Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Применяя явную формулу из теоремы 3.27, доказзть свойства (а) (11 кругового мпогочлена нз упр 2.57. 3.36. Дскаэа|то ~тп КРУГОВОЙ МПОГОЧЛЕН Гея НЕПРЯВОДНМ НЗД ПОЛЕМ (Г, ПРН, условии, ао НОД 01, и) — 1, з том и только том случае, когда поназателгь к рону принадлежит д по молулю л, равен гр (и). 3.37. Пусть круговой многочлен ()а неприводнм над полем г'е. Доказать, ч а лолжно быть либо простым числом, сравнимым с щ3 по модулю 8, либо стФ пенью такого числа.
Показать также, что зто условие не является достаточным, 3.38. Доказать, що круговой много ~лен сгзь яепрвводнм над каждым канеч '- ныч полем, над которым он определен. 3.39. Пусть и С Н. Доказать гакое утверзкдекне: длн того чтобы сугцество-' нзло целое число Ь, взаимно простое с л и прннздлежзщее по модулю п покаэач телю гр (а), необходимо и джтзточно, щобы п бьдо одним из чисел 1, 2, 4, р~, нли 2р', где р -- нечетное простое число и г Е Р).
3.40. Теорема Днрихле о простых числах в арифметической прогрессий( утверждает, гщо любая целочисленная арифметическая прогрессия Ь, Ь+ и... ..., Ь ( Ьп, ..., где Ь С /,, и сс Р) н НОД (Ь, л) == 1, солержнт бесконечнах, много простых щсел. Применит~ ззу теорему для доказательства следтющего предложения: есд для натурального числа а существует конечное поле й'ч, такое, что НОД (4, н) ~ =-. 1 я круговой многочлен ()н ненрвводим над й ч, то число л может прнивм лишь следующие значения: 1, 2, 4, р' нлн 2р', где р — нечетное простое чн и г (- Ь(.
й 3.41. Доказать, что круговые многочлены О,а н ()зт над полем (ге им одну и ту же степеяь и неприводимы над а'а. 3.42. Пусть г'е — конечное поле, е ~ 1, НОД (е, д) = 1 и гл — пок тель, которому принадлежит число д по модулю е. Доказать, что произведен, всех нормированных неприводкмых многочленов степени гл н порядка е нэ й'Ч (Х является круговым многочлевом О, над Кч. 3.43. Найти разложение много щена хзз — х на непрнводимые сомнож в кольце Гз (х). ан 3.44. Вычислять многочлен I (2, 6; х) по формуле из теоремы 3.29. ЗАЗ.
Вычислить многочлен 1 (2, 6, х) по формуле из теоремы 3.31. ЗА6. Доказать, что 7(д, и; х)=- П ( ' — 1)н(нщ> Л(в ЗА7. Доказать, что нзд конечным полем нечетного порядка 4 многочла — (1 ф хыт ~1/т (1 — х)(е~-~1(т) 2 является квадратом некоторого многочлена. 3.48. Найти в кольце й'а (х) все неприводимые многочлсны степени 6 порядка 21, з также степени 294 и порядка 1029. Упражнения 3,49.
Найти в кольце Гз [х) все нормированные непрнводимые многочлены епеии 3 н порядка 26, а также степени 6 и порядка 104. з.59. Тем же способом, что и в примере 3.41, выясннтгч какие из много- членов [г неприводнмы в кольце Гч [х] для случая 4 = 5, ш = 4, е = 78.
З.51. В обозначениях примера 3.4! доказать, что если г — такое простое число, что г — 1 делит число е — 1, то многочлен [г непрнводнм в кольце Гр [х] 3,52. В обозначениях примера 3.4! для данного непрнводнмого многочлеиа ) (х) —.— хз — хэ+ х+ 1 над полем Г, найти матричным способом многочлены [р а (р. 3.53. Найти многочлеиы [р и [р нз пРедыдУщего УпРажненнЯ с помощью теоремы 3.39, 3,54, Представить все элемеитм группы Г,*р через корень примитивного миогочлена хз — х+ 1 над Г, н найти миннмальийе многочлены над Гр для всех элементов поля Грп 3.55.
Пусть 0 ц Гм — корень непрнводимого многочлеиа х' + х + 1 ц С Г [х]. Найти минимальный многочлеи элемента [) = 1 + 0' + Оз нвд по. лем Гр. З.56. ПУСТЬ О Ц Гы — КОРЕИЬ НЕЦРИВОДНМОГО МНОГОЧЛЕНа Х'+ ХР+ ХЗ+ + х; 1 ~ Г, ]х), Найти минимальный миогочлен элемента [) = 1+ О+ ОР нзд полем Гр. 3.57. Найти все примитивные многочлены степени 2 иад полем Гз. 3.58.
Нзйтн все примитивные многочлены степени 2 над полем Гр. 3.59. Найти примитивный многочлен степени 3 над полем Г,. з.бб. Разложить многочлен д ц Гр [х) из примера 3.44 в кольце Гр [х] д~я получения примитивных многочленов над полем Гр. 3.61. Разложить многочлен д ц Гр [х] из примера 3.45 в кольце Гр 1х] для получения примитивных многочленов над полем Г,. 3.62. Найти корни следующих лниеариэоваиных многочленов нз полей рзиоження этих многочленов: (з) Е (х) = х'+ х'+ х'+ х Е Г, [х1; (Ь) Е (х) = х'+ х ~ Г, [х]. 3.63, Найти корни следующих многочленов в указанных полях, предварн. тельно определив нк аффинные кратные: (а) [ (х) = хт+ хе+ хз+ хе+ 1 ц Гр [х] в Гм', (Ь) [(х) = хе+ Охз — хэ — (О+ 1) х+ 1 — 0 й Гр [х] в Гш, где О— корень многочленз хр — х — ! к Гр [х].
3 64. Доказать что для каждого многочлена [ положительной степени над полем Г рр существует ненулевой д-многочлен над Г, который делится ив [. ч яр» 3.65. Доказать, что наибольший общий делитель двух нли более ненулевых Ч многочленов над полем Г,„снова является ч.многочленом, но их наименьшее чэр общее кратное не обязательно является д.многочленом. 3.66. Найти наибольший общий делитель двух линеаризоваяиых много- членов: (а) 1-, (х) = хр'+ х'р+ хз+ х'+ х'+ х Р Г, [х], Ер (х) = х" + х'+ х'+ х Е Г, [х[: (Ь) Е, (х) = хьм — х" — х'+ хз+ х ~ Г, [х), Е, (х) = хзг+ х ~ Гз [х[.
3 67 Найти сима иче кое разложение следующих линеаризованных мно- гочленов на символически непринодимые сомножителя иад указанными простыми пазямн: (а) Е (х) =- хм+ х'Р+ хз+ хе+ х*+ х Е Гр [х); (Ь) Е (х) = хзт — хз хз — х ~ Гр [х1. 3 68. Доказать, что д-многочлен Е, (х) над полем 1Г,„делит д-многочлен (х) над Гчар в том и только том случае, если Е (х) = Еэ [х) ~3 Ез (х) для неко.
торосе д-мйогочлена Ез (х) иад Г,„. Гл. 3. Многочлены над конечными полями 184 3.39. Доказать, что наибольший общий делитель двух илн более аффи' ных д-многочленов над полем К м, не равных нулю одновременно, явля д аффннным д-многочленом. 3.70. Пусть Ат (х) = (.т (х) — и, н Аз (х) = — (.а (х) — сга — два аффинн ' д-многочлена над полем Гч,„. Доиазать, что если А, (х) делит Аэ (х), то Ч.ми член (., (х) делит д.многочлен (.з (х). 3.71.
Пусть /(х) Е (Гд [х] — неприводимый многочлен, такой, что /(б) ~ О, и пусть г" (к) — лнйеарнзовааный д-ассоциированный с ннм многочл Доказать, что многочлен г (х)/х иеприводим в кольце Гд [х] тогда и тсаь ' тогда, когда /(к) является примитивным многочленом над Гд нли отлнча от такого многочлена ненулевым постоянным множителем. 3.72. Пусть ~ — элемент из конечного расширения поля в',„. Доказа д что ь является корнем д-многочлена К (х) над Г,„тогда и только тогда, ко! д К (х) делится на минимальный д-многочлен элемента ь над Г ш. 3.73. Доказать, что для ненулевого многочлена / Е г'д [хд] Е Ф (б) =дача!!1, где сумма распространяется на все нормированные делители я Е Гд [х] м члена /, а функция Фд введена перед леммой 3.69.
3.74. Для ненулевого многочлена / Е Гд [х] н многочлена д с [Гд [ удовлетворяющих условию НОД (/, д) = 1, доказать, что й ж 1 (гпоб/), й = Фд (/). 3.73. Определим функцию рд на множестве 5 ненулевых многочлеиов: нз кольца Гд [х! следующим образом: р (/) = 1, если бей (/) = 0; рд (/) ж, если / имеет хотя бы один кратный корендп рд (/) = ( — 1), если бей (/);,а;. а / имеет лишь простые корни н х — число непрйводимых сомножителей в к ническом разложении многочлена / в кольце !Гд [х].
Доказать следующие ства: / 1, если бей (/) =- О, ( О, если бей (/) > 1; (о) рд(/д) = рд[/) рд(д) для всех /, д Е 5, таких, что НОД (/, я) (с) ~дача !Я!рд (//а) = Фд(/) для всех / Е 5; (б) если ф — отображение из 5 в адднтивную абелеву группу 6, облад свойством ф (с/) = ф (/) для всех с Е Гд и / Е 5, и Ч' (/) = дтд ф (й) для / с 5, то ф (/) = хд рд (//а) Ч' (а) = хд рд (й) Ч'(//д) для всех / с 5. Здесь Х обозначает сумму, распространенную на все нормированные д тели й Ь $д [х] многочлена /.
3.76. Доказать, что число различных нормальных базисов поля Г ш !Гд равно при условии, что НОД (ш, д) = ! н показатель, которому принадлежит чи по модулю т, равен ф (ш!. 3 77. Определение автодуального базиса было дано в примере 2 3! . Пока что при нечетном числе т автодуальный базис поля Г над Г существ (Указание. Показать предварительно, что число различных нормальных баз, поля Г,„над Гэ нечетно, если нечетно число ш.) ям 3.73. Доказать, что если г — пРостое число и а Е (Гд, то либо ДвУ . х' — а непрнводим в кольце Гд [х], либо он имеет корень в поле а',.
Упражнения 3,79, Доказать, что если г — нечетное простое число, л й р( и а Е Кд, л многочлен хг — а неприводим в кольце К» [х) тогда и только тогда, когда лемент а ие является г-й степенью элемента из Г», 3 89 Найти каноническое разложение над указанными простыми полямн ,летующих двучленов: (а) / (х) = хз + 1 Е Кз [х[; (Ь) / (х) = хзт — 4 ~ 1Г,» [х1; ( ) / (х) =- х — (О с Г [х1.
3 81, Доказать, что в условиях теоремы 3.76 корни введенного там много- членз Г (х) просты. 3 82. Доказать, что результант двух двучлеиов хт — а н х" — Ь в польце Г [х[ задается выражением ( — !)т (Ь~/» — ал/з)", где Ф = НОД (т, л). Здесь ,л и л рассматриваются как формальные степени этих двучленов (ср. с оп- ределением 1.93), 3 83. Пусть Ь вЂ” ненулевой элемент из простого поля Кр. Допевать, что трех- »лен хд — х — Ь неприводнм в кольце Г „[х[ тогда и только тогда, когда л не дев лится нд р. 3,88.
Доказать, что любой трехчлен вида х» — ах — Ь Е Г» [х[ при а Ф! алеет корень в поле Г». 3.85. доказать такое предложение: если трехчлен хя — х — а неприводим над полем Гд характеристики р н [) — корень этого трехчлена в некотором рас- щнреннн поля К», то трехчлен ха — х — а[)~ неприводим над полем Г»(8). р — ! 3.86. Доказать следующее предложение: если /(х) = х + а ххт !+ ...
+ ໠— неприводимый миогочлен иад полем К» характеристики р и Ь вЂ” такой элемент из К», что Тг (тЬ вЂ” а,) =- О, то многочлен /(хл — х — Ь) раз- Г» летается в произведение р неприводимых сомножителей над Г степени т. 3.87. Доказать, что если т и р — различные простые числа и число р по т — ! модулю т принадлежит показателю т — 1, то многочлен ~ (хв — х)' нег=о приводим нзд полем Гп. 3.88, Найти каноническое разложение иад указанными полями следующих много»хенов: (з) /(х) = хз — ах — ! ч 1Г,» [х1, где а удовлетворяет равенству ссз = (П) /(х) =- хэ — ах+ а Е К» [х1,гдеаудовлетворяетравенствусс' = се+ 1.
3.89. Пусть А (х) = й (х) — а Е Г» [х1 — аффинный р-многочлеи степ»на г ) 2 н й (х) — такой р-многочлен йад К», что многочлен Т, (х)/х неприво- днч над полем $'». доказать, что А (х) является произведением линейного миогочзепз н непрнводимого многочлена над Г» степени г — !. 3.90. Доказать, что трехчлен х" + ах" + Ь Е [Г» [х[, л > 3~1, при де~нам числе» имеет кратные корни в том и только том случае, если оба числа л н Ь тоже четны.
3.91. Доказать, что степень каждого неприводимого делителя трехчлена х + 1 в кольце Гз [х[ делит число 2л. щ, 3 92. Доказать, что степень каждого непрнводимого делителя трехчлеиа " + х+ 1 в кольце Кз [х[ делит число Зл. 3 93. Доказать, что если / ~ Ез [х[ — самовозвратный многочлен (см. Упр 3.!3) положительной степени, то он делит некоторый трехчлен нз Г [х1 лнп з - нпщ в том случае, если огб (/) делится на 3. доказать также, что обратное утверждение справедливо, если многочлеи / неприводнм над полем Гз. 186 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
