Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 36
Текст из файла (страница 36)
М (х) = ~ у,хд, у=о где То=1. Тэ67д, и допустим, что элемент ь является корнем у-многочлена р К(х) = ~„'а„хд, где г~1, аь ~Го . о=о Полагая э = г — 1 и у; =- 0 для 1 < О, рассмотрим систему из 1 линейных уравнений относительно э + 1 неизвестных (1„ до, дЗ Ро + 7~ — ~Р1 + 7~-оро -'г + 7~ — д рд = аы до рр р1 + Ъ |ро + ° + 7~ —,+1р, = а~+и рд-1 + 71-1 рр = ~Ь-1~ р,=а,.
Доказательство. Если К (х) =- Е (х) 8 М (х) =- Е, (М (х)), то сразу получаем, что К (ь) = О. Обратно, пусть Гл. 3. Много шеям нял коне ннямн полями !Об Ясно, что эта система имеет единственное решение ф,н (з„..., р,), Гдс (), ',- Г„нм О::. ! =:, К ВВЕДЕМ МНОГОЧЛЕНЫ Х. (х) =- ~н Х); т' и ХХ (х) .= К (х) — Х.(М (х)), о ХХ (х) =- ~ яяхн — ~а ))е ~ ~~ у;х' ) е=:о о оо и и — Еп„,л" Хр,ху,анхо = л.=о 1 - о /'-.=о г л ' Б --Х-„."- Х1К ' р,)."' я ~~ у),();1х' . В силу выбора элементов (); мпогочлен ХХ (х) имеет степень нз)'., Но так как ХХ (Г) К (Х) — Х. (М (гВ -- О, то нз определения"" многочлена М (х) вытекает, что ХХ (х) —. пулевой многочлсн.Сле- ° довательно, К (х) — Х. (М (х)) - !. (х) 8 М (х) П Обозначим теперь через Кь число д-первообразных над корней ненулевого о-мпогочлена Х.
(х) над;.'я. Рассмотрим задачу нахождения Ю,. Если е)-многочлен Х. (х) имеет кратные корни,, то по теореме 3.65 можно написать Х, (х) =- Х., (х)я, где Х, (х) —, некоторый д-многочлен над з'н Так как каждый корень много- члена Х. (х) является в то же время и корнем многочлена Х., (х), топ й!, =- О, Таким образом. можно предположить, что многочлен Х. (х) имеет лишь простые корни. Если <1ец (Х. (х)) -- (, то, оче-, видно, Л', = !. Если же !. (х) — многочлеи степени д" .л 1' н, кроме того, нормирован (это предположение не ограничивает' общности), то пусть !, (х) — Хн (х) ~>... ® !., (ХУ бз ... ® Х., (х) ~Р ... 6) Х.,(л) е '1 — символическое разложение !.
(х) в символическое произ ведение различных нормировшшых символически неприводимых., д-многочленов Х., (х), ..., Х.„(х) над Ен Мы получим тело й(ь '. вычитая из полного числа г)н корней многочлена Х (х) число таких корней этого миогочлепа, которые в то же время являются корнями каких-либо ненулевых ~Х-мпогочленов над Ен степени, мень", шей чем Хн. Если Х вЂ” один из таких корнев мйогочлена Х(х),,' и М (х) — его минима.льный д-многочлен над Ея, то бец (М (х)) <';, Х", так что по теореме 3.68 многочлен М (х) сймволпчески дели4' $ 4. Линеариаованные многочлены 157 1. (х). Отсюда следует, что М (х) символически делит один из таких многочленов К; (х), 1 ( 1 «~ г, который получается из символического разложения 1. (х) исключением одного символн.
~еского сомножителя Е; (х), и тогда, согласно теореме 3.68, К, (ь) = О. Поскольку каждый корень многочлена К; (х) является в то же время и корнем многочлена 1. (х), мы видим, что число йУс получается вычитанием из д" числа элементов Ь, которые являются корнями каких-либо многочленов К;(х). Если степень многочлена 1.;(х) равна д"', то степень (а значит, и число корней) многочлена К, (х) равна у" "У, Если при з < г индексы 1,, ..., 1, различны* 1 . 1; ~ г, то число общих корней многочленов К; (х), ..., К; (х) равно степени их наибольшего общего делителя, которая совпадает со степенью их наибольшего общего символического делителя (см.
рассуждение после примера 3.64). Используя символические разложения, находим, что эта степень равна и — о. —...— е. д у1 уа Применяя теперь комбинаторный принцип включения-исключения, получаем окончательно, что Г В ~ л л ' ~1 а "и Йу ) ( 1 е и и ... о у=! ' ыаув уме = у" (1 — у " )... (1 — у " ).
Это выражение можно интерпретировать и иначе. Пусть 1(х) есть а-ассоциированный с 1. (х) многочлен. Тогда 1(х) = — 1, (х)6... 1, (х)'е — каноническое разложение многочлена 1(х) в кольце Г [х!, где 1р (х) есть д-ассоциированный с (.у (х) многочлен, ! 1 ( г. Определим аналог функции Эйлера ер (см. упр, 1.4) для ненулевого чпогочлена 1 (х) Е Ке (х), обозначая через Фе (1 (х)) = Фа (1) число взаимно простых с 1(х) многочленов степени, меньшей дсй (1), из Ге (х!. Тогда из следующего результата вытекает, то Ус =- Фе (1(х)).
3.69. Лемма. Функция Фе (у), определенная выше для ненулевых многочленов у' Е Ке (х), обладает следующими свойствами: (1) Фе (1) = 1, если йен (1) = — О; (11) Ф (ф) = Ф (7) Ф (у), если ИОД(1, д) = 1; (И) если бек (1) = и > 1, то Ф,е=-у" (1 — у "') (1 — у "'). где п„..., и„— степени розличных нормированных неприводимых сомножителей из канонического разложения многочлена в Гя (х), Гл. 3. Многочлены над конечными полями Доказательство.
Свойство (1) тривиально. Перейдем к свойст ' (В). Положим Ф, (1) = з и Ф, (у) = й и пусть )ы ..., 1, (соот ственно йы ..., й,) — все многочлены из !'» [х[, взаимно п етые с 1 (соответственно с й), степени которых меньше деа (соответственно бей (у)). Если й Е Т» [х! — многочлен степен меньшей чем бей (ф), взаимно простой с произведением ф, то ' взаимно прост также и с каждым из многочленов ) и й. Поэто найдутся однозначно определенные числа 1 и 1', 1 (1 ( з, ! (1 ( й такие, что й г— е Г; (шод)') и й г— е й; (вод й).
С друг стороны, согласно китайской теореме об остатках для коль [['» [х! (см. упр. 1.37), для каждой упорядоченной пары (1, 1 ( ! ( з, 1 ( 1 ( 1, существует однозначно определенный гочлен й (х) ~ Ь» [х! степени ден (й) ( бей(ф), обладаю свойством й = 1; (вод(), И ге йт(шойй). Отсюда следует, й (х) взаимно прост с каждым из многочленов 7 (х) и й (х), а з чит, и с их произведением ! (х) а (х). Поэтому существует взаи однозначное соответствие между зг упорядоченными парами (1, и многочленами й (х) ~ Г [х[, такими, что бей(й) ( бей и НОД (й, ф) = 1.
Следовательно, Ф» ()а) = з! = Ф» Щ Ф» Для натурального числа е и неприводимого многочлеиа Ь„ Е Е» [х! степени т число Ф» (Ь') можно подсчитать непос ствейно. Если многочлен й Е К» [х ! степени, меньшей бей (Ь') = те, не взаимно прост с Ь', то он делится на Ь и пот имеет вид й = Ьй, где ден (а) ( ет — т.
Такой многочлен в [г'» [х! можно выбрать д' различными способами. Ото " вытекает, что Ф (Ьа) = д' — д' — = д' (1 — д — ). Свой (111) теперь следует из (В). 3.70. Теорема. Пусть 7. (х) — ненулевой д-многочлен над,' и ! (х) есть д-ассоциированный с ним многочлен. Тогда число д-первообразных над Е» корней много»лена а'. (х) равно О, 7. (х) имеет кратные корни, и равно Ф» (! (х)), если ь (х) и простые корни. Доказательство. Утверждение теоремы вытекает из леммы $ и предшествующего ей рассуждения.
3.71. Следствие. Каждый ненулевой д-многочлен над К» с и етыми корнями имеет хотя бы один д-первообразный йад '. корень. Выше было введено понятие д-модуля. Полученные результ о д-первообразных корнях можно использовать для построй' особого типа базиса для д-модуля. 3.72. Теорема. Для д-модуля М размерности т )~ 1 над[ существует такой элемент ь Е М, что [ь ь», ь» ., Р базис М над [['».
4 4. Лннеарнаонанные ыногочлены Доказательство. Согласно теореме 3.65, 7. (х) = П (х — р) а6м является д-многочленом над К». В силу следствия 3.71 этот много- член имеет а-первообразный корень ь над Г . Поэтому ь, ь», являются элементами д-модуля М. Если бы они были линейно зависимыми над К», то элемент ь был бы корнем некоторого ненулевого д-многочлена над Г» степени <бед (7. (х)) = а , что противоречит определению д-йервообразного над К» корня многочлена 7. (х). Поэтому указанные выше т элементов линейно независимы над К» и, следовательно, образуют базис 1-модуля М над К». П 3.73. Теорема.
В поле Кд имеется ровно Ф» (х'" — 1) различных элементов ь, для которых )ь, ь», ь»', ..., и» ') является базисом К» в над К». Доказательство. Так как поле К»~ можно рассматривать как с-модуль, то доказательство получается применением теоремы 3.72. Здесь в силу леммы 2.4 1.(х)= П (х — р)=х» — х, а6Г т и каждому д-первообразному над К корню ь многочлена Т. (х) соответствует базис указанного вида. С другой стороны, если элемент ь Е Р»~ не является д-первообразным над К» корнем миогочлена 7. (х), то элементы ь, ь», ь», ..., "ь»' линейно зависимы над ))"» и, следовательно, не образуют базис в К ~ над Г», Значит, число элементов ь Е Г»е, для которых )ь, ь», ь»', ') является базисом ))' ~ над У», совпадает с числом д-перво- образных корней над К» многочлейа 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
