Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Построение непринодимых многочленон !37 Сравнение коэффввциентов дает аз + сз — 4(з -~- Ьс( =- 1, с' + Р— Ьз — ас + Ы =- О, Полагая а — с( =- О, получим Ь' =- сз = 1. Беря Ь = с =- 1, легко находим, что элемент а =. О + 95 имеет порядок б. Следовательно, элемент ь =- Ва =-- Оз + 0' имеет порядок 80 н, таким образом, является примитивным элементом поля Гвт. Минимальный многочлен я элемента ~ над Гв равен а (х) === (х — ь) (х — ьз) (х — ьв) (х — ~зт) =- —.— (х — О' — 98) (х — ! + О + 0') (х — Оз + 0') (х— — 1 — 0 +95)= — Х4 + Хз + Хз Х 1 и мы, таким образом, получили примитивный многочлен степени 4 над полем Кз.
П 3.45. Пример. Найдем примитивный многочлен степени б над Поскольку 28 — ! = 9 7, то сначала построим два элемента группы г54 порядков 9 и 7 соответственно. Показатель, которому принадлежит 2 по модулю 9, равен б, так что круговой многочлен !~в (х) = х'+ х'+ ! непрнводим над Кз. Корень О этого много- члена имеет порядок 9 в группе Пв, причем !!'84 = Кз (0). Элемент а ~ Цв порядка 7 удовлетворяет равенству а' = а, так 5 что, записав а =- ~„а494 с коэффициентами а, Е К„О ( ! ( б, 4=5 получаем 5 /5585 а = 2; авО' = ав = ~ ~ а49') = ~~ а4984 = 4=5 .4=5 4=5 =. ав + атйв 1- аиО' + азбв + а,бв + а,О' = = (ав + аз) + азО + а,О' + а,О' + (а, + а,) В' + +(а,+ а,) 05, и сравнение коэффициентов дает а, = О, а, =- а,, а, = а, + а,.
Выбирая а, = а, =- а, = О, а, = аз == а, = 1, получим, что св =- -=- 0 + 0'+ 0' является элементом порядка 7. Таким образом, ь =- аО = 1+ О' является примитивным элементом поля Его степени равны ~з = — ! + 0' ~з = 0' -~- Оз + 04 ~4 = 1 + „ь Оз+ 95 ~5 1 ( О ь 05 ~в 1, 9 ь Вз ! 94 ! 95 При меняя тот же метод, что и в примере 3.42, найдем минимальный многочлен д(х) = х'+ хв + х'+ х + 1 элемента ь над который, таким образом, является примитивным многочленом над и'з степени б. и Если примитивный многочлен д над Кр степени и известен, то все остальные примитивные многочлены над Кр той же степени 138 Гл. 3. Миогочлены наа конечными полями можно получить, рассматривая некоторый корень 8 многочлена ' в поле Гч и находя минимальные многочлены над Кч для вс элементов вида О', где г пробегает все натуральные взаимно п стые с а — 1 числа, не превосходящие а — 1. Вычисление эти ' минимальных многочленов можно осуществить методами, описи ными выше в этом параграфе.
Полезно выяснить, остается ли данный неприводимый над !г многочлен неприводимым и над заданным конечным расширени этого поля !1ч . Следующие результаты относятся к этому во! просу. 3.46. Теорема. Пусть !' — неприводимый многочлен над степени и и к с !)ч'. Тогда в кольце К ь(х) многочлен 7 разлагае на й неприводимых сомножителей одной и той же степени п~ ' где й = НОД (Ф, и). Доказательство. Так как случай 7 (0) =- 0 тривиален, мы м ', жем предположить, что 7 (0) ~ О. Пусть а — неприводимый дел тель многочлена ! из Кчь [х). Если огд (Г) = е, то, согласно т реме З.З, также и огд (а) =- е ввиду того, что корни многочлена ' являются в то же время и корнями !'. По теореме 3.5 показателВ4 которому принадлежит а по модулю е, равен и, и степень мно ' члена а равна показателю, которому принадлежит дь по модулю Степени д1, 1' = О, 1, ..., рассматриваемые по модулю е, образу циклическую группу порядка п.
Таким образом, нз теорем 1.15 (Н) вытекает, что показатель, которому принадлежит по модулю е, равен пlй, а значит, и степень многочлена равна и!а'. 3,47. Следствие. 1!еприводимый над полем Г многочлен с пени и остается неприводимым над расширением Гчь этого пал в том и только том случае, если числа п и й взаимно просты. 4 Доказательство. Это непосредственно вытекает из те1м ремы 3.46. 3.43.
Пример. Будем рассматривать примитивный мно член д (х) = х' + х' + х' + х + 1 над К, из примера 3.45 кв многочлен над полем Км. Тогда в обозначениях теоремы 3. мы имеем и =- 6, й = 4, и, значит, с( =- 2. Поэтому многочлен разлагается в кольце К„(х! на два неприводимых кубическй сомножителя. Примем обозначения из примера 3.45, и пус а, — тот неприводимый сомножитель многочлена д, корнем к рого является ь = — 1 + О'. Другими корнями многочлена должны быть сопряженные с ь относительно Кы элементы и атем = ь'. Так как эти элементы сопряжены с ь также и относ тельно поля !Г4, то многочлен а, фактически принадлежит коль !14 (х!.
Далее, элемент Р =- ьм является первообразным куб 139 4 4. Лииеариаоиаииые миогочлеиы ЧЕСКИМ КОРНЕМ ИЗ ЕдИНИцЫ Над К„таК ЧтО К4 = [О, 1, р, [14). Получаем ( Х ) ( Х е ) ( Х е 4 ) ( Х е 1 4 ) ха + (1 + 14 + 114) хе + Ке + 1 + 144) х + 141 Поскольку ь4 = 1+ О'+ О' и 1."14 =- 1+ Оа, то 1. + [„4+ + Ь14 =- !. Аналогично находим, что Ьа+ Ь" + Ьее = 1. Следовательно, 31(х) = ха + хе + х + р, Деля многочлен 3 на 3„находим второй неприводнмый сомножитель Де многочлена 3 и полУчаем в итоге 3' (Х) =- (Ха + Хе -1- Х + р) (Ха -1- Хе -[- Х -[- [)4) — разложение многочлена д на неприводимые сомножители в К4 [х), а значит, и в Г14 [х[.
Найденные неприводимые сомножители многочлена д являются примитивными многочленами над полем [['„но не над полем Г14. На основании следствия 3.47 многочлен 3 над некоторыми другими расширениями поля Ке (например, над Гае или К144) остается неприводимым. П 9 4. Линеаризованные многочлены Специальный класс многочленов, вводимый в этом параграфе, весьма важен как для теории, так и для приложений. Интересной особенностью этих многочленов является структура множества нх корней, которая облегчает нх нахождение.
В дальнейшем будем понимать под д, как обычно, некоторую степень простого числа. 3.49. Определение. Многочлен вида Ь (х) = ~4 а,хе 1=4 с коэффициентами из некоторого расширения г' поля Ге называетсв 4-многочлгном над Г „. Если число 17 раз и навсегда зафиксировано или ясно из контекста, то 1.
(х) также принято называть линеаризованным много- членом. Этот термин объясняется следующим свойством таких многочлеиов. Если Р— произвольное расширение поля [[' и 1. (х) — линеарнзованный многочлен (т, е, 4-многочлен) над Р „, то 1. ([[+ 7) = 1. ([)) + 7. (у) для любых ~, у ~ Р, (3.11) 7- (ср) = с1. (р) для любых, с Е Кч,рЕ г. (3.!2) Гл. 3. Много»лены над конечными полями Равенство (3,11) вытекает из теоремы 1.46, а (3.12) — из того чт с»! =- с для с ~ 1'» и ! =- О.
Таким образом, если поле г рассм ' тривать как векторное пространство над полем 1'», то линеар ' зованный многочлен Т. (х) индуцирует в этом пространстве н который линейный оператор. Следующий результат характеризует особенность множеств корней линеаризованного многочлена. 3.50. Теорема. Лусть !' (х) — ненулевой у-многочлен над К и пусть расширение К, поля К „содержит все корни этого мно: гочлена. Тогда каждый корень м»ногочлена Т.
(х) имеет одну и ту кратность, равную либо единице, либо некоторой степени числа при этом если поле !! рассматривать как векторное простран ство над полем К», то указанные корни образуют некоторое под„, пространство этого пространства. Доказательство. Из (3.11) и (3.12) следует, что любая линей;, ная комбинация корней многочлена (. (х) с коэффициентами поля т» снова является корнем этого многочлена, так что кори многочлена Ь образуют векторное пространство (подпространст ' пространства !1'»,). Если л Е.(х) = ~~ асх', !=О то 1.' (х) = а„так что многочлен (. (х) имеет при а, ~ О лищ простые корни. Если же а, =- а, = ... = а„, = О, но а» чь при некотором к =- 1, то, поскольку Ь(х) = д а!лл = ~~!а»; х» = ~ ~р!а»! х' ) !=» с=» !=» мы видим, что Е является д»-й степенью некоторого линеаризова!! ' ного многочлена, имеющего простые корни.
В таком случаФ каждый корень многочлена Е (х) имеет кратность о». ( ! Имеет место частичное обращение теоремы 3,50, которое дастся, теоремой 3.52. Оно опирается на следующее свойство определил гелей, обобщающее следствие 2.38. 3.51. Лемма. Пусгпь ~ы ()я, ..., р„— элементы поля !1 Тогда л — 1 ! = !, и и (я,„ — и ,я,), ! ! яи..., »эс!Г» (=-! (3.13~~ $ 4, Линеаризованные иногочлены 141 И" И р~ 0(х) = ь ))'.
в. ' ~'." е" ' ен Разлагая этот определитель по последней строке, получим н — ! Р(х) = О„х" -! х~'„се!хе, !=о где и! ~ К „, О «! ( и — 1. Предположим сначала, что эле- менты р„)1„..., р„линейно независимы над К . Тогда 0 (рй) = — О при 1 .. Ь . и, и так как О (х) является д-многочлеиом над К,„, то все линейные комбинации сйй, + се!)а + ... + с й„где сй Е ! ( А ( и, являются корнями многочлена О (х). Таким образом, 0 (х) имеет !)" различных корней, и мы получаем раз- ложение а о !*! = о„ и ! * - в ..й. ) й .,й с!г й=! (3.!4) Гели же р„р„..., р„линейно зависимы над Кч, то по предполоо жению индукции 0„= О и ~ Ьйбй = О для некоторых Ь„..., Ь„ й —...! из поля Кч, не равных нулю одновременно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
