Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Примения лемму 3.59, сразу получаем, что д-многочлен 1'. (х) символически непРиволим наД 1"ч в том и только том случае, когда о-ассоциированный с ним мйогочлен 1(х) неприводим над К . Каждый о-многочлен ь (х) степени, большей 1, над Гч можно смнволичсски разложить в символическое произведение символически неприводимых многочленов над Кч, причем это разложение по существу однозначно (в том смысле, что все другие такие символические разложении получаются из него перестановкой сомножителей и умножением сомножителей на ненулевые элементы пола Гч). ИспользУЯ соответствие междУ линеаРизованными мяогочленами и многочленами, о-ассоциированными с ними, не*рудио видеть, что символическое разложение д-многочлена ь (х) пад Еч можно получить, найдя сначала каноническое разложение " 'У, )х) д-ассоциированного с ним многочлена 1(х) и затем переходя к соответствующему равенству для линеаризованных Ч ассоциированных многочленов.
152 Гл. 3. Многочлены иал конечными попами 3.64. Пример. Рассмотрим 2-многочлен ). (х) = х" + ха + х'+ х над полем г'е; 2-ассоциированный с ним многочл ! (х) = хч + х' + х + ! имеет следующее каноническое разло ние: ! (х) = (х'+ х + !) (х + !)' в Ка (х!. Поэтому символи ским разложением 2-многочлеиа й (х) на символически непр водимые 2-многочлены над 'Га является т' (х) = (х' + х' + х) 9 (х' + х) 8 (х' -ь х) Для двух и более г)-миогочленов над г"», не равных нулю одн временно, можно определить их наибольший общий силгволи ский делитель как нормированный 4-многочлен над ~г» наивысше степени, который символически делит все эти многочлены. Чтоб сравнить это понятие с понятием обычного наибольшего общег делители этих многочленов, заметим сначала, что корнями на большего общего делителя заданных д-многочленов являют общие корни всех этих многочленов. Поскольку пересечение по ' пространств векторного пространства снова является подпр, страиством, то корни наибольшего общего делителя образу подпространство некоторого расширения Г»м поля Г~» (рассматр ваемого как векторное пространство над полем Г»).
Далее, пр меняя к данным д-многочленам первую часть теоремы 3.50, пол чаем, что все корни наибольшего общего делителя имеют од '„ и ту же кратность, равную либо единице, либо некоторой степе числа д. Поэтому из теоремы 3.52 следует, что наибольший общ делитель данных 4-многочленов сам является а-многочлено Но тогда из теоремы 3.62 вытекает, что наибольший общий дел' тель и наибольший общий символический делитель совпадаю ' Эффективным способом нахождения наибольшего общего (сим лического) делители данных д-многочленов иад г является пер ход к д-ассоциированным с ними многочленам и нахождение наибольшего общего делителя; тогда линеаризоваиный д-ассе циированный с иим многочлен и будет наибольшим общим (си волическим) делителем данных а-многочлеиов.
Согласно теореме 3.50, корни ненулевого д-многочлена над образуют векторное пространство иад !)'». Эти корни облада' еще одним дополнительным свойством: д-е степени этих кори снова являются корнями '), Конечиомерное векторное простр ство М над полем К», содержащееся в некотором расширен полн )Р» и обладающее дополнительным свойством, что а-я пень каждого элемента из М снова принадлежит М, назо д-лгодулелг. На основе этого понятия можно установить следующ критерий. ') Если ь (х) есть»-многочлен нал Е», то Е (х)» =- ь (хв), так что Р— корень )., то Е (Р») == О. — Прим.
перев. $4. Лннеарнзонанные много»лены З.65. Теорема. Нормированный много»лен ) (х) тогда и только тогда является у-многочленом над полем Г», когда все его корни имею~и одну и ту оке кратность, равную единице или некоторой сп1епени числа д, и эти корни образуют у-модуль. Доказательство. Необходимость условия вытекает из теоремы З 50 я сделанных выше замечаний. С другой стороны, из условии теоремы на основании теоремы З.52 следует, что многочлен Е (х) является д-многочленом над некоторым расширением поля Г». Пусть М вЂ” множество корней многочлена 1, (х). Из условия теоремы получаем, что А (х) == П (х — )3)» зЕм для некоторого неотрицательного целого числа )».
Поскольку М является д-модулем, то М =- (р») р Е М). Отсюда получаем 1 (х)» =. П (х» — ()»)» = — П (х» — ~)» = — ( (х»). РЕм РЕм Если л 1 (х) =- ~ а;х», то л П ~ а»х» = 1. (х)» = Е (х") =- ~~ ~а;х» е=-О так что а'; =- а; для 0 < ( ~ п, т. е. а, С- Г». Поэтому Е, (х) является д-многочленом над г». Любой у-многочлен степени а над К», очевидно, символически я»приводим над г . Для д-многочленов степени )д над полем К» понятие д-модуля можно использовать для характеризации символически неприводимых многочленов.
З.66. Теорема. и-много»лен Ь (х) степени >д над полем чгмволически неприводим над К тогда и только тогда, когда он имеет простые корни и эти корни образуют у-модуль М, не содсрлоаи(ий других у-модулей, кроме (0) и самого М. Доказательство. Допустим, что миогочлеи 1 (х) символически пеприводим над К».
Если бы он имел кратные корни, то в соответствии с теоремой 3.65 его можно было бы записать в виде Ь (х) = )-~ (х)', где (., (х) — некоторый д-многочлен над К» степени, большей Е Но тогда Ь (х) = х» Э 1., (х), что противоречит символической неприводимости Ь (х).
Таким образом, ь (х) имеет лишь 154 Гл. 3. Многочлены над конечными полвми простые корни. Пусть теперь У вЂ” некоторый д-модуль, соде, жащийся в М. Тогда из теоремы 3.65 получаем, что Ь, (х) = П (х — р) — некоторый д-многочлен над ))'ч. Поскольку мн; аЕм гочлен Ц (х) делит Е (х) в обычном смысле, то, согласно теоре 3.62, он и символически делит Ь (х). Но так как многочлен Е ( символически неприводим над )г'ч, то степень бед (Ьв) должн быть равна либо 1, либо бед (Е), а это означает, что д-модуль либо совпадает с )О), либо с М. Чтобы доказать достаточность условия теоремы, предположи ' что (. (х) = Е, (х) бй Ее (х) — символическое разложение С (х где Е, (х) и Ев (х) — некоторые д-миогочлены над Гч.
Тогда мн гочлен Е, (х) символически делит Е (х), а значит, согласно реме 3.62, он делит Е (х) и в обычном смысле. Следовательно, кори многочлена Е, (х) просты и д-модуль Ж, образованный этими к нями, содержится в М. Поэтому У совпадает либо с ) 0), либо с бед (Е,) равна либо 1, либо бед (Е). Значит, один из многочлен ' Е, (х) или Ьв (х) имеет степень 1, а это означает, что многочлв Ь (х) символически неприводим над Кч. 3.67. Определение, Пусть Е (х) — ненулевой д-многочлен н полем ))'ч . Корень ь этого многочлена называется о-первообр ным корнем над Кч~, если он не является корнем никакого нен' левого д-многочлейа над гчм более низкой степени. л К этому понятию можно подойти также с другой точки зрени Пусть д (х) — минимальный многочлен элемента ь над полем г " Нетрудно видеть, что ь является д-первообразным корнем мно члена Е (х) над Кч тогда и только тогда, когда многочлен й, делит Ь (х), но не делит никакого ненулевого д-многочлена б , низкой степени.
Для заданного элемента ь из какого-либо конечного рас рения поля гч всегда можно найти ненулевой д-многочлен ' Гчм, для которого ь является д-первообразным корнем над ге Чтобы убедиться в этом, мы поступим так же, как и при пост нии аффинного кратного. Пусть д (х) — минимальный много элемента ь над Гчм, и пусть бед (д) = и. Найдем для ка ( = О, 1, ..., п однозначно определенный многочлен г; (х) пени бед (г;) < и — 1, такой что х' = г; (х) (той д(х Затем найдем элементы а; Е Г, не равные нулю одно ч менно, для которых ~ а,г; (х) = О, С этой целью при ~=о 7 наем нулю коэффициенты при всех степенях х~, 0 ~ 1 ( п —,, и получим п условий, представляющих собой однородную:, стему из и линейных уравнений относительно и + 1 иеизвест' 4 4.
Лннеарнвованные многочлены а,, ..., а„. Такая система всегда имеет нетривиальное решение, и для любого такого решения (ао, а,, а„) л о й(х) = ~~ ~а;х" ==- ~~ а,г;(х) =: О(шоду(х)), 1=-о а это значит, что 1 (х) — ненулевой а-многочлен над Ед~, делящийся на у(х). Выбрав а; так, чтобы многочлен Е (х) оказался нормированным многочленом наименьшей возможной степени, мы убедимся, что ь является у-первообразным корнем многочлена 1, (х) над Гд . Легко видеть, что этот нормированный у-многочлен й (х) пад Кд наименьшей положительной степени, который делится на у (х), определяется однозначно; он называется минимальным у-многочленом элемента ь над г'д 3.68.
Теорема. Пусть ь — элемент из некоторого конечного раситрения поля Кд», и пусть М (х) — его минимальный у-много лен над го . Для того чтобы элемент ь был корнем у-много- члена К (х) над 7 „, необходимо и достаточно, чтобы К (х) = — 1. (х) 8 М (х) для некоторого у-многочлена Е (х) над гр В частности, при т = 1 это означает, что элеменгп ь является корнем у-многочлена К (х) над Еды в том и только том случае, сели К (х) символически делится на М (х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
