Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 34
Текст из файла (страница 34)
П Рассмотренный метод отыскания корней аффинного много- члена свидетельствует, в частности, о том, что эти корни образуют в векторном пространстве некоторое оффинное подпространство (или линейное многообразие), т. е. сдвинутое на некоторый вектор подпространство этого векторного пространства. Но это можно получить также и из других соображений вместе с утверждением, касающимся кратности. 3.56. Теорема.
Пусть А (х) — аффинный у-многочлен положивэгльной степени над полем Кч~, и пусть расширение ~Гчэ поля 1„, содержит все корни многочлена А (х). Тогда все корнй много- члена А (х) имеют одну и ту жг кратность, равную единице или некоторой степени числа д. При этом корни многочлена А (х) образуют некоторое аффинное подпространство векторного пространства К, э над полем г Доказательство.
Результат о кратности доказывается так же, кзк и в теореме 3.50. Теперь пусть А (х) = Е (х) — и, где Е (х)— некоторый д-многочлен над К ~ и а ~ 7 ы, и пусть р Е Кчэ— некоторый корень многочлейа А (х). '1огда элемент у ~ Гчэ будет корнем многочлена А (х) в том и только том случае, когда Е (у) = а = Е ((1), т. е. тогда и только тогда, когда Е (у — 1)) = О. Последнее означает, что у Е ~) + У, где У вЂ” подпространстао пространства Кч. над Гч, состоящее из всех корней много- члена Е (х).
Таким образом, корни многочлена А (х) образуют аффинное подпространство векторного пространства Кэ.. () 3.57. Теорема. Пусть Т вЂ” аффинное надпространство поля Гч, рассматриваемого как векторное пространство над полем 'э' ч Тогда для каждого неотрицательного целого числа й многочлен А (х) =- П (х — у)' т5 г являепгся аффинным фмногочленом над Гч Доказательство. Пусть Т = Ч + К где У вЂ” подпространство векторного пространства Кчм и Ч ~ Кэ . Тогда Е (х) = П (х — (1)э вби Гл. 3. Многочлены ннд венечными полнмн — некоторый д-многочлен над 5'чы (согласно теореме 3.52). Далее, А (х) = П (х — у)« =- П (х — ») — 5)" = й (х — ч), 75 г В 5 о и (. (х — ц), как легко видеть, является аффинным д-многочлено ' над' полем К (::) Обычное произведение линеаризованных многочленов не обя', зательно является линеаризованным многочленом.
Однако компо* зиция (., (Е» (х)) двух д-многочленов Ег (х) и Е» (х) над полем Кчщ' снова является д-многочленом. Вместо слова «композиция» буде использовать выражение «символическое произведение». Итак. мы определим символическое умножение равенством 1 (х) Э й (х) =- Е (Е (х)) Если рассматриваются лишь д-многочлены над полем Ц то без труда проверяется, что символическое умножение ком', мутативно, ассоциативно и дистрибутивно (по отношению к обыч,' ному сложению).
На самом деле множество д-многочленов над К' образует целостное кольцо относительно операций символическог умножения и обычного сложения. Но операцию символическог умножения можно связать и с обычной арифметикой многочлено с помощью следующего понятия. 3.58.
Определение. Многочлены 1(х) = ~„ а,х' и Е (х) = ~~ очхчг 1'=0 »=-О над полем Г«называются д-ассоциированными друг с друго При атом ( (х) называется просто д-ассоциированным с Е (х) мног членом, а 1. (х) — линеаризованным д-ассоциированным с многочлеиом. 3.59. Лемма. Пусть д-ассоциированиыми с д-многочлеиам 1-, (х) и Е» (х) над полем К«являются соответственно мног члены (, (х) и (» (х).
Тогда миогочлены ( (х) = (, (х) (» (х) и Е (х) = Е, (х) 8 Ц (х) являются д-ассоциированными друг с друго Доказательство. Равенства ((х) = ~ а;х' = ~; Ь~х' ~; сдх = (, (х) (»(х) г ! » ~ (х) = ~~ а,х' = ~ Ь».~~ сях«1 = ~ Ь, ~ с„х' = Е»(х) Е Ь»(х) 4 4. Лннеарнаованные многочлены 149 нерпы тогда и только тогда, когда в том и другом для каждого ~' а, = ,~ Ь;с,. 0 )+а=~ Если Е, (х) и Е (х) являются о-многочленами над Гч, то будем говорить, что многочлен Е, (х) символически делит Е (х) (или что Е (х) символически делится на Е, (х)), если Е (х) = Е, (х) 8 Еа (х) для некоторого д-многочлена Е, (х) над К .
Из леммы 3.59 тогда сразу вытекает следующий критерий символической делимости. 3.60. Следствие. Пусть у-ассоциированными с д-многочленами Е, (х) и Е (х) над Г являются многочлены (, (х) и У (х) соответялвенно. Тогда многочлен Е, (х) символически делит Е (х) в том и л1олько том случае, если многочлен (, (х) делит У (х). 3.61. Пример, Пусть д-многочлен Е (х) над Гч символически делит многочлен х' — х, где т р- К. Это значит, что существует такой д-многочлен Е, (х) над Гч, что х' — х = Е (х) ® Е, (х) = Е» (х) 8 Е (х) = Е, (Е (х)).
(3.17) Зтот факт можно использовать так. Пусть я — фиксированный элемент из поли Кч . Тогда аффинный многочлен Е (х) — я имеет по крайней мере один корень в поле гч~ в том и только том случае, когда Е, (я) = О, а если Е, (я) = — О, то на самом деле вге корни многочлена Е (х) — я принадлежат полю Кч . Действительно, если р ~ Кч — некоторый корень многочлена Е (х) — я, то Е (р) = — я, и, подставляя р вместо х в (3.1?), получим Е, (я) = — р = О. Обратно, если Е, (я) =- О и у — произвольнын корень многочлена Е (х) — я в некотором расширении поля то Е (у) = я, и, подставляя у вместо х в (3.17), получим »,' — у = Е, (я) = О, так что у Р- Гч . Чтобы найти многочлен Е, (х), сначала находят д-ассоциированный с Е (х) многочлен 1 (х), а затем, полагая 1, (х) = (х" — 1)П (х), переходят к линеаризованпому д-ассоциированному с 1, (х) многочлену Е, (х).
Доказанное предложение в качестве частного случая содержит теорему 2.25, Действительно, если взять в качестве Е (х) многочлен хл — х, то оказывается, что Е, (х) = х + хл + х~ + ." + хо П Замечателен следующий факт: несмотря на серьезное различие между операциями символического и обычного умножения, понятия делимости для линеаризованных многочлеиов, основанные на этих разных операциях, оказываются эквивалентными.
3 62. Теорема. Пусть г)-ассоциированными с г)-многочленами Е» (х) и Е (х) являются многочлены (, (х) и 7 (х) соответственно. Т гда .. едующие своа а ° амнтны: (1) многочлен Ег (х) символически делит Е (х); !50 Гл. 3. Многочлены над конечными полями (й) многочлен 1, (х) делит Е (х) в обычном смысле; (ш) многочлен (, (х) делит с (х). Доказательство. Так как эквивалентность (!) и (ш) была установлена следствием 3.60, то достаточно доказать эквивалентность (!) и (й). Если многочлен Ь, (х) символически делит с.(х), то (.
(х) = Ес (х) Э Еъ (х) == (я (Х) чэ сс-с (х) = Ег (сс-с (х)) для некоторого с)-многочлена с.я (х) над Е», Пусть я С Е (х) = ~ а;х», тогда Е (х) = аес.,(х) ~- а,(., (х)' + + а„1.,(х)' , так что с. (х) делит (. (х) и в обычном смысле. Обратно, допустим, что многочлен с.с (х) делит 1. (х) в обычном смысле. Тогда можн считать многочлен с., (х) ненулевым. Применяя алгоритм деле- ния, запишем с' (х) = я (х) (, (х) + г (х), где дед (г) < дея (сс), переходя к линеаризованным с)-ассоциированным многочлена (обозначаемым соответствующими большими буквами), получи равенство Е (х) =- К (х) 8 Ьс (х) + Я (х), Согласно уже дока занному, Ь, (х) делит символическое произведение К (х) ® с'.с (х в обычном смысле, а следовательно, с.с (х) делит и с» (х) в обычно смысле.
Но так как дея (сг) < с[ея (с.,), то Я (х) должен быть ну", левым многочленом, а это доказывает, что многочлен с с (х) сим;," вол ически делит Е (х). Полученный результат можно использовать для установлени' интересной взаимосвизи между непрнводимыми многочленами, неприводимыми делителими линеаризованных с[-ассоциированн с ними многочленов. 3.63. Теорема. Пусть для неприводимого многочлена Г (х) 'г [х1 линеаризованным у-ассоциированным с ним многочлено являепсся Р (х). Тогда степень каждого неприводимого делите многочлена Р (х)сх в К» [х1 равна порядку многочлена ! (х).
Доказательство. Так как случай Г (0) = 0 тривиален, будем предполагать, что ( (0) ~ О. Положим е = — огд ((), и пуст й (х) ~ Р» [х1 — некоторый неприводимый делитель многочле ' Р (х)сх и сс = деи (Ь). Тогда многочлен Г (х) делит х' — 1, а сл е довательно (ввиду теоремы 3.62), многочлен Р (х) делит х» Значит, и многочлен й (х) делит х' — х, а потому в силу теоре 3.20 число д делит е. С другой стороны, применяя алгоритм деления, можем нап сать х — 1 = ы (х) с (х) + г (х), где д (х), г (х) Е Г» [х1 й 4.
Лннеарнаоааннме многочлены ,1ед (г) < бед (1). Переходя к линеаризованным д-ассоциированным с данными многочленам (обозначаемым большими буквами), получим равенство х' — х = 6(х) ® Р(х) + р (х), и так как й (х) делит оба многочлена х — х и 6 (х) 8 Р (х), О~ то й (х) делит и многочлен )с (х). Если г (х) — ненулевой много- член, то он взаимно прост с( (х) ввиду неприводимости последнего, поэтому (см, теорему 1.55) существуют такие многочлены з (х) и й (х) из Еч !х1, что з (х) г (х) + й (х) 1 (х) = 1, Обращаясь к линеаризованным д-ассоциированным многочлеиам, получим соответствующее равенство 5 (х) 8 я (х) + 1( (х) ф р (х) =- х. Поскольку 6 (х) делит многочлены Я (х) и Р (х), то й (х) должен зслить и многочлен х, что невозможно.
Следовательно, г (х)— улсвой миогочлен, так что многочлен 1 (х) делит ха — 1, и поэтому но лемме 3.6) число е делит о. Итак, мы доказали, что и' = е. Д Будем говорить, что о-многочлен 5 (х) степени, большей 1, иад полем 1'ч символически нгприводим над ге, если в любом его символическом разложении на множители 1. (х) =- Е, (х) 9 Ье (х), где 1., (х) н Аа (х) суть д-многочлены над г ч, по крайней мере один нз сомножителей имеет степень 1. Символически неприводимый миогочлен в обычном смысле всегда приводим, так как любой лииеаризованный многочлен степени, большей 1, имеет нетривиальный сомножитель х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
