. Доказать, что если р — простое число, то р — 1 первообразных кор- ней л-й степени из единицы над полем () рациональных чисел линейно незави. снчы над Я н потому образуют базис поля (егл! над (). 2.54. Пусть К вЂ” произвольное поле и л — натуральное число, большее цтиннпы. доказать, что многочлен х" + х" + ... + х+ ! неприводим нал К, лишь когда и — простое число. 2.55. Найти наименьшее простое число р, такое, что многочлен х'э+ хм+ + х+ 1 неприводнм над полем Гр.
2.58. Найти десять наименьших простых чисел р, таких, что многочлен + хл э+ ...+ х+! неприводим над полем Ь"з. Р ! 2 Гл. 2. Строение конечных полей 2.57. Доказать следующие свойства круговых многочленов над люб полем, для которого они определены; (а) Я««р (х) = 9««(хл)11с««(х), если р — простое число н натуральное число ' не делится на р; (Ь) 1с««р (х) = Юм (хл) для всех натуральных чисел т, кратных просто числу р; т рз — щ (с) !1„, з (х) = Я„, (х /, если р — простое число и т, й с !4; юп (В) 1сзп (к) = гсп ( — х), если л ) 3 — нечетное число; (е) 1Сп (О) = 1, если а -: 2; (!) 1сп (х ) хэ! ! = Яп (х), если и ) 2; 1 О, если и = 1, р, если а — степень простого числа р, (й) Ф (1) = 1, если л имеет по крайней мере два различных прос делителя; О, если п=-2, — 2, если и =- 1, р, если и — удвоенная степень простого числа р, ! в остальных случаях.
2.5В. Дать представление с помощью матриц для элементов поля Г„ испол зуя для этой цели непрнводимый многочлен ха + х + 1 над полем й'з. 2.йй. Пусть ь — примитивный элемент поля г" = т"г«, такой, что ь' + ь з + 1= О, Для й «О запишем ь«' = ~~ аз!ьг, где оа! Е Га, н пусть мз !=о = (ш,~ ) — квадратная матрица 4-го порядка с элементами т,~ = аз+« Показать, что !5 матриц Мю О < й <!4, и нулевая матрица 4-го порядка зуют поле (относительно операций сложения и умножения матриц над полем которое изоморфно г".
Доказать, что для О < й < 14 след Тг (~~) равен сл матрицы Мь и совпадает с коэффициентом алю Глава 3 Многочлены над конечными полями Теория многочленов над конечными полями важна как для исследования алгебраической структуры конечных полей, так и для многочисленных приложений. При этом особую роль играют неприводимые многочлены — простые элементы кольца многочленов над конечным полем.
Они необходимы для построеипя самогб конечного поля и для проведения вычислений с элементами этого поля. В первом параграфе вводится понятие порядка многочлена. Важным фактом является связь между минимальными многочленами примитивных элементов конечного поля (так называемыми примитивными многочленами) и многочленами максимального возможного для данной степени порядка, В 2 2 представлены результаты о неприводимых многочленах, не рассмотренные в предыдущих главах.
Третий параграф посвящен конструктивным аспектам неприводимости, а также вопросу о нахождении минимального многочлена элемента из некоторого расширения поля. В последних двух параграфах рассматриваются некоторые специальные классы многочленов. Линеаризованный многочлен характеризуется тем, что степень каждого его члена является некоторой степенью характеристики поля. Теория таких многочлснов, интересная сама по себе, позволяет к тому же дать новое доказательство теоремы о нормальном базисе.
Двучлены (биномы) и трехчлены, т. е. двучленные и трехчленные многочлены образуют другой класс, для которого тоже можно установить ряд особых свойств, представляющих значительный интерес. Следует напомнить, что в предыдущей главе было рассмотрено еще одно полезное семейство многочленов — а именно круговые многочлсны (см. гл. 2, 2 4). Некоторые дополнительные факты об этих мпогочленах приводятся далее в 5 2.
а 1. Порядки миогочленов и примитивные многочлены ~' каждого ненулевого многочлена ~ над конечным полем кроме его степени г(еп (~) имеется еще одна важная целочисленная хаРактеристика — его порядок. Определение порядка многочлена основывается на следующем факте. 11О Гл. 3. Многочлены над коночными полями 3.1. Лемма. Если 1* Е Еч (х) — многочлен степени т ~ удовлетворяющий условию ~ (0) Ф О, то существует натур ное число е ~ д — 1, для которого двучлен х' — 1 делится многочлен 1 (х), Доказательство. В факторкольце Еч (х),'(1) содержится д'" — ' ненулевых элементов (т.
е. классов вычетов по модулю идеала (ф Поскольку каждый из д'" классов вычетов лч + ()), 1 =- О, 1, — 1, является ненулевым элементом этого фактор кольц то должны существовать такие целые числа г и з, 0 ~ г ( з ~ дм — 1 что х': — х' (пюд (1(х))). А поскольку миогочлен взаимно прост с 1(х), то х'-': — 1 (шод (1(х))). Это означа что многочлен х* — ' — 1 делится иа ) (х), где 0 < з — г<о'" — 1. Так как многочлеи х — ! делится на любой ненулевой постоя иый многочлен, то в следующее определение можно включ и постоянные многочлены. 3.2. Определение.
Пусть ~ Е Еч 1х) — ненулевой мно член, Если г (0) ~ О, то наименьшее натуральное число е, дл' которого многочлен ~ (х) делит х' — 1, называется поряд многочлена ! (х) и обозначается огд Щ = Огб (~ (х)). Если ) (О) = О, то многочлен 1 (х) однозначно представим в виде ~ (х); = х"д'(х), где й ~ !г), д Е Кч (х) и у(0) Ф О, и в этом случ порядок огд (~) многочлена г определяется как огд (у). Порядок многочлена ~ иногда называют также периодом и экспонентой этого миогочлена. Порядок неприводимого мно члена 1 допускает также следующую характеризацию.
3.3. Теорема. Пусть !' Е К (х) — неприводимый много степени т, удовлетворяющий условию 1" (О) ~ О, Порядок эт многочлена совпадает с порядком любого корня этого многочл в мультипликативной группе Е" поля г „. Доказап1ельство. На основании следствия 2.!5 Кч явля полем разложения многочлеиа ) иад полем Еч. Все корни мно члена ~ имеют по теореме 2.18 один и тот же порядок в группе К'"' Пусть я 1: К' — какой-нибудь корень многочлена ~. Тогда лемме 2.12 равенство а' = 1 выполняется в том и только случае, если многочлен г (х) делит х' — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
