Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 42
Текст из файла (страница 42)
также Родине)го» [21. Обобщении на слУчай нескольких пеРеменных пРедставлены в статье СагИг [1191. В статье Ми!!еп ПЗ) для фиксированных а с г» и ь Е К» дается характеризация многочленов Г ~ К 1х1, обладающих свойством ? (сх + а) = ЬГ (х) + а; случай Ь = г уже рассматривался раньше в работе Фе!1в [61. Вагнер (Файпег 121) на кольце Р [х! определяет такие линейные операторы Ь, что й (Г + д) э— э (, (Г) (той д) для всех Г, д ~ Р» [х1. В статье БЬепабеЬ 111 определяется наибольшее возможное число последовательных нулей или единиц и их распределение среди коэффициентов некоторых многочленов над [Гн, таких, как многочлен (х" — 1Ц (х), где )' (х) — примитивный многочлен изд Г, степени Й и и = 2' — 1, Г!онятие равномерного распределения для последовательностей многочленов над конечными полями было введено в статье Нобйев [231. Дальнейшие работы на зту тему: Р[1[»вша 111, [21, 131, [41, Нодцев [261, 12?1, Кшрегв [21, Кшрегв, БсЬее1Ьее[с [! 1.
Мецег, 011[»вша [! ) и ФеЬЬ 141. Равномерное распределение в поле рядов Лорана ~ с,х' над К» было введено Карлицом (СагИх [33)) и далее изучалось в работах бе Мабйап [11, 121, 131, РцЪша [21, [31, [41, Нодяев [2?1, Кшрегв [11, [.опй, ЖеЬЬ 111, Мецег, Р[1[»вша [! 1, КЫп [11, [2), [31 и ФеЬЬ [41. Изложение этих результатов можно найти в книге Кшрегв, %едегге[[ег [1, сЬ. 51. Близкие результаты по диофантовым приближениям в поле рядов Лорана над конечным полем [Г» содержатся в статьях Ва1ешап, Рц»[це[[е [11, СагИх [321, 1331, РевЬош!1егв [11, [21, 131, РпЬо[в, Раувап-[.е Коих [11, бгапде1-Нпцо! [11, [21 и НоппдопопяЬо [21. В работе Кпв1аапЬе!шо, Я»Ы [11 построен аналог комплексного анализа для кольца [Г» [х) (авторы вводят подходящее понятие производной и доказйвают, в частности, аналог условий Коши — Римана). Степанов [3*1 предложил новый подход к выводу асимптоти"еской формулы для количества неприводимых многочленов фиксированной степени над [Г», часть коэффициентов которых задана.
Метод демонстрируется на примере многочленов четвертой сте"сни с двумя фиксированными коэффициентами. В статье Варшамова [1*1 дается алгоритм построения неприводимого много"леиа данной степени над Р», имеющий полиномиальную слож"ость. Неприводимость некоторых трехчленов специального вида "сследована в работе Аяои [2* 1. Шпарлинскнй 14' 1 доказал, что !9» Гл.
3. Ыногочлены над нонечнымн полямн 180 при фиксированном и и достаточно большом простом числе ' существует примитивный по модулю р многочлен степени гэ высоты П [() = О (р"г!эч-!!ч-е). Этот результат при и = 1 перехо в известные оценки И. М. Виноградова [8]для наименьшего пер образного корня по модулю р. Кроме того, там показывается, существуют примитивные многочлены, содержащие лишь и/2' + О (1) ненулевых коэффициентов.
В работе Саг 13*] получе верхние и нижние оценки для количества многочленов степени: над Г», имеющих делитель степени и. Митькин 13*1 пол нижние оценки для количества различных значений многочлб над простым полем Гр, уточняющие результаты Морделла ( г]е!! [161). Бурке [Впг1се [1е 1)ввел понятие плотности множ многочленов над конечным полем и получил для него аналоги: ответствующих результатов, касающихся плотности множ целых чисел.
Свойства плотности множеств многочленов из]1, лись также в работах Саг 11'], [2*], [4а], [8'1, [9э]. гер (ЕИпдег [1* 1) исследовал аналог проблемы Гольдбаха многочлеиов степени (6. По тематике третьей главы имеются также следующие ра Акоп 11*], [3*1, Веагс[, Ьпе [1'1, Саг 16*1, [7'1, С!аазеп [1" Не!!ейопагс]! [1*1, Непа!еу [1э1, КаИо1еп [2э], КапппзЫ [1[( Каэ]1(тнай(, МогшсЫ [1'], КаэЫт»аи], ()сЫшпга [1*], Бш((з [1 12а1, Варшамов [1*1, Варшамов, Кожевников 11'1, Кюре ' [2*], Маренич [1*1 и Мурзаев [1а ]. — Перев.1 Упражнения 3.1.
Найти порядок многочлена (х'+ х+ 1)' (хэ+ х+ 1) над полем; 3.2. Найти порядок многочлена х' — хэ+ хэ — х'+ х над полем " 3.3. Найти огд ()) для всех нормнрованных непрнводнмых многочл степени 3 нз й'э (х]. 3.4. Доказать, что многочлен хз+ х'+ хэ+ х+ 1 непрнводнм над и й э, н найти его порядок. 3.5. Пусть 1 6 (Г» [х] — многочлен степени ш ~ 1, удовлетворя условию ! (0) -„ь О, н пусть норнн сг,, ..., сс„, этого многочлена нз его поля р' ження над Г» просты.
Донаэать, что огд О) равен наименьшему натураль' числу е, такому, что а,'. = 1 для 1 ( ! ( т. 3.6. Доказать, что огд Щ = е для всех чисел е, для которых опр круговой 'много»лен !»„ 6 1Г» [х]. 3.7. Пусть многочлен ! непрнводнм над полем й », прнчем 1(0) чь О, н е — натуральное число, вэанмно простое с д.
Доказать, что огд ()) = е тот' только тогда, когда ! делит круговой многочлен 9,. 3.3. Пусть 1 6 Г» [х1 — тот же много»лен, что н в упр. 3.5, н пусть О р(. Найти общую формулу, устанавливающую связь между огб (1~) н огас 3.9. Пусть Г» — нонечное поле характернстннн р, н пусть ! 6 (Г» Рд многочлен положительной степени, такой, что ! (0) ~ О. Допевать, огд О [ха)) = рогб () (х)).
3.10. Пусть ! — непрнводнмый многочлен нз Гч (х], такой, что ) (0) н пусть огд ()) = е н г — простое число, не делящее». Доказать, что Упражнения 181 (!) если г делит е, то каждый иепрнводнмый делитель многочлена 7 (х') а 5', [х) имеет поРЯдокее; в» (И) если г не делит е, то один нз непрнводнмых делителей многочлена [ (х ) / в» [х] имеет порядок е, а остальные — порядок ег. ;1,11, Используя упр.
3.10, доказать, что если 7 Е К» [х] — миогочлен положительной степени, [ (0) ч" 0 и г — простое число, не делящее», то огб (] (х')) = г огб 1[ (х)). 3,12, Доказать, ыо возвратный многочлен (см, определение 3.12) к иеприво- „нчому миогочлеиу [ над К», такому, что [(0);ь О, тоже неприводнм над 5', 3 1З Ненулевой многочлен ] Е К» [х! называетсв самавоэаратным, если - ) Доказать, что если для непрнводнмых над К» многочленов я н Ь много- »лен ] = 85 самовозвпатещ то либо П) Ь' = ад, где а Е К', либо (й) а' = ЬЯ, Ь' . ЬЬ, где Ь == ш1. 3 14, Доказать, что если [ — самовозвратный неприводимый многочлен нз 5' [х1 степени гл ) 1, то ш должно быть четным числом.
3.15. Доказать, что если [ — самовозвратный иеприводимый многочлен из )'„[х) степени )1 н порядка е, то каждый неприводнмый многочлен из К» [х[ степени г( ) 1, порядок которого делит е, самовозвратен. 3.16. Показать, что миогочлен х' + хь + хз + х + 1 примитивен иад полем 5 з. 3.!7. Показать, что многочлен ха + ха + х' + х + ! примитивен над полем Ке. 3.18.
Показать, что многочлен ха †! примитивен над полем Кз. 3.19. Пусть ] Е 5'» [х[ — нормированный многочлен степени гл ь 1. До- казагь, что [ примитивен над Г» тогда н только тогда, когда он является непрн. возимым делителем над К» кругового многочлена !)я = К» [х], где г( = »ы — 1 ° 3.20. Найти число прймнтивиых многочленов степени т над полем К' . 3,21, Пусть натуральное число гл ие является простым. Доказать, что не каждый нормированный непрнводимый многочлен над полем Г» степени гл яв- ляется примитивным многочленом над Г». 3.22. Пусть т — простое число.
Дойаэать, что все нормированные непрн- водимые миогочлены над полем К» степени гл примитивны над К» в том и только том случае, если д = 2 н число 2"' — 1 простое. 3.23. пусть [ — примитивный многочлен нал полем 1Г». Доказать, что ](О! ']' — тоже примитивный многочлен нвд ]г"», 3.24. Доказать, что самовозвратиыми .(см. упр. 3.13) примитивными мног . члензчи над 5з являются лишь многочлены х+ ! н х'+ х+ 1, а над 5а — лишь многочлеи х+ 1. 3 25. Доказать, что если многочлен [(х) неприводим в кольце 5'» [х], то миогочлеи [ (ах+ Ь) тоже непрнводнм в 5» [х] для любых а, Ь Е Г», а ~ 0 3.26.
Доказать, что д!» (л) ( (1/и) (»" — »), причем равенство имеет место зогда а только тогда, когда и — простое число (дг» (я) — число нормированных и»приводимых многочленов степени л в К» [х]). 3.27. Доказать, что дг (л):» — 6" — (6" — 1). я п(д — 1) 3.28. Дать строгое доказательство того, что из (3.5) вытекает (3,4), 3.29. Доказать, что функция Мебиуса р для всех натуральных взаимно прог~ма чисел гл и л удовлетворяет условию р (тп) = — р (т) и (и). 3 ЗО. доказать, что для всех натуральных чисел а имеет место равенство Гл. 3.
Многочлены вад конечнымн полимя 3,31. Доказать, что для каждого четного целого числа л > 2 ~', р (й) н (6) †.. 0. а(в 3.32. Доказать равенство ~» )р, 0() ) .=. 2, где Ь вЂ” число различных прп, д(л етых делнтелеп натурального числа л. 3.33 Доказать, что чнсло Хч (п) из упр, 3 26 делятся на еэ, если л ~ 2„. е — некоторый дели гель числа 4 — ! н НОД (сд. л) =- 1. 3.34. Применяя явную формулу нз теоремы 3 27, найти круговые миогнг члены Ц,з и Ою. 3.35.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
