Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Подобные неприводнмые композиции изучаются также в $ 5 этой главы и в статьях СоЬеп 5. В.121, 1!01, ! опд 13), 141 и Оге 161. 0 композишгих вида Г" (х') см. 9 3. Действие группы аффинных преобразований на множестввл всех пеприводимых многочленов над Гч рассматривалось в ра»1, боте [)ог[цпе[гоч 111, а действие группы дробно-линейных преоб' разований с коэффициентами из простого поля Г на множеств: иеприводимых многочленов данной степени иад Гн изучалосв в статьях ВгаЬапа 111, 121 и Наине[»еп 111, 121, 131, 141, 151".„' Действие той же группы при р — 2 на множестве корней непри-".„ водимых цад Г, миогочленов рассматривается в работе С[о!ошЬ [51;! Корнблюм (КогпЫпт 11 1) дгзказал для кольца Г 1х1 аналог' теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрес, сии, а именно он показал, что если д и й — ненулевые взаимн»х простые многочлены из Г, 1х1, то существует бесконечно многа': нормированных неприводимых миогочленов ) (х) над Г, сравни мых по модулю и (х) с д (х), даже прп дополнительном предполочс женин, что их степени оед ()) принадлежат заданной арифметиче'.
ской прогрессии. В статьях Аг!!и 1! 1, СоЬеп 5. О. 171, Науез [21,' ЛоЬпзеп !21 и [[Ь!и 131 получены количественные уточнения этогв» результата. Дэвеппорт ([3атепрог! 161) применил результат Корн-"' блюма для изучения примитивных элементов. Карлиц (СагВ1х !151, !951, 199 1) рассматривал распределение неприводнмых миогочленов от нескольких переменных; эта ра бота продолжена статьями СоЬеп 5. О.
111, 131 и Ггебгпап [2[е; В статье РгаЬЬц, Вохе 1! 1 предлагается способ оценки числа не-'. приводимых многочленов в кольце Гч 1х„..., х„1 с заранее за»,' данными степенями по каждой переменной х;. Карлиц (Саг[!!х 112 ! назвал многочлен от нескольких переменных фаюиоризуемым! если его можно разложить в произведение линейных сомножителеФ над некоторым конечным расширением поля Г .
В этой же рай боте найдено число факторизуемых многочленов и число неприво г' димых факторизуемых многочленов данной степени иад Гч Факторизуемые многочлены изучались также и работах Адам !у[я Саг! Их 1! 51, [.опд (11, 121, 15! и Ж!!!!ашз К. 5. 1!41. Об абсолютно', неприводимых многочленах от нескольких переменных см. з 4 гл.
6. Комментарии 6 3. Теоремы 3.35 и 3.37 для конечных простых полей доказацы Серре (5егге[ 12 1); см. также А[Ьег[ [3, сЬ. 51 и Р[с[своп 17, рзг! 1, сЬ, 31. Прямой метод получения неприводимых многочлецов данной степени и данного порядка исследовался Голомбом фо!ошЬ 18)). Теоремы 3.38 и 3.39 были доказаны в статье РауИп [61, Эта статья содержит и другие результаты о характеристических многочленах 1, для степеней а' элемента а ~ Г,. Для случая примитивного элемента а алгоритм вычисления характеристических многочленов ~, был описан в работе А!апеп, Кпи1Ь (2). Голомб (Сто!ошЬ 161) дал алгоритм нахождения минималького многочлена для степени а' элемента а по минимальному мцогочлену самого элемента а над Ге; см. также тхогдоп (! ].
В случае когда минимальный многочлен элемента а над (Ге является трехчленом, см, также Ва)она 111 и Ва)ода, %а)Ьеввег [! 1. Алгоритмы для нахождения минимальных многочленов обсуждаются также в книгах Вег[е[сашр 14, сЬ. 41 и Мас%!!!!ашв, 5!оапе 12, сЬ. 41. Таблицы характеристических и минимальных многочленов см. в работе Соптчау [11; ср, также с э 1 гл. 10. Критерии неприводимости для многочленов вида 7 (х') установлены в статьях Аяоц [9], (10], (!11, Вц[1ег [21, СоЬеп 5.
Р. 121, Ре1!е1 (7 ], Ре[[егвоп [31 и 5егге1 (21, 131. Связь между порядками многочленов 7'(х') и 7 (х) изучается в работах Вег)еМашр 14, сЬ. 61 и Варшамов, Ананиашвили [1]. Другие классические методы построения неприводимых и примитивных многочленов можно найти в работах А1Ьег1 13, сЬ, 51, О!с(своп [31, 17, раг1 1, сЬ.
31, РеПе1 [4], 151 и 5егге1 [2). Алгоритм построения всех неприводимых многочленов над конечным простым полем был предложен в статьях Ророч!с! 111, 121. В работах ВаЬ!п [! ) и Са!ше1, 1.овв 111 описаны вероятностные алгоритмы для построения неприводимых многочленов. Варшамов и Антонян 1! ) описали метод построения новых неприводкмых многочленов над полем Г„исходя из данного неприводимого мцогочлена; см. также Варшамов [21. В статьях 5вч[1 [11 и Варшамов 141 показывается, как строить неприводимые многочлены кад !1,, исходя из примитивных многочленов.
В последней статье содержится также теоретико-матричный метод построения всех "еприводимых многочленов, степени которых делят и, исходя "з некоторого неприводимого многочлена степени и. В работах 1-ешре! 111 и 5тг!11 [11 описываются методы нахождения примитивных многочленов над полем Г„а Варшамов и Гамкрелидзе 111 указывают аналогичные конструктивные методы для случая произвольного конечного пРостого полЯ (Гр.
В статье А)анен, Кпирй приведены алгоритмы для построения новых примит" иных многочленов над Гр, исходя из одного такого много- члена Гл. 3. Миогочлеим иял иоиеяимми полями Теорема 3.46 была доказана Лелле (Ре1!е! 11)) для конечных простых полей и Диксоном ([Э!сйзоп 17, раг! 1, сй. 31) для произвольных конечных полей; см, также Аарон 14). 4. Многие результаты ЗЛОГО параграфа восходят к фундаментальным статьям Оре (Оге 141, 151, 161, 171). Некоторые нз, результатов Оре предвидел Релла ()се!1а 111).
В статье Оге [4) ' изучаются р-многочлены над произвольными полями характе. '1 ристики р. Теория линеаризованных многочленов над конечными,;, полями была широко развита в работе Оге [51, там же обобщаются .' некоторые результаты из статьи О!сйзоп 131 и исследуется опе.'. рация символического умножения. В статье Оге 161 изучение зтих, вопросов продолжено, в ней дается также важное уточнение тео. ремы о нормальном базисе (см. теоремы 3.72 и 3.73).
Та же тех.' ника применяется Артином (Аг!!и [31) для доказательства тео--',, ремы о нормальном базисе для некоторых бесконечных полей ха- ) рактеристики р Дальнейшие ссылки, связанные с теоремой о нормальном базисе, см, в комментариях к 3 3 гл. 2. Формула из,: леммы 3.51 установлена Муром (Мооге 13)). Ее простое доказательство указано Диксоном (О!сЬзоп 1301). Линеаризоваиные многочлены изучались также в работах '; Сагсападце [11, 121, Саг1Вх 1211 и ЧацдЬап Т. Р. 111.
Частные классы линеаризованных многочленов появляются у Карлица (Саг!!!х 171, 1171, 1201, [341, 135 1). В статье [ЭауЫп 15) рассма-; триваются аффинные многочлены и выясняются степени и число, их неприводимых делителей. Метод отыскания корней многочле ' нов на основе их аффинных кратных изложен в работе Вег1е]саар~ . )яцшзеу, Во!ошоп П ). В работах Саг!!!х 12! ], 19! ), Оге !7), ' 5!!ча 1! 1 и ЪгацдЬап Т.
Р. 111 исследуются связи между линеарн ' зованными многочленами и циркулянтными матрицами. О век;,';: торных пространствах н линейных отображениях над конечнымк' полями см. Вгач!еу, СагИх, УацйЬап [11, Выге]е 12], 151, Ре!ч [11, Ке!1а 111, (]!Ьг!сЬ 111 и ЧацйЬап Т. Р. 111, 12). Питерсоц; (Ре[егзоп 121) применил результаты Пеле (Ре!е 111) в теории ко.-,: дирования. В статье Заш!зоп 11 1 линеаризованные многочленМ. используются в задаче о покрытии векторного пространства над Г ' аффинными подпространствами. В работе 5едге, Ваг(осс1 [! .
линеаризованные многочлены над Ке применяются к коиечныд[ проективным геометриям. Изложение теории линеаризованных аффинных многочленов можно найти в книгах Вег!е]сашр [4й сЬ. 111, Маг%11!!ашз, 5!папе 12, сЬ. 41, Мс[Эопа!б [1, сЬ. 2я', и меде! 1!О, сЬ. 81. Линеаризованные многочлены над более об;" шими полями характеристики р изучались в работах Аг!!п 13) " Сгашр!оп, Мар]ез 11], Кгазпег [1) и %Ьар1ез ! ! 1. Теорема 3.63 доказана Оре (Оге 161); см. также Х!ег!ег [2).' Для частного случая, когда 7 (х) является примитивным много' членом над Ге (и тогда многочлен р (х)/х неприводим над ее)к Комментарии этот результат получен в статье МагзЬ, 61еазоп 111. Дальнейшие езультаты в этом направлении можно найти в работах В!с]гзоп 301, МИ!з 131 я Варшамов [21, [31, 151.
Формула для Ф (7) из леммы 3.69 (ш) была получена Дедекиидом (Оебей!пд !11) для простого числа д и Митчеллом (М!1- сЬеИ О. Н. 111) для общего случая. Дальнейшие результаты о Ф„(!) имеются у Карлица (Саг!Иг [261, 128)). Групповая структура множества многочленов, подсчитываемых числом Ф, была исследована в статьях С!аазеп [1), [2!; см. также 5ш1!и [1], В работе СоЬеп 5. О. !41 рассматривается аналог функции Фе ()) для многочленов от нескольких переменных. В статье КОЬпе [3] получена формула для числа нормированных многочленов данной степени т! < бей ()), которые взаимно просты с данным многочленом ) 6 Гр [х[. 5 5. Теорема 3.75 по существу была доказана Серре (5егге! 121) для конечных простых полей.
Дальнейшие характернзации непрнводимых двучленов можно найти в работах А!Ьег! 13, сЬ 5], СареИ1 [11, 121, [31, [)!с1сзоп 17, раг! 1, сЬ. 3], 1.оше, ЗеИпзйу 1! 1, Кебе! 110, сЬ. 11] н 5сЬиагг 141. Разложение в тео. реме 3.76 получено тоже Серре (Бегге! 121); см. также А]Ьег! 13.
сЬ. 51 н Г!!с]гзоп ]7, раг! 1, сЬ. 31. В статье БЫча, АИагд 1! 1 рассмотрен один способ разложения двучлена х'" '+ 1 над по. лем Г,. Разложение двучлена хе — ' — а над полем [Ге рассматривается в работе Исйзоп [ЗО]; см. также Аиоп [!41. Шварц (БсЬтчагг [7 1) получил формулу для числа нормированных неприводнмых делителей фиксированной степени данного двучлена, а Редеи (Кебе! 19]) указал ее короткое доказательство; см. также Айоп 1!О!, Вп!1ег [21 н БсЬчтагг 14]. В статье Оау, Че!ег 111 доказана формула для степени поля рааложення непрнводимого двучлена над произвольным полем (ранее она была установлена Дарби (РагЫ [! 1) лишь для полей характеристики 0).
В работе Айоп [41 изучается разложение неприводимого над Г, двучлена в некотором расширении поля Г,. Таблицы разложенйй двучленов вида х" — 1 даются в статьях Веагб, Ттез! [21 и МсЕИесе [31. Разложение многочленов более общего вида д(х)" — а над коночными простыми полями рассматривается в работах Оге 121 и РеИегзоп [31. Приложения разложений двучленов можно найти в статьях Аяоц [101, Вег]е1сашр [2] и ЧапдЬап Т. Р. [! 1. Теорема 3.78 и следствие 3.79 были впервые доказаны Пелле (РеИе! !1)).
Непрнводимость трехчлена хе — х — а над ]Г "ри условии, что а ~ Ц, была установлена еще Серре ($егге! [31). См. об этом также Р!сйзоп 131, 17, раг! !, сЬ. 31 и А1- Ьег! 2, сЬ. 51. Теорема 3.80 доказана Диксоном (В!сйзоп 131, раг! 1, сЬ. 31), но для частного случая а = 0 она была уста"овлена еще Матье (Ма!Ыец [1 1). Теорема 3.82 в общем виде была Гл. 3. Многочлеиы нна конечными нолнмн доказана Варшамовым 131, 151; см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
