Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Пусть дан многочлен 1(х)=а,ха+а х" '+ +а «+ао Е гч(х) с а, ~ О. Тогда возвратный (нлн двойственный) к нему многочлен; ~е определяется так: ~" (х) =-ха1 ( — ) = а х"-'-а,хл-'+ -;-п„,х+а„. 4 1. Порядки миогочлеиов и примитиииые миогочлеиы 11о 3.13.
Теорема. Пусть 1" — ненулевой многочлен из !!' (х) и (* — возвратный к нему многочлен. Тогда огб (1*) = огб (1). Доказательство, Сначала рассмотрим случай 1 (0) „-ь О. Тогда утверждение вытекает из того факта, что многочлен ) (х) делит х — 1 в том и только том случае, если многочлен ~' (х) делит х — !. Если же Г' (0) = О, то запишем 1' (х) = хьу (х), где й ~ ~ $Ч, у Е 'го (х) и у (0) чь О. Тогда из ранее доказанного и из определения порядка следует, что огб (1) = огб (д) = огб (у") = огй (Гя), где последнее равенство вытекает нз равенства а" = П Имеется также тесная взаимосвязь между порядками много- членов 1(х) и ! ( — х). Поскольку для поля характеристики 2 имеем 1 ( — х) = 1(х), то достаточно рассмотреть лишь поля нечетной характеристики.
3.14. Теорема. Для нечетного д пусть Г Е Гч(х) — много- член положительной степени, такой, что ~ (0) ~ О, и пусть г и Š— соответственно порядки многочленов 1 (х) и 1( — х). Тогда Е -= е, если е делится на 4, и Е = 2е, если е нечетно. Если же с =- 2й, где й нечетно, то Е = е/2 в случае, когда все неприводимые делители многочлена 1" имеют четный порядок, и Е = е в противном случае. Доказательство. Так как огб (1) = е, то многочлен ! (х) делит х-"' — 1, а значит, многочлен 1 ( — х) делит ( — х)" — 1 = х" — 1. Поэтому число Е делит 2е (согласно лемме 3.6). Аналогично показывается, что число е делит 2Е. Отсюда заключаем, что Е может быть лишь одним из трех чисел: 2е, е или е~2. Если число е делится па 4, то оба числа е и Е четны.
Поскольку 1 (х) делит х' — 1, 1 ( — х) делит ( — х)' — 1 = х' — 1, так что Е делит е. Аналогично показывается, что е делит Е, значит, Е =- е. Если число е нечетно, то мпогочлен 1 ( — х) делит ( — х)' — 1 = — х' — 1, а значит, делит х' + 1. Но тогда ~ ( — х) не может делить х' — 1 и потому выполняется равенство Е = 2е. Остается разобрать случай е = 2й, где й нечетко. Пусть много- член 1' Явлаетса степенью непРиводимого многочлена из Гч (х).
Тогда !'(х) делит произведение (х" — 1) (х" + !), но не делит х" — 1, так как огб (1) = 2й. Поскольку многочлены х" — 1 и х" + 1 взаимно просты, то 1(х) делит х" + 1. Значит, 1( — х) делит многочлен ( — х)" + 1 = — х" + 1, а следовательно, и х" — 1. Зго означает, что Е = е/2. Заметим, что по теореме 3.8 многочлен, "вдающийся степенью неприводимого многочлена, имеет четный "прядок в том и только том случае, если сам непрнводимый много- член имеет четный порядок (напоминаем, что характеристика поля Г предполагается нечетной).
116 Гл. 3. Многочлены нал конечными полями В общем случае пусть многочлен 1 имеет разложение ! = г', ... )' где 1» = й,', Ь» Е И, 1.(1 (6, и дь ..., д» вЂ” Различные непР ' водимые многочлены из К, (х). Поскольку многочлены г„..., попарно взаимно просты, то по теореме 3.9 имеем 26 . = НОК (ог»1 (1,), ..., огб (г»)). Это значит, что многочлены можно так перенумеровать, чтобы огб (1; (х)) == 26; для 1 .( 1-(1 и огб (Г» (х)) = 6; для 1+ 1 ( 1 ( 6, где все числа нечетны и НОК (й,, ..., 6») =- 6.
На основании ранее доказанио,, имеем огб (~» ( — х)) ==- й, для 1 ( ! (1 и огб (1; ( — х)) = 26; 1+ 1.( 1 ( й. Поэтому в силу теоремы 3.9 получаем Е = НОК (й„..., йлз 26,„, ..., 26л), так что Е=й=е)2, если!=6, и Е=26=е, если!( Это доказывает последнюю часть теоремы. Из леммы 3.1 и определения 3.2 вытекает, что порядок мног члена степени т ~ 1 над 1' не превосходит числа д"' — !. Укк ванная граница достигается для важного класса многочлен а именно для примитивных многочленов.
Определение примити ного многочлена опирается на введенное в определении 2.9 понят примитивного элемента. 3.15. Определение. Многочлен 1' ~ Гч (х) степени т '= 1 н „ зывается примитивным многочленом над полем Гч, если он я ляется минимальным многочленом над Гч некоторого прнмити ' ного элемента расширения 1' поля !га. е Таким образом, примитивный многочлен над К степени т это нормированный многочлен, который неприводим над н имеет корень а ~ Гч, который является образующим мульт пликативной группы 1; поля Г „, Примитивные многочле над Кч можно охарактеризовать еще так: 3.16.
Теорема. Мнсгочлен ! Е !г' (х) степени т являе примитивным многочленом над Гч в йюм и только том слу если он — нормированный многочлен, пиисой, что 1 (0) чь 0 огб (1) = 9" — 1, Доказательство. Если à — примитивный многочлен над Е то он — нормированный многочлен, удовлетворяющий услов 1 (0) Ф О, Поскольку ) неприводим над !!'ч, то из теоремы 3. и того факта, что его корнем является йрнмитивный элеме расширения Гч„поля Еч, следует, что ог»1 (1) = д'" — 1. Обратно, из условия ог»1 0') = в" — 1 следует, что т )~ 1» Далее, мы утверждаем, что многочлен 1 неприводим над Г' Допустим, что он приводим над Кч. Тогда либо Г" является с пенью некоторого неприводимого мйогочлена, либо он может б представлен в виде произведения двух взаимно простых мног $1.
Порвана многочленов и примитивные многочлены членов положительной степени. В первом случае пусть Т" = уь„ где многочлен й Е Гч ]х] неприводим над Гч, д (0) Ф 0 и Ь ~ 2. Тогда в силу тебремы 3.8 порядок многочлена ) должен делиться на характеристику поля Кч, но д — 1 не делится на нее, и мы получаем противоречие. Во втором случае пусть 1 = — у,а„где о, я о, — взаимно простые многочлены из Г ]х] положительных степеней т, и т, соответственно. Если е; = огд (у,), 1 = 1„2 то по теореме 3.9 имеем огд (!) ( е,е,.
Кроме того, в силу леммы 3, 1 е, о ' — 1, 1 = 1, 2, так что огд (]) ((ую~ — !) (унь !) (дпь-~нь ! . пщ н вновь приходим к противоречию. Следовательно, многочлен 1 пеприводим над 1'ч, и тогда из теоремы З.З и нормированности 1 мы заключаем, что 1 — пРимитивный многочлен над Гч. П Заметим, что требование 1(0) ~ 0 понадобилось лишь, чтобы исключить случай неприводимого многочлепа 1 (х) = х при д = 2 и п1 = 1. Другая характеризация примитивных многочленов опирается на следующий вспомогательный результат. 3.17. Лемма.
Пусть 1 ~ Г ]х] — многочлен положительной сп!епени, удовлетворяющий условию ) (0) ~ О. Пусть г — наименьшее натуральное число, для которого степень х' переменной х сравнима ло модулю ! (х) с некоторым элементом из поля т. е. х' = =а (той 1(х)), где элемент а ~ Г" однозначно определен. Тогда огд (Т) = йг, где й — порядок элемента а в мультипликативной группе ]]'ч поля гч. Доказательство. Положим е = огд (1).
Так как х' =. : 1 (гпод )' (х)), то мы получаем, что е )~ г. Поэтому можно написать е = вг + 1, где в Е ]й] и 0 ( 1 ( г. Тогда 1 з— э х' = х"+' = а*х' (шой Т(х)), (3.1) так что х':— а-' (апой( (х)), и потому в соответствии с определением числа г получаем, что ! = О. Из сравнения (3,1) тогда видно, что а' = 1 (птод ) (х)), т. е.
а' = 1, и потому э ~» й и е ) йг. С другой стороны, х"': — а" == 1 (гпод 1 (х)), так что йг ) е. Значит, е =- йг. П 3.!8, Теорема. Нормированный многочлен г Е Кч ]х] степени т ',.;- 1 является примитивным многочленом над полем Кч в том и только том случае, если ( — 1)'" 1 (0) — примитивный элемент полЯ 7ч и наименьшим натУРальным числом г, длЯ копгоРого степень х' переменной х сравнима по модулю 1 (х) с некоторым элементом поля !'и, является ы г= д — 1 !!а Гл. 3.
Мяогочлеиы няд кояечнымя полями Если / — примитивный многочлен над Кч, то имеет место срав нне х' = ( — 1) / (О) (гпоо / (х)). Доказательство. Если многочлен / примитивен над Кч, то имеет корень а Е Кч, который является примитивным элемент полн Гч . Вычислив норму Н! я (а) с помощью определени ' Ч Р 2.27 и равенства (2,3) и замечая, что / — характеристическ ' многочлен элемента и над полем Гч, мы приходим к равенству ( — 1)'"/(О) = а(ч — '1/и — '!.
(3.2)', Из него вытекает, что порядок элемента ( — 1) /(О) в группе Щ равен !/ — 1, т. е. ( — 1)'" / (О) — примитивный элемент поля Ц4 Так как / — минимальный многочлен элемента а над полем ~~'„", то из теоремы 1.82 (П) и равенства (3.2) следует, что х(ч ')/1ч '! = ( — 1у" /(0)(щоа/(х)), так что г ( (!/"' — 1)/(о — 1) Но из теоремы 3.16 и леммы 3,17." следует, что о" — 1 = ога (/) (ч (!/ — 1) г, так что г ) (д — 1)/(!/ — 1). Значит, г = (!/'" — 1)/(!/ — 1). Обратно, допустим, что условия теоремы выполнены.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
