Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 39
Текст из файла (страница 39)
71 и Исйзоп 17, раг1 !, сЬ, 31. О теоремах 3.8 н 3.9 см., например, загс(15!. Простой метод определения огб (Он для непрнводимого над простым полем,„гн многочлена ! степени п$, в случае, когда (р'" — 1).'(р — 1) — простое число, предложеяГараковым в 12). Как уже отмечалось в основном тексте, порядо$п' многочлена (см, определение 3,2) иногда называют также пери дом (Вег1ейавр 14)) или зкспонентой (Л1Ьег! !31, $))синоп 171 этого многочлена, Понятие порядка многочлена от иесколькия) переменных было введено Лонгом ($.опп 1$1, (2!). Для многочлв'." на Г (х) над Гч, удовлетворяющего условию ) (О) Ф О„наименьшеЫ натуральное число г, такое, что 1(х) делит двучлен х' — с прн; некотором с Р Гч, называется приаеденным порядком этого много: члена; его называют еще интегральным порядком (Вазе, СЬотч)а, Рао 11 1) нли сибзкспонентой (Н!гзсй!е!б 141, !51) многочлена 7 (х), Связь между порядком и приведенным порядком непрнводимога,.
многочлена неявно указана встатье %ап! 151; ср. также с лемма(),: 3.$7. Таблицы неприводнмых многочленов и их порядков имеются,' например, в следу1ощих работах: СЬапд, бог)и1п 11), Оо1овЬ: 14, сЬ. 31, МагзЬ 1! 1 и МсЕВесе 131 (см. также гл. !О этой книги). Ключевым моментом при отьвканин порядков пеприводимых,. многочленов является разложение на множители чисел вида д — !., Укажем некоторые источники, где можно найти такие разложения. Классические таблицы таких разложений имеются в работах Сцпп!пдЬапп Ъооба11 1! ), Сцпп!ппЬав 1$1 и Кга1(сЫ)с !$1, Комментарии !69 В статьях [.еЬшег Р. Н. !41, 151 развит эффективный метод решета для делителей чисел вида д'" — 1, а в статьях 1.еЬтег Р.
Н. (2), (31, 171, Н01 — различные методы для проверки на простоту и разложения на множители чисел такого вида; см. ~виже КгайсЬГК [21 и Мзйег Л. С. Р. [11. В статье ВпПЬаг1, 5еПгй1де [1 1 дается список полных разложений чисел вида 2 — 1, а в работе ВпПЬаг1, [.еЬшег, 5е![г!т[яе 111 приводятся дальнейшие сведения о разложении чисел такого вида. Обзор различных методов разложения дается в работах Кпцрп 13, сЬ. 41 и %ПП- ашв Н. С.
(21, В связи с определением 3.12 отметим интересный класс самоесзвратных многочленсв, т. е. таких многочленов 7, для которых 1* —. 7 (см. также упр. 3.13 — 3.15, 3.24 и 3.93). В статье [.еч!пе, Вгазч!еу [1] определяется число нормированных неприводимых свмовозвратных многочленов данной степени (равной 2 или 4), а в статье СагП!х 11051 та же задача решается для многочленов любой четной степени. По поводу дальнейших результатов о само- возвратных многочленах см. также Ргедшап 11), бо!ошЬ (5), Нопй, Воввеп (1], М1Пег й. Ь. 111 и Варшамов, Гараков [1].
Б работах Кпее, Оо!йпап (11 и ].еч[пе, Вгав!еу (11 изучаются кеаэисамсеозвратные многочлены, т. е. такие миогочлеиы, для которых 1'" = ~)'. В статье А1Ьег[ 15] свойство двух неприводимых миогочленов одинаковой степени над (Г, быть возвратными друг к другу описывается при помощи многочленов, корнями которых являются произведения корней исходных многочленов. В связи с теоремой 3.14 см. СЬапя, Ообзч!п 111.
В статье Мас%!Гпаш, Ойдо (11 связь между разложением многочлена и разложением возвратного к нему многочлена использована для опровержения гипотезы о корреляции конечных последовательностей из поля Гм Примитивные многочлены называются еще индексирующими (!пдех!пя) многочленами (см.
А!апеп, Кпп!Ь 121 и Вця!тпо!о 111). Конечно, такие многочлены тесно связаны с примитивными элементами конечных полей. Ватсон (%а[воп Е, Л. 111) приводит список, где указано по одному примитивному многочлену над Гв для всех степеней и ««100, а в статье 5[аЬп[се [11 — для всех степеней п ( 168. В статье 5ця!шо1о 111 приводится таблица примитивных многочленов над простыми полями Гр для 3 ~ "=: р ««47. Списки примитивных многочленов имеются также в следующих источниках: А!апеп, Кпц1Ь 111, [21, Вцввеу 111, [21, МагвЬ (1), Ре1егвоп, %е(боп 11], а также в гл. 10 настоящей книги.
В статье Вове, СЬозч!а, Йао [11, 121 дается характеризация примитивных многочленов степеней 2 и 3. Карлиц (СагП[х [96!) показал, что над полем Гч сУществУет в точности один пРимитивиый многочлен степени и лишь в случаях, когда а = 2, н «( 2 или д = 3, п = !. В статьях Веагд [5] и Веаго, %ев! И] !70 Гл.
3. Многочлены над конечнымн полями продолжено изучение примитивных элементов и примитив миогочленов, начатое Карлицом (СагИ!х [35)). В работе В!1Ь 11] доказан для примитивных многочленов аналог гипотезы тина (АгНп 1! ]) о первообразных корнях при определены ' предположении о местонахождении нулей конгруэнц-дзета-фу ' ций (см. об этих функциях комментарии к 34 гл. 8), Это предп жение было доказано Дэвенпортом (Рачепрог1 17 !) и в более си ' ной форме А. Вейлем (%еИ [! ], (2], [3)). В статье Вгони, Е ' зепЬацз 11] изучается относительная частота простых чисел для которых заданный неприводимый над полем рациональных ч, сел ь) многочлеи с целыми коэффициентами будет примитив многочленом по модулю р, Мирончиков 11! доказал связан с теоремой 3.!6 результат о том, что многочлен / ~ Га [х] приводим над Г„если бед(/) = 2т и огг[()) = 2'"+ 1, где ' четно. В работе Аяои [12) получена характеризация неприводи многочленов заданного порядка, а значит, в частности, и при тивных многочленов.
Теорема 3.18 доказана в работе А!ап ' КпцГЬ [2) для конечных простых полей. В статьях Н!гзсЬ!е!г[ [ ' [5] изучались подпримитивиае миогочлены, т. е. такие миогочле" над полем Гя некоторой степени т, которые имеют приведен порядок (7 — !)/(д — !). В соответствии с теоремой 3. !8 ка примитивный многочлен над Гч является также подпримнтив В 2. Первое крупное исследование о неприводимых мн членах и неприводимых делителях многочленов от одной пере ной над полем Ге было проведено Диксоном (Р!с[сзоп !71),,' торый опирался на ранние работы Зогдап С.
[2), РаИе! 17 ' 5егге1 12], [4). Теорема 3.25 была доказана еще Гауссом (6 14)) для случая конечных простых полей; см. также Рег[е]г!пг[. и БсЬопевапп 13]. Доказательства этой теоремы можно н также в следующих источниках: А1Ьег! [3, сЬ. 5], ВасЬ 14, сЬ. 7), Вег!е]гавр 14, сЬ. 3), Р!с)гзоп 17, раг! 1, сЬ. 21„.: дег [! ], 5егге! 13], 5!ввопз 1! ! и чап г[е апогея-чап чгееп.; ' Общая теория функций Мебиуса и обращения Мебиуса была вита Рота (Ко!а 1! ]), Некоторые общие принципы, леж „ в основе подсчета числа неприводимых многочленов, были заны Фредманом (ггейпап 11!).
Ленской (11 и Вильямс ( Иавз К. 5. 111!) получили асимптотические формулы для ч нормированных неприводимых многочлеиов над Ге степ < и и степени а соответственно. Об абстрактной точке зре, на такие формулы см. Кпор[васЬег [! ), [2]. Карлиц (Саг]Ив 1 обобщил результат Диксона (Р!с[сноп [29)), дав асимптотичес формулу для числа неприводимых многочленов над Ге с нек, рыми заранее заданными коэффициентами; см. также СоЬеп Ва 17], Ргезз [1], Науез [21, ()с!Иуава 1! ), [4], %!И!авз К.
5. [' и Варшамов (31, 15), В статьях ).еч!пе, Вгатч1еу 1! ], СагИ!х Н и Ггебвап [11 изучается число нормированных неприводн Комментнрнн 171 амовозвратных многочленов фиксированной степени. Фредман (ргейпап 1! 1) обсуждает также подсчет числа неприводимых многочленов других типов, В работе Сео!отЬ [6) установлено взаимно однозначное соответствие между неприводимыми многочленами степени л над полем Ге и непериодическими ожерельями из а бусинок д разных цветов и тем самым определено число таких ожерелий. См. также статью М!!1ег К. ] .
11! о других вычислительных задачах. В связи с теоремой 3.27 напомним, что ссылки на работы о круговых многочленах собраны в комментариях к э 4 гл. 2. Формула для У (д, и; х) в теореме 3.29 по ауществу принадлежит Дедекинду ([)ее]еЬ[пб 1! 1); см. также Вегге! 121, 141, 151, Исйэоп 131, !7, раг[, 1, сЬ. 21, Вас$ипапп [4, сЬ. 7! и А!Ьег! !3, сЬ.
51. Карлиц (СагШх 131) доказал формулы для наименьн~его общего кратного (см. также 1та! Ьег 11 1) и для произведения всех нормированных многочленов над Гч фиксированной степени (см, также%!11!тз К. 5. [26 1). Последнюю формулу можно применять также при вычислении произведений характеристических многочленов для некоторых классов матриц над Ге (см. СагШг1104 1). Таблицы неприводимых многочленов можно найти в следующих источниках: А!апеп, Кпц!Ь [1], 12], Вцззеу 111, 12), СЬапя, Осам! и [11, СЬцгсЬ 111, бо!овЬ 14, сЬ. 31, МагзЬ 1! ], Мозз!яе 111, Ре!егзоп, Же!акоп 1! ], Гараков [31 и в гл. 10 настоящей книги. В работе Сопъау 111 приведены фрагменты более полных таблиц для конечных полей порядков р" ( 1024 (р — простое число, л > 2), в которых для каждого элемента такого поля указываются его характеристический и минимальный многочлены над каждым собственным подполем; см.
также гл. !О (э ! и таблицу В) этой книги. Неприводимые кубические многочлены были подробно изучены в следующих работах: Са]Пег 11], СагИг 11031, ])!сйзоп 191, 1291, М[г!гпапо[( 111, %Ш[агпз К. $. 132] и Гельфанд 11), [21. О неприводимых многочленах четвертой степени см. А!Ьег! [3, сЬ. 51, Саг!Вх 173], 11031, Ис1сзоп 191, 1еопагс1, %Ш]ащз 1! 1 и %о!ещ [4]. Серре (Багге! 141, 15)) и Диксон (Исйзоп 131, [7, раг! 1, сЬ. 31) охарактеризовали такие неприводимые много- члены, степени которых являкпся степенями характеристики ос"овиого конечного поля. В статье Оо1отЬ, ].еюре! [1] изучаются непряводимые многочлены, задаваемые рекуррентиыми соотнощсниями второго порядка, О неприводимых двучленах н трехчленах см.
9 5 и комментарии к нему. Агу в статьях Аяоп [11, 131 показал, что ноРмиРованный многочлен 7 (х) над Ге степени л )~ ! неприводим над Г, тогда и только тогда, когда ой делит коэффициенты следующего многочлена от у: (у — х)(у — х )... (у — хе" 1) — ~(у); Гл. 3. Миогочлеим ннл конечными ноллин в работе Адоц 131 он дает аналогичный критерий того, чтобы дан-; ный нормированный многочлен был степенью неприводимог многочлена. В работе того же автора Адоп 191 найден критерий': иеприводнмости над Г многочлена т'(д(х)), где», д с- Гч [х! —" нормированные многочлены, причем ! (х) неприводпм над Этот критерий ои использует в статьях Адоп 19). 1!31, 1151„ 1161 для характеризации неприводимых мяогочленов иекоторы»г специальных типов, таких, как 1 (хи' — ах), ) (х' — х — Ьу н др.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
