Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 41
Текст из файла (страница 41)
также Адов 191. Случай Ь = О привлек внимание гораздо раньше. Соответствующий резул ., тат (в случае Ь ==- О) для простых конечных полей был сформули рован Пелле и работе Рейе1 111 и доказан нм в статье Ре!1е! [91 Многочлены вида ) (хл — х) над Ь'л, где степенью многочлена ~ является степень числа р, были изучены Серре (5егге! 141, [51);: Случай Ь =- 0 для произвольных конечных полей рассмотрел Диксон (О!с(езоп 17, раг! 1, сЬ. 31) и Альберт (А1Ьег! 13, сЬ. 51) Изучались также и более общие типы мпогочленов, такие, кай, ) (х"" — ах), ] (хл ' — ахл' — Ьх) и другие; см.
например, работм.'- Айои 191, 1!31, 1!41, [!51, П61, 1!71, [181. (!91, 120], Со' Ьеп В. О. 1101, 1.опя [2], 13), [41, 151, [.опя, ЧапйЬап 1! ], 12); и Оге [6). Теорема 3.83 обобщает результаты Диксона ([)!с(езойт 130]) и Альберта (А(Ьег1 13, сЬ. 5 1). См. 5сЬьтагх 1!21 о дальней," ших результатах в этом направлении. Вопрос о числе корней, трехчленах' — ах — Ь С Рч (х1, где г — степень характеристик!~е поля (,, изучался в статьях (.!апи 1! 1, Веяге [!01 и и!(апоъа [! 1, Теорема 3.84 получена Диксоном (О!с!клоп 17, раг( 1, сЬ.
3])1: Човла (СЬозн!а 5. 117)) высказал предположение, что для фик,,', сированпого натурального числа п > 2 число неприводимых; над ;',=„многочленов вида хн -(- х ', а ь К (х] асимптотнчески'' равно р и при р — и оо. Он доказал это для случая и --. 3. Этот слу-,, чай рассмотрен также в статье Саг1йз 11031. Леонард ((.еопапх, 111) обобщил это доказательство на случай и =- 4 (см., хромик того, (.еопагс( 13 1), а в работе Ьеопаге( 121 он доказал ослаблеич ную форму гипотезы Човлы для и -- 5.
В статье %!!1(ашз К. $г" 1Р31 гипотеза Човлы доказана для и .. 5. Общее доказательстй]дх гипотезы Човлы (и нашей теоремы 3.86) получено Коэном (Сон Ьеп 5. О. (51) и Ри (Кее 111). Коэн (СоЬеп 5. [л. 151) доказал д более общий асимптотический результат о числе неприводимы многочленов вида ) (х) + ад (х) с заданными 7, д ~ 'Кч 1х! и из. меняющимся а ~ Р . См. также СоЬеп 5. О. 161, Йауез 161)ь';. 1 еопаге( 15!.
Дальйейшие результаты о трехчленах вида х" +!" + х + а над простым конечным полем ~~ч имеются в работа '" Мог!!шег, %Н1!ашз 111, Ва1о, Уог(па((а 11), ОсЬ!уап1а 181 %!1!!ашз К. Б. 113). В статье Салаев, 5!п1оч1с!. 1!1 дается алг ритм построения неприводнмых трехчленов вида ах" 1- х+ над конечными полями характеристики 2. Доказательства тео" ремы 3.87 имеются в работах Вег]е]гашр 14, сЬ. 61 и отчая [1:; Таблицы неприводимых трехчленов над полем (се имеютс в следующих источниках: Оо1ошЬ 14, сЬ.
5], Оо!ошЬ, %е1сй На!ез 111, Лег!ег 171 и Х!ег!ег, Вп1!Ьаг1 1! 1, 121. В статье Рте г!с(езеп, %!зп]ешз(е! 111 рассматриваются специальные клас неприводимых трехчленов над Г~е. Примитивные трехчлены над й приводятся в статьях Йобеш!сЬ, Кцшзеу 1! ], Х!ег!ег 161 и Е[ Комментарии !ег, ВП!Гпаг1 111, 121. Различные результаты о порядках трех- членов над Г, и таблицы этих порядков имеются в работах Оо !ошЬ [4, сЬ.
51, Оо!ошЬ, %е1сЬ, На1ез [1], уонип 11], 2!ег!ег [81 и Аракелов, Тененгольц 111. В статьях Ва]она П1 и Ва]- ооа, %а!Ьеззег 111 изучаются элементы поля характеристики 2, минимальные многочлены которых над Г, являются трехчленами, Списки некоторых неприводнмых трехчленов вида х" + х + а иад простым конечным полем имеются в статье МогИшег, %ИИашз [11. Таблицы разложения трехчленов на множители имеются вследуктщих работах: Веагб, %ез1 131, Оо[ошЬ 14, сЬ. 51, Оо!отЬ, %е!сЬ, На!ез П 1, Л!ег!ег 1?1 и Х!ег!ег, ВНИЬаг1 [11, 121. Голомб (Оо!ошЬ 14, сЬ. 51) выдвинул гипотезу, что степень каждого не- приводимого делителя трехчлена х""' + х' — ' + 1, где г = 2", над нолем Ги делит число бп.
Эта гипотеза была доказана в статье МИ!з, 2!ег!ег [1), причем даже в более сильной форме (а именно что каждая такая степень делит или 2п, или Зп, но не п), а затем обобщена Карлнцом (Саг!Иг 1П21) на случай произвольного конечного поля. Миллс (МИ!и 131) доказал, что степень каждого иеприводимого делителя трехчлена х'~' + х + 1, где г = д", нзд полем Г делит число Зп. Многие другие результаты подобного типа можно найти в работах Оо!ошЬ 14, сЬ.
51 н МагзЬ МИ!и, %агг[, ][игпзеу, %е!сЬ 11]. Вопрос о разложении трехчлена х'+ ах'+ Ь над конечными простыми полями рассматривается в статьях Саг!Иг 1731, ПОЗ]. Теперь мы дадим обзор тех вопросов о многочленах, которые ие были упомянуты в данной главе. Существует обширная литература об обобщениях классических вопросов теории чисел на случай кольца многочленов Гч [х ). Проблема представления миогочлена в ниде суммы непрнводимых многочленов (обобщенная ф~рма проблемы Гольдбаха для Г [х]) рассматривается в статьях Саг 121, СЬег!у [2], Науез 1! ), 14] и %еЬЬ 1!1. Представление миогочленов в виде суммы двух неприводимых многочленов и некоторого квадрата изучалось в работе Саг [6]; см.
также %еЬЬ 1! 1. Проблема представления многочлена н ниде суммы степеней многочленов (проблема Варинеа для [Гч [х1) рассматривается в статьях Саг [1], [3], [4], !о[у [1), КцЬо1а К. М. [! ), Ма[- 1Ьеч'з К К. 1!1, Ра!еу 121 и %еЬЬ [21, [3). Особенно интенсивно изучался частный случай этой проблемы, касающийся представления многочлена в виде суммы квадратов; см.
Саг!Иг 151, 181, 1!3], 1!91, [26], 1271, [1161, СагИ[г, СоЬеп [21. СоЬеп Е. [11, [21, Ло!у 121, 1.еаЬеу 1!1, 8[ечепз, Кц[у [1], Чсгпег 1!1, [21 и %еЬЬ 12!. О представлениях квадратичными формами см. Саг!'[г 1541 и СагИ[г, СоЬеп 13), а об одновременных представлениях квадратичными и линейными формами см. СагИг 194!. Суммы пз Гл. 3. Многочлены нал нонечнымн нолнмн степеней с полиномиальными коэффициентами рассматривали в статьях СагИх, СоЬеп [11 и СоЬеп Е. И], [41. О более общ формах см.
СагИг [32] н СоЬеп Е. [41, [61. Проблемы аддитнвн ' теории чисел в кольце Еч !х! рассматривались в работах С 11]г [481 и СЬег1у 111, 121, 131. Функции Фч (см. лемму 3.69) и рч (см. упр. 3.75) являют ' частными примерами арифметических функций на множес ][ч 1х]. Такого рода функции систематически' изучались Ка лйцом (СагИг 111, [21, [3], [261, [281, 1301, 136 1)„что же касает ' функции Ф,, то она рассматривалась еще Дедекиндом (Ре Ыпб 111).
Айалог функции Ф для многочленовот нескольких пе менных был изучен Коэном (СоЬеп 5. Р. 14 1). Дальнейшие резул таты об арифметических функцинх получены и работах Саг]йк [В 1!41, 1!91, [201, СагИг, СоЬеп 111, [21, СоЬеп Е. 131, 16), Ьеп 5. О. [3], [41, Вгезз [1], КЫп [3], 511абег [1), !41 и 51!ча [2. ' Об абстрактном подходе см, Кнор!шасЬег [11, [21. Аналог кольца Гч [х] понятия совершенного числа изучался в стать Веагб [61, Веагд, ВцИосй, НагЫп 111, Веагд, Эоу!е, Мапд Ьегй [11, Веагб, НагЫп 111 н Веагд, О*Соппе!1, %ез! 111, О су делителей многочлена над Га см. Сапабау [1). В статье 3о зеп !21 изучаются методы решета в кольце Гч !х1.
Связь меж' арифметикой в Гч [х1 и современной алгебрайческой геометре появляется в работе Оозз [3]. Квадратичный закон взаимности нормированных неприводимых многочленов над простым кон, ным полем Кр доказал Дедекинд (РедеЫпд [! 1), другое его док зательство дал Артин (Аг1]п [1 1); см. также Ъа]буапа(Ьазч ашу 1Т Высший закон взаимности для неприводимых многочленов произвольным конечным полем Гч был установлен К; (КйЬпе [11) и еще раз доказан Шмидтом ($сЬш[61 Р. К. и Карлицом (Саг1Вз [11, [21, [41); см. также Оге 161, Рос]гИ' 1оп 121, 5сЬч агг 121 н %Ы1ешап 111. Полиномиальные сравн " изучались в работах СагИг [71, 181, [91, [10], [111, 1171, Ьеп Е. 151, цао К. 1Ч.
[11, 121, 131, БЬадег [21, 13] н ской 12]. Карлиц (Саг]1]г !7 1) начал изучение функции 1г (1) = П ( — г(х)), где произведение берется по всем многочленам г (х) над.) степени, меньшей чем лт. Это изучение было продолжено работ Саг!Вг 1101, 119], 1201„[311 и Фадпег 111. О приложениях „ ких функций см. ВипйсЬиЬ 121, Саг]1(з 1119], Ое]]зе] [11, Дг' 111, !21, 131 и Фадпег 121, 131. В статье СагИх [18] вво полиномиальные аналоги круговых многочленов, а в статье Их 1231 — аналоги многочленов Бернулли для конечных по Теорема типа теоремы фон Штаудта для таких многочленов б доказана Карлицом (Саг1 ][к [24 1), она обобщает его же резуль из статей Саг11(г [!61, 1221; см. также СагИз 1251, О]скеу, Пез, ВЬап1с 111, Оозз 111, [21 и Негде1 П1, [21. Комментария 179 В работе СагИг [31 1 показано, что многочлены Г' Е Г» [х), облаДаюшие ДлЯ всех а Е "г» свойством Г (х + а) = Г (х), имеют вид Г (х) == ~'„сн (х» — х)', где сн Е К»; см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
