Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Однако в этом случае может б установлена следующая формула разложения. 3.80. Теорема. 17усть К =: г' — конечное поле и Г, = К его собственное подполе. Если а ~ 1', = К, то трехчлен хе — х — а имеет следующее разложение в кольце 1ч (х): ер хч — х — а = П (х' — х — р;), (3. 1' !'=1 гдв р; — различнывзлвмгнты поля Гч, для которых Тгв!к ());) = Доказательство. Пусть ))т Šà — элемент, указанный в т реме, и пусть у — корень трехчлена х' — х — 1)! из некоторо расширения поля К . Тогда у' — у = рь так что а = Тгв(к (() !) = Тгтк(у' — у) = — (уе у) + (уГ у)е + (уГ 7)ы + + (ТГ у)ер — уч у т. е.
элемент у является корнем трехчлена хч — х — а. Поскаль многочлен х' — х — ~ ! имеет лишь простые корни, то х' — х— делит трехчлен хе — х — а. А так как все трехчлены х' — х— 1 = 1, ..., у!г, попарно взаимно просты, то их произведение д многочлен хе — х — а. Сравнение степеней и старших коэфф цнентов многочленов в обеих частях формулы (3.18) показы что эти многочлены совпадают. 3.81.
Пример. Пусть х' — х — 1 — трехчлен нз 1'е (х). Р сматривая поле 1'е как 1",(а), где и — корень неприводнм многочлена х' — х — 1 Е Г~ (х), получим, что элементами п К„имеющими абсолютный след, равный 1, являются элемен — 1, сс и 1 — а. Поэтому формула (3.18) приводит к следующе ' разложенню: хе — х — 1 = (хз — х + 1) (х' — х — а) (х' — х — 1 + а). Так как все три сомножителя неприводимы в кольце Ге (х то мы одновременно получили и каноническое разложение тре члена х' — х — 1 в Ке (х). 4 5.
Двучлены н трехчлены 165 Наши познания о неприводимых трехчленах можно теперь применить для того, чтобы, исходя из данных неприводимых миогочленов, строить новые. 3.82. Теорема. Пусть 1(х) = х'" + а,х -' -[- „. -[- а нелриводимый многочлен над полем Г, характеристики р, и пусть Ь Е [[' . Многочлен ( (хл — х — Ь) неприводим над полем [[' тогда и только тогда, когда абсолютный след Тгк (тЬ— ч ч а„,,) отличен от нуля. Доказательство. Допустим, что Тг5 (тЬ вЂ” а,) ~ О. Положцм К = ге, и пУсть Р— поле РазложениЯ многочлена Г над К.
Если а ~ Р— корень многочлена г, то на основании теоремы 2. [4 все возможные корни данного многочлена — это различные элементы а, ач, ае', ..., ае '; при этом Р = К (а). Кроме того, Тг,т (а) = — а „согласно (2.2), и, применяя теорему 2.26, получаем, что Тге(а+Ь) = Тгк(Тгеук(а+Ь)) = Тгк( а,-[-тЬ)~О, На основании следствия 3.79 трехчлен хн — х — (а + Ь) неприводим над полем Р.
Поэтому [Р([)): Р! = р, где [) — корень трехчлена хл — х — (а + Ь). Из теоремы !.84 получаем, что [Р(р): К! = [Р(р): Р! [Р: К! = рт. Далее, так как а = Рь — Р— Ь, то а ~ К (Р) н К (р) = К (а, [)) == Р([)). Это значит, что [К(р): К! = рт, и минимальный мяогочлен элемента р над К имеет степень рт. Но ввиду того что ! ([)е — р — Ь) = 7 (а) = О, элемент р является корнем нормированного многочлена г(х' — х — Ь) б К [х! степени рт.
Из теоремы 3.33 ([!) следует, что [' (хл — х — Ь) — минимальный многочлен элемента р над полем К, и потому по теореме 3.33 (1) оп неприводим над полем К = Кч. Если же Тге (тЬ вЂ” а ,) = О, то трехчлен хл — х — (а + Ь) приводим над полем Р, так что [Р (р): Р ! < р для любого корня р трехчлена хл — х — (а + Ь). Такое же рассуждение, как и выше, показывает, что [) является корнем многочлена Г (хл — х — Ь) и при этом [Р ([[): К ! < рт, откуда вытекает приводимость многочлена 7(хе — х — Ь) над полем К = Кч. П Для некоторых типов приводимых трехчленов можно установить вид их канонических разложений. Условия следующей теоремы включают в себя требование неприводимости некоторого даучлена — вопрос, решаемый теоремой 3.75.
3.83. Теорема. Пусть задан трехчлен г' (х) = х' — ах — Ь ~ Е Р [х[, степень г > 2 которого является степенью характеристики поля [['ч, и пусть двучлен х' ' — а неприводим над Гч. 1'л. 3. Миогочлонн яод кочечоыма оолямн Тогда трехчлен ) (х) Явллетсл произведением некоторого линей- ного многой и'.на и неприводимого над Гч мно Очлена степени г — 1," Доказательство. Так как )' (х) -= — а ~ О, то трехчлен 1(х) имеет лишь простые корни.
Если Р— характеристика поли Гч, то ) (х) является аффинным р-многочленом над Г . ()озтому на основании теоремы 3.56 разность у двух различных корней трех-; члена 1 (х) является корнем р-многочлена х" — ах, а значит,: и корнем двучлепа х" ' — а. Ввиду неприводимости этого дву-' члена а условия г -- 1 > 1 мы получаем, что элемент у не при-', надлежит полю Ко, так что сУществУет коРень а тРехчлена 1 (х),, не являющийся элементом ноля Г,.
Тогда ао чг: а, причем сов . тоже является корнем ) (х), поэтому, согласно сказанному выше, . разность ໠— а является корнем неприводимого двучлена х' — '— — а над Кч, так что 11'ч (໠— а); К 1 =- г — — 1. Ввиду того ' что Гч (໠— а) ы $" ч (и), степень т ---. (г, (сс): 1'ч) кратна,. числу г — 1.
С другой стороны, а — корень многочлена 1 (х) ' степени г, так что т ' г. Но поскольку г > 2, то для т остается:, единственная возможность, а именно т =- г — 1. Таким образом, ', минимальным многочлсном элемента а над ~ГЯ является некоторый неприводимый многочлен над Кч степени гч — 1, делящий трех-, член 1(х). Отсюда сразу вытекает утверждение теоремы. [Д, Для частного случая простых конечных полей можно среди трехчленов определенного вида выделить примитивные много-, члены. 3.84. Теорема. Для простого числа р трехчлен х» — х — а ~: [х 1 в том и !полька том случае являюпся примитивным мйогочл»йом йад Гр, если а — пдимитивйый элемент поля 'г'р ', и при этом огд (х' — х — 1) =.
(р» — 1)1(р — 1), Доказательство. Допустим сначала, что 1 (х) =- х» — х — а— примитивный многочлен над 1"р. Тогда по теореме 3.18 элемент а является прнмятивным элементом поля Гр. Если () — корень многочлена а (х) =- х» — х — 1 из некоторого расширения поля Гр„ то О = аа Ф) =- а Ф' — 1 — 1) =- а'Р— Ф вЂ” а = 1 (Ф). так что элемент а = а() является корнем неприводимого трехчле- " на 1 (х) и, слеДовательно, пРимитиигым элементом полЯ г р» Поэтому й' ~ 1 для О < г < (р» — 1)/(р — 1), так как в против- ном случае мы получили бы ан» вЂ” О = 1 для О "г(р — 1) ( ".
р» — 1, что противоречит примитивности элемента и в поле г'рр, С другой стороны, согласно следствию 3.79, трехчлен я (х) непрн- ВОДИМ НаД Кр, Тан ЧТО я(х) = — х — 1 = (х — 1)) (х — - ()»)... ( ' — ()» ). 4 5. Дву»левы и трех»лены 167 Сравнение постоянных членов приводит к равенству р!»» ')Д» — и = 1, откУда по теоРеме 3.3 следУет, что поРЯдок многочлена у (х) = х» — х — 1 равен (р» — 1)!(р — 1).
Обратно, если выполнены условия теоремы, то элементы а к р имеют в мультипликативной группе Г'» порядки р — 1 (р» — 1)/(р — 1) соответственно. Далее, (Р» 1)7(Р 1)=1+Р+Р +" +Р» :-1+1+1+ ...+1 = = р э— э 1 (пюд (р — 1)), так что числа р — 1 и (р» — 1)/(р — 1) взаимно просты. Поэтому элемент сс = ар имеет порядок (р — 1) (р» — 1)!(р — !) = р' — 1 в группе Г*». Следовательно, а — примитивный элемент поля К»р, з зпачит, 7" (х) — примитивный многочлен над Г».
(:) 3.85. Прнмер. Для р = 5 мы имеем (р» — 1)((р — 1) =- 781 = !1 71. Из доказательства теоремы 3.84 следует, что хтм = ! (щод (х' — х — 1)), и так как х" ~ 1 (щод (х' — х — 1)) я хы Ф 1 (пюд (х' — х — !)), то получаем, что огд (х' — х — 1) = -- 781. Далее, числа 2 и 3 являются примитивными элементами .юля Г„поэтому, согласно теореме 3.84„трехчлены х' — х — 2 п х" — х — 3 являются примитивными многочленамн над по- лем Кь. !) Нетрудно видеть, что квадратный трехчлен х'+ х + а над полем $'» нечетной характеристики является непрнводимым в коль- це К !х) в том и только том случае, если элемент а не представим в анде а = 4 ' — б' нн для какого б ~ Г».
Следовательно, су- ществует (о — 1)72 различных выборов элемента а с К», для ко- торых квадратный трехчлен х'+ х+ а неприводим над !'». И вообще число элементов а ~ Г», для которых трехчлен х" + + х + а непрнводим над К», как правило, асимптотическн Равно Ч п согласно следующему результату.
3.88. Теорема. Пусть характеристика р конечного поля Г» не делит числа 2п (п — 1), где п Е И, п ) 2, и пусть число эле- ментов а ~ К», для которых трехчлен х" + х+ а неприводим над Г», равно Т„(д). Тогда существует константа В„, завися- щая лишь от и, такая, что ~Т„(д) — » ~~~ В„у Ч. Доказательство этой теоремы, опирающееся на тонкое иссле- дование некоторых групп Галуа, мы опускаем. В определении 1.92 было введено понятие дискримннанта многочлена.
Ниже устанавливается точная формула для днскри- мннанта трехчлена, Гл. $П Многочлены ннл коночными нолннн 3.87. Теорема. Дискриминант трехчлена х" + ах" + б ~,, С К'ч !х1, где п > к '.. 1, гыражаетсл формулой $)(хн ' ахч -- Ь) -= ( — !)нич ыпп)Р-ц . (пном — и — ( — 1)н (и -- й)н — к йкан)н„" гдг д:: —. НОД (и, й), й! — п'г), К =-- й,й!. Комментарии й $. Разнообразный материал о многочленах над конечными' полями можно найти в монографиях А!Ьег! 13, сЬ. 51 и Вег!е.' кавр 141, а также в вышедших совсем недавно книгах В1а1се,, Мц!!!и 111, Маг%1!!!авн, 5!папе 121 и Мс(зона!б 111. Результаты;,,,' содержащиеся в этих книгах, имеют отношение ко всем парагра.,' фам этой главы.
Дальнейшие результаты о многочленах и неко-, торые дополнительные ссылки на материал, выходящий за рамки.. нвпей книги, будут приведены в конце комментариев к б 5, Основные результаты, содержащиеся в лемме 3,1 и следствии,', 3,4, были доказаны еп~е Гауссом (Оапзз 141). Изучение порядка многочлена было продолжено Серре (Вегге(131) н Пепле (Ре)-' !е1 11 1), в последней статье можно найти теорему 3.5; см. также'; Вас1ппапп 14„сЬ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
