Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Поэтому остается показать, что каждый из мйогочленов 7» (х'), 1 (1 ( У, непРиводим в Гч [х! и имеет поРЯ- док е1. Так как корни каждого многочлена 7; (х) являются перво- образными корнями степени е из единицы над ['и (по теореме З.З) то 1» (х) Делит кРУговой многочлен Я, (х) над ~ч, Но тогДа многочлей»» (х') делит Я, (х'), и повторное использование свойства, указанного в упр, 2.57(Ь), приводит к равенству 9, (х') =- 9гп (х). Таким образом, многочлен 1» (х') делит (1„(х).
По теореме 2 47(11) степень каждого неприводимого делителя многочлена »,»ы (х) в 1ч [х! равна показателю, которому принадлежит д по модулю е». Зтот показатель равен т1. Так как многочлен 1» (х') имеет степень т1, то он неприводим в кольце [Еч [х!.
Кроме того, поскольку !» (х') делит (»„(х), то порядок многочлена 7» (х') равен е1. Ы Гл. 3. Мпогочленн н»д конечными полям»н 3.36. Пример. Неприводимыми многочленами степени 4 и по-1 рядка 15 в кольце К, (х! являются х' р х -»- 1 и х'+ х'+ 1, Поэтому по теореме 3.35 пеприводимыми мпогочленами в !»", (х!. степени !2 и порядка 45 являются х" -- х' ! 1 и х" -', х'+ 1. Л иеприводимыми многочленами в г, (х! степени 60 и порядка 225' являются х",'- х" 1 и х" - х'" 4- 1. Неприводимыми много-, членами в гч !х! степени 100 и поРЯдка 375 ЯвлвютсЯ хин + ) — х»» и. 1 п хм» л.. х»» ц.
1 д ч Случай à —. 0 (вод 4) и д'";: 3 (»под 4) не охватывается тео-,:, ремой 3.35. Здесь должно быть о:н 3 (шог( 4) и нечетное т. Ре- 'т! зультат, относящийся к этому случаю, сложнее, чем теорема 3.35. '4 3.37. Теорема. Пусть Г, (х),, 7; (х) — все различные норми-" рованные неприводил»ые многочлены из К„!х ! неч»тной степени т' и порядка е. Пустпь о == 2'и — ! и à —:: 2»о, где а и Ь >~ 2 — целые,, а и, о — нечеп»ные числи и при этом все простые де шмели числа 7:- делят е, но не делят (»)'" — !)!е.
Пусть й — наименьи»ее из чи-: сел а и Ь. Тогда каждый из многочлснов 7» (х') разлагается в произ-" ведение 2' ' нормированных нелгриводимых многочленов у»т (х) из 'Кч !х! степени»п!2' — ь. Указанным»» 2»-и Л' многочленамиу;! (х~' ' исчерпываются все различные нормированные неприводимые мнмоеоа! ч члены из (Рч (х ! степени т»2' — ' и порядка е». ',а Доказательство. Если о ',- 3, то из теоремы 3.35 следует, чта!' 7, (х"), ..., )н (х') — все различные нормированные неприводимыв многочлены из Еч !х! нечетной степени то и порядка ео.
Такии"~~' образом, мы сводим вопрос к рассмотрению лишь одного случаи л( — 2ь Итак, пусть Г == 2ь. Заметим, что здесь точно так же, как и в доказательстве теоремы 3.35, устанавливается, что т — пока.:* ватель, которому принадлежит число д по модулю е, »1! == »в (е)/т '; и каждый многочлен 7» (х') делит Я„»(х). По теореме 2.47 (!1) " круговой многочлен Я„(х) разлагается в произведение различ-: ных нормированных неприводимых миогочленов из К !х! сте.' пени а, где й — показатель, которому принадлежит число по модулю ед Так как цг =-- 1 (шод ег), то»)г: —. 1 (шог( е) и, зна',' чит, т делит д, Рассмотрим сначала случай а г Ь. Тогда»)~ — 1 == (д" — 1) (д'" ц 1), и первый сомножитель делится на е,''В а второй делится на д поскольку из д -= — 1 (шод 2') следуеч! »! ..
— 1 (шод Г), так что д"' ( — !)' -=. — 1 (»под Г). Таки%: образом, р'-"":и 1 (шод ег), поэтому число д может быть равнФ--" ТОЛЬКО т ИЛИ 2т. ЕСЛИ С! — — т, тО О"' Ч ! ((ШОд ЕГ), ОтКуда дм З: : — 1 (шод Г), что невозможно. Таким образом, »(:---. 2т =- т2» ~+'». так как в этом случае я — — Ь. 4 $ 3. Построение ненриводимых миогочленов Теперь рассмотрим случай а < 6.
Индукцией по Ь доказываем, нто для всех Ь Е»1 4м»~ — 1 +»с2а+» (щог( 2а+»+1) где гн — нечетное число. Лля Ь = — 1 получаем д»м (2ац 1)»~и »т л» /2лс 2а+1цгп» ( 1)»т — л 2лапл эз (3.9) лее — 1 + щ2а+~ (що»( 2а+г) где ю = — ит. Если (3.9) выполнено для некоторого Ь ~ 1Ч, -о для некоторого с ~ и", 4»~ 1 + л2а+» ( с2 -~-»+Ь Эго значит, что д"'» + = (1 +»п2а+» + с2а+»+~ )» — 1 1»с2а+»-,'-1 (П106 2а+»+») и, таким образом, доказательство формулы (3.9) завершено. Полагая в (3.9) Ь = Ь вЂ” а + 1, получим, что д"" '+ 1 (щод 2»+'). Кроме того, из д'"— : 1 (пюд е) следует д"'»~ +' =— 1 (щод с) и, значит, д""» н ': — 1(пюд Е), где й = НОК(2»+', е).
Олесь число с четно, поскольку все простые делители числа делят с, однако е чь 0 (щод 4), так как д"' = 1 (пю»1 е) и д' 3 (пюг( 4). Поэтому Ь = е2» = сй и, значит, д"'~ '+' = 1 (щод е1). С другой стороны, полагая в (3.9) Ь = 6 — а, получаем ,» — а ! + щ2» чь! (щоб 2»+') огкуда вытекает, что д"'-' ' чь 1 (пюб с1). Следовательно, мы должны иметь д = т2» — ае~ = л»2» — '+', поскольку в этом случае — а.
Поэтому формула»( =- т2» — "+' =- л»12' —" справедлива н обоих случаях. Так как круговой многочлен Д„ (х) разлагается в произведение Различных нормированных неприводимых многочлеиов из(1'е (х) степени т»2' — ', то и каждый многочлен )з (х') разлагается в произведение таких многочленов. Сравнивая степени, получаем, что число таких сомножителей равно 2' — '. Поскольку каждый из Указанных неприводимых сомножителей дм (х) миогочлена 12 (х') делит я„, (х), то каждый многочлен дц (х) имеет порядок ей Много- члены дц (х) с различными наборами индексов (», 1), ! .<»' < 2» — ', ; /а Ь(, различны, так как в противном случае один такой многочлен, скажем »г (х), делил бы многочлены .1;, (х') и ~;, (х'), Г««.,3.
Многочлепи над кон»зимми полямя где «, ~ «.„п тогда для любого корня )) многочлена х«(х) степень))е: была бы общим корнем мно«очлепов «;, (.х) и ««„(х), что невоз-, можно. По теореме 3.«б число нормированных неприводнмых много. членов степени т«2"-" и порядка е«в кольце Гч (х) равно «с (е«),'т«2'-л -=- 2'=!«р (ернт« -- 2ч-!««(е) и =-- 2"-'У, и, следова-, тельно, многочленами йы (х) псчерпыва«отея все такпс много-( члены, П; Теперь мы покажем, как из данного пепрнводимого много-' ~лен~ порядка с полу"нить все веприн<«димьш многочлены, порядки которых деля~ с. Поено:п,ку в их чис~~ обязательно вайд«*.т ие.
приводимый многочлсп д (х) — х, то мы будем рассматривать, лишь те непрпводимые мцогочлены рд для которых а (О) чь О." Пусть ) — нормированный пеприводимый миогочлен нз )«'ч (х)" степени т и порядка е, такой, что 1 (О) ~ О. Пусть а «- '«чм —., пекоторый корень многочлена «, и для каждого «(- !) йусть а! «- Кч 1х) — минимальный многочлен элемента о«над Пусть 7 --= )««, ..., «„) - — множество на!уралы«ых чисел, такихь« что дли каЭКДОГО «с 6М существует однозначно опр«де«л!.'пнь! индекс «', 1 -,.
«' ..=: и такой, что «: «,«)в («под е) лля иекоторог' целого числа д,ь О. Такое мпожесгво Т можно„например, по,, строить следующим образом, Положим «, == 1, и, когда уж построены «„..., «, „пусть «, будет наименьшим натуральны числом, для которого «; ~ «,««" («под е) при 1 .-. «< !' и все целых Ь .. О. Зт«! процедура закончится через конечное чис шагов. При введенных выше обозначениях получаем следующий о, щий результат. 3.38. Теорема. Многоч««енал!««г««о ..., д«„исчерпыв««ются различные нормированные неправодимые многочлены из Кч (х) ««орядки ко«порых делят число е, а постоянные члены отличи, о«п нд««я.
Доказательс«пво. Каждый многочлен а«, по определению но мирован и непрнводим в кольце «ч )х1 н удовлетворяет услови и«, (О) м О. Кроме того, раз многочлен и«, имеет корень а~«, пор док которого в группе !г,"„, делит порядок элемента а, то из т ремы 3.3 следует, что ог«) (а«,) делит е.
Пустьд — произвольный нормированный пеприводимый мно член из $'ч (х! порядка «1, делящего е, такой, что а (О) =~ О. Ес )) — какой-нибудь корень многочлена а, то из равенства 1)» = следует, что (и == 1, так что () — корень степени е из едини над Гч. Так как а — первообразный корень степени е из единн над Г, то из теоремы 2А2 (1) получаем, что )) = я' для некоторо « ( !).
Тогда из определения множества Т следует, что 4 3. Построение ненриводимых многочленов =- 1сць (спос1 е) при некотором целом с', 1 ~( с' .4 и, и целом Ь )~ О. Поэтому !) = сс' =-(а ')е, так что Р— корень многочлена ае, (согласно теореме 2.!4). А поскольку д — минимальный много- член элемента р над Кч, из теоремы 3.33 (ш) следует, что а = нес, Остается показать, что многочлены асс, 1 < с ~( и, различны.
Допустим, что ус, = д,, при с ~ /. Тогда а с и а 1 — корни многос с члена ус„так что а~э = (а~с)еь для некоторого Ь ) О. Отсюда следует, что 1,: — 1сс)ь (щоб е), но так как, кроме того, =: г,ае (щоб е), то мы получаем противоречие с определением множества Т. П Минимальный многочлен у, элемента а' Е Кчм над Ке обычно вычисляют с помощью характеристического многочлена гс этого элемента надави. Из рассуждения, следующего за определением 2.22, мы знаем, что ~с — — уо где г = т!к и й — степень многочлена йс. Поскольку многочлен у, непрнводим в кольце Кч (х), число Й является показателем, которому принадлежит с) по модулю й = огб (дс); поэтому число й равно порядку элемента а' в группе Г;е„а этот порядок по теореме 1.!5 (11) равен е/ИОД (1, е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
