Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Заметим, что ~~~~сит у Е [г;» является элементом какого-нибудь собственного подпола [[ г полл Кч» в том и только том слУчае, если Тч = 7, Гл. 3 Многочлени ннл конечннмн нолямн т. е. если порядок элемента у делит число дл — 1. Поэтому поря док т элемента а из 5 должен быть таким, чтобы и было наименьгиим натуральным числом, таким, что д" .—.=: 1 (!по!1 т), т. е.
чтобы и было показателем, которому принадлежит д по модулю т. Для положительного делителя т числа г)' — 1 с таким свойством пусть 5 будет множеством элементов порядка т из 5. Тогда 5 является объединением ггепересекающггхся подмножеств 5, так что можно ° написать ! (о, и; х) == П П (х -- а). теса Множество 5 состоит из всех элементов группы!К,"л, нмеюгцих порядок т.
Другими словами, 5 — множество первообразных ' корней т-й степени из единицы над Гч. Тогда из определения круговых многочленов (см. определение 2.44) следует, что П (х -- а) — Я (х), ос з!н и тем самым формула (3.8) установлена, 3.32. Пример. Найдем все (нормированные) неприводнмые мно-, гочлены степени 4 нз кольца Ге (х). Из равенства (3.8) следует, что г' (2, 4; х) =- г',гг (х) гггн (х). на основании теоРемы 2.47 (й) ' круговой многочлен гго (х) — — х' -ь х' Р х'+ х + 1 неприводим.г в Г, (х). По той же теореме круговой многочлен !',ггн (х) разла-.' гается в произведение двух непрнводимых многочленов из 1-'е (х) ' степени 4.
Поскольку гге (х + 1) = х'+ х'+ 1 — неприводимый . многочлен из Ге (х), этот многочлен должен делить Щг! (х), так' что Я!е (х) =- ! + "+ х'+ == (х' + х' + 1) (х' + х -1- 1). Поэтому неприводимыми многочленами степени 4 из Ке (х! яв-' ляются х'+ х'+ х'+ х+ 1, х' и х'-г- 1 и х'+ х+ 1 и только они. П Неприводимые многочлены часто возникают как минимальные' многочлены элементов какого-нибудь рагнпирения поля.
Мини '. мальные многочлены были введены определением 1.81, а их основ-. ные свойства были установлены теоремой !.82. Теперь примени-', тельно к конечным полям мы отметим наиболее полезные факты о минимальных многочленах. 3.33. Теорема. Пусть а — некоторый алеменпг из расгиирения 'г'ч~ поля Кч, и пусть д — степень глелгенпга а над Гч, а д ~, (- 'гч (х) — минимальный' многочлен элемента а над К'„. Тогда' (г) Многочлен д неприеодим над 7ч, и его степень г( делил!'' число пг. 5 3. Построение ненрииодииых иногочленои 125 (й) Многочлен 1 ~ Га [х] удовлетворяет условию (" (а) = О тогда и только тогда, когда многочлен у делит 1.
(й!) Если ~ — нормированный неприводимый многочлен из (! а (х], такой, что ! (а) = О, то ) =- д. (!и) д (х) делит многочлены хаа — х и ха — х. (и) Корнями многочлена у (х) являются элементы а, аа, , аа~ ', причем д (х) — минимальный многочлен над Га каждого из этих элементов. (и!) Если а ~ О, то порядок многочлена д равен порядку элемента а в мультипликативной группе (('; поля Г а"' (т й) у является примитивным многочленом над полем Г тогда и только тогда, когда порядок элемента сс в группе а ровен ув — 1.
Доказательство. (1) Первая часть вытекает из теоремы 1,82 (1), а вторая — из теоремы 1.86. (й) Это утверждение следует из теоремы 1.82 (й). (й!) Это утверждение сразу вытекает из (й). (!и) Это утверждение следует из (1) и леммы 2.13. (и) Первая часть утверждения вытекает из (!) и теоремы 2,14, а вторая — из (ш), (и!) Так как сс Е ((',*л, а К'л — подгруппа группы Г;, то утверждение 'вытекает из теоремы 3.3. (чй) Если д — примитивный элемент над Га, то огд (у) = ол — 1, так что порядок элемента сс в группе Г'„равен оа — 1 в силу (и!). Обратно, если а — элемент порядка уа — 1 в группе !Т", а значит, и в г*а, то а — примитивный элемент поля Г л, а ' а а следовательно, д — примитивный многочлен над Га согласно определению 3.15.
(:] ф 3, Построение иеприводимых миогочлеиов Сначала мы опишем общий принцип получения новых непринодимых многочленов на основе известных. Этот метод опирается на один вспомогательный теоретико-числовой результат, Напомним, что если п — натуральное число и Ь вЂ” целое взаимно простое с и число, то наименьшее натуральное число А, такое, что Ь' = — 1 (глод и), называется показателем, которому принадлежит число Ь по модулю и. Заметим, что этот показатель делит любое другое натуРальное число Ь, такое, что Ь" == 1 (гпод и).
3.34. Лемма. Пусть э )~ 2 и е )~ 2 — взаимно простыг целые числа, и пусть т — показатель, которому принадлежит число ь Гл. 3. Мно«очлеоы чад ко~еччмми полями по м«>дулю е. Пусть, далее, 1 дь 2 — целое число, простые делители кото>рого делят е, но не делят (ь — 1),'е. Пусть, наконец, а'" = = 1 (апой 4), когда 1 кратно чеп>мрем. Тогда показатель, которому! г>ринадлсжит число а по модулю е1„равен тб Доказательство. Применим индукцию по числу простых дели- ' телей числа /, считая каждый делитель с его кратностью.
Сначала( пусть /будет простым числом. Полагая д =- (ь — 1),'е, получим? з"' — 1 1- де, так что Б" > = (1 —, де)> =- =- 1+ ~ ) де -1- ~, )дэее -т- Ь ~ ) ач 'е' ' ',-д»е'. В последнем выражении каждый член, кроме первого и послед- ', него, делится па е/ в силу свойства бнпомиальных коэффициентов,,'~ указанного в доказательстве теоремы 1.46. Но н последний член ': тоже дели~си на е/, так как / делит е.
Поэтому а"" — 1 (>под е/),: и, значит, показатель й, которому принадлежит число а по мо-,,1 дулю е/, делит тб По определению показателя /» з' =- 1 (пвд е1)„ так что зч —.= 1 (пюс1 е), а отсюда по определению числа т полу- .' чаем, что lг делится на т. Поскольку 1 — простое число, делящее е, то число й может быть равно лишь т или тй Если й =- т, то а: — 1 (пюд е/), откуда у" — 1:=- де:=- 0 (вод е(), и, следовательно, 1 должно делить д, что невозможно. Значит, остается единственная возможность й — тй Теперь предположим, что число / имеет по крайней мере два простых делители, и запишем 1=- г/о, где г — — простой дели~ель числа й По доказанному выше показатель, которому принадлежит > число а гю модулю ег, равен тг.
Если мы докажем, что каждый': простой делитель числа /о делит ег, по не делит до =: (ь ' — 1)/ег, то из предположения индукции, примененного к /о, получим, что показат~л~, ко~оРо~у ~рииаД~Еж~т ЧИСЛ~ Е По молулю СГ/ь == Е1, равен»п»1, =- т1. Пусть г„— простой делитель числа 1,. По-,т скольку каждый простой делитель числа /делит е, то, очевидно,,' г„делит е». Снова запишем д =: — (ь — 1),'е. Имеем ь" — 1 = = = с (з'" — 1), где с =- а"' и — '> Е ...
+ з"' + 1, так что д, — с (ь — 1)/ег — сдlг. Далее, так как а -:-. 1 (вод е) и г делит е, то о — ! з'" —.. 1 (вод г), так что с == ~> е ' —. О (вод «). Таким образом,: ~ =-о с/г — целое число. Поскольку числО»о не делит д, то, чтобы доказать, что г, не делит до = сд!», достаточно показать, что г„не;, делит с/г. Заметим, что а": —: ! (вод г,), так что с =-: г (вод г;),. Если г, чь г, то с/г =- 1 (вод г,), и, значит, г, не делит с!г, Теперь,' пусть г, --- г, Тогда а" =:-' 1 + ог (вод пт) для некоторого 1> Е Ъ $ 3, Построение иенрииоднмых многочленон откуда в"'» = — (1+ Ьг)» == 1+ 1Ь« (шод г') для всех 1) О, и, таким образом, и†! с =— г-(- Ь« ~> !в : г+Ьг (гподг').
»=о Это значит, что — : =1+ Ь (шоб«). с г(« — !) 2 Если г нечетно, то с1« = 1 (шоб «), так что г, =- г не делит с1«. Остается рассмотреть лишь случай г = г = 2. Тогда 1 кратно четырем, н, значит, з = 1 (пкпн 4) по предположению.
Так как в этом случае с = в + 1, то мы получаем с = 2 (шоб 4), а следовательно, с!г = с»2: — 1 (шоб 2). Это вновь означает, что г, пе делит с»г. [:» 3.35. Теорема. Пусть»', (х), ..., »н (х) — все различные нормированные неприводимые мнагочлены из [Еч [х ! степени т и порядка е, и пусть 1) 2 — некоторое целое число, простые делители которого делят е, но не делят (д — 1)1е. Пусть, наконец, д"':— = 1 (шод 4), если 1 кратно четырем. Тогда 1, (х'), ...,»н (х') представляю«а собой все различные нормированные неприводимые многочлены из [Еч [х! степени т1 и порядка е1.
Доказательство. Из условия теоремы следует, что е) 2. В соответствии с теоремой 3.5 нормированный неприводимый многочлен степени т и порядка е ) 2 в кольце Кч [х! существует лишь тогда, когда т является показателем, которому принадлежит число а по модулю е, и в таком случае У = гр (е)»т. По лемме 3.34 показатель, которому принадлежит число а по модулю е1, равен т1, и так как из формулы, указанной в упр. 1.4 (с), вытекает, что <р (е1)1т1 = ср (е)1т, то число нормированных неприводимых многочленов степени т1 и порядка е1 в кольце Кч [х! тоже равно У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
