Р. Лидл, Г. Нидеррайтер - Конечные поля. Т. 1 (1988) (1127099), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Значит, число й, а также й н г можно легко определить. Для вычисления характеристического многочлена Гс элемента ас с- Кчм над Кч существует несколько способов. Один из них основай на использовании связи между многочленом )'с и исходным многочленом ). 3.39. Теорема. Пусть | — нормированный неприводимый много- член степени т из Г (х). Пусть а Е Ге, — какой-либо корень эпюго многочлена, и для 1 Е ес! пусть ~с — характеристический многочлен элемента а' Е 'г'чм над Гч. Тогда 1с (х') =- ( — 1)ы сс+и П ) (соэх)„ с=! где со„..., сос — корни степени 1 из единица над Кч с учетом их кратности.
Доказательство. Пусть а =- а„а„..., а — все корни многочлепа )'. Тогда а„..., а — коРни многочлена гс с Учетом их с кратности. Поэтому )с(хс) = П (х" — ас) = П П (х — ассос) = с с=с!=с = П П со; (со!'х — ас). Гл, 3. Мне!очлены ннл конечными полями Сравнивая коэффициенты в равенстве х' -- 1 =- П (х — о!,), 1==! полунаем, что П ы, == ( — 1)!-н!, так что у= — ! г! (хе) = ( — 1)м™ !с-! '! П П (го 'х - - и!) == !.= ! ~ =.! = ( — 1 ) "' !' ы ! П ! (! ! х) = ( — 1 ) ! 'е' ! П ! (о!,х), !== ! поскольку о!!', ..., о!„' пробегак>т в точности все корни степени 1' из единицы над Гч.
3.40. Пример. Расея!отрим неприводимый многочлсн !' (х) = ' =-= хл -1 х -т- 1 ~ (ге !х!, Чтобы вычислить Гн, заметим, что корни третьей степени нз единицы над Гн сут! 1, ы и о!Я, где ы — — корень, многочлена х' -! х + 1, принадлежа!цпй полю ~7,.
Тогда 1".! (хн) — (.. 1)'н ( (х) Г (о)х) ! (о,кх) (х' -!- х + 1) (ых' + ых + 1) (о!ях' + ыях 1- 1) = =- хы ,.' х'+ хн Ч хн; так что гн (х) — х' -!- хн -!- хн Ч- х 4 П Другой способ отыскания характеристического многочлена ~~,' элемента се' базируется на теории матриц. !!усть 1 (х) == х — а ! х'" ' — ...
— а!х — ан, н пУсть Л вЂ” гопРоножда>он1ал мапг! ри!(а многочлена г, определяемая как т х внматрица вида 0 0 ... 0 1 0 0 0 ! .. 0 ~0 0 1 а Тогда !" является хо!!актерпсгпичсски,н много!!гном матрицы М в смысле линейной алгебры, т, е, 1!х) - де1 (хУ вЂ” Л), где 1 единичная т ',; т-матрица над Г„. Для каждого 1 ~ 'н") много' член г! является характеристическим мпогочлепом для Ьй степе; нн Л' матрицы Л. Так, вычисляя сгепени матрицы,4, ножн получить многочлены 1!, 3.41. Пример. Интересно выяснить, какие пз многочлено' )! являются ненриводимыми в кольце !ч (х). Из рассуждени 4 3. Построение иеприводииых ииогочлеиов предшествующего теореме 3.39, сразу следует, что характеристический многочлен 7г элемента и' ~ Гд~ над Гд будет неприводим в Гд (х ) тогда и только тогда, когда он совпадает с минимальным многочленом хгг элемента а' над 1гд, т.
е. когда бек (пе) = лч, а для этого необходимо и достаточно, чтобы т было показателем, которому принадлежит 4 по модулю г( =- е/НОД (1, е), Рассмотрим, например, случай г) = 2, т == 6, и = 63. Так как показатель, которому принадлежит число г) по модулю какого-нибудь делителя числа е, должен быть делителем числа т, то кроме дп возможны лишь показатели и = 1, 2, 3. Для них г)е — 1 = 1, 3, 7, гак что сравнения 4е = — 1 (шод с() выполняются лишь при д = 1, 3, 7.
Таким образом, многочлен 7, приводим в кольце ге (х) как раз в случаях, когда НОД (1, 63) = 9, 21, 63. Поскольку достаточно рассмотреть лишь значения г, удовлетворяющие условию 1 < 1 63, то получаем, что многочлен 7, неприводим в кольце 11е (х) для всех значений 1 из указанного интервала, за исключением ( — — 9, 18, 21, 27, 36, 42, 45, 54, 63. П На практике неприводимые многочлены часто появляются как минимальные многочлены элементов какого-нибудь расширении исходного полн.
Если в проведенном выше рассуждении в качестве 7 взять примитивный многочлен над Кд, т. е. считать, что е = — 7 — 1, то степени элемента се будут пробегать все ненулевые элементы поля (ге~. Поэтому описанный выше метод можно применять для вычисления минимальных многочленов пад К всех элементов мультипликативной группы Г поля К Прямой метод нахождения минимальнык .иногочленов состоит в следующем. Пусть 0 — образующий элемент поля Кд~ как простого расширения поля Кд, так что (1, О, ..., 0 ') — базис Гд~ как векторного пространства над Гд. Чтобы найти минииальйый многочлен а элемента р ~ Г," йад Гд, выразим степени ре, р', „,, ~"' через базисные элементы.
Пусть для 1 «( 1 < <т+ 1 бг- = ~ Ь„0-. г=! Запишем многочлен я в виде а(х) = с х'" + ... + с,х + с . Нам нУжно, чтобы д был нормированным многочленом наименьшей степени, удовлетворяющим условиюй(~) = О. Это условией(~) = + ... + схр + сд = 0 приводит к однородной системе линейных уравнений т+! сг,Ь„=О, /=1,2, ..., лг, (3.10) 1=1 с неизвестными с„с„..., с . Пусть  — матрица коэффициентов этой системы, т. е. некоторая (ш+ 1) х лг-матрица В = (Ьм), Гл. 3. Мяогочлвяи овд коньчнимн ооляия и пусть ее ранг равен г. Тогда размерность пространства решений системы (3.10) равна з = т + 1 †- г, и поскольку 1 о г ( т, то 1 чч е < т.
Поэтому мы можем произвольно задать значения для з из т -1 1 нензвестпык с„ с,, ..., с„, и тогда остальные неизвестные определятся однозначно. Если е —: 1, мы положим, с ==1, а если з>1, то положим с =в:„,,=- ...= с =О„ас „,===1. 3,42. Пример.
Пусть 0 Е Гвв — корень непрнводнмого много- ' члена х'+ х+ 1 ь (гв 1х). Тогда для элемента () =- 0'+ Ов получаем () в ()а 1)в =.- 1+ гав )) в нов он в Поэтому матрица В имеет 1 0 1 8 О 0 1 Ов + О', Ов Ов О- 0', р Ов+О', Ов 01 02 О+ 0' 02 0 О О о 1 0 О 1 О О О 1 О 1 1 О О 1 0 и ее ранг г равен 3. Значит, з =- т + 1 — г =- 4, и мы полагаем св =- 1, с, = с, — — св =- О. Остальные коэффициенты определяем из системы (3.10) и получаем с, == 1, с, ==- О, с, =- 1, Следовательно, минимальный многочлен элемента 1) над К, равен и (х) = = хв+ хв+'1.
(:), Еще один метод нахождения минимальных многочленое основан: на теореме 3.33 (ч). Если требуется найти минимальный много- ' член и элемента 1) ~ Кч~ над Кч, то мы вычислЯем степени 1)ч", „пока не получим найменьшее натуральное число й,'1 для которого ))в -= (). Это целое число д является степенью многочлена е(, а сам этот многочлен задается формулой а(х) =- (х — )) ) (х — () ) ... (х -- () '). 3лементы 11, ра, рв', ..., ))в~ ~ являются разлнчпымн сопряженными с () элементами относительно поля Е„а и -- минимальный многочлен над Гч любого из зтнх элементов.
й 3. Построение неприводимых многочлеиов 3.43. Пример. Найдем минимальные многочлены над Ге для всех элементов поля г'те. Пусть ΠŠÄ— корень примитивного многочлена хе + х + 1 над г"„так что каждый ненулевой элемент нз поля Кте можно представить некоторой степенью элемента О. Для поля Гте получаем следующую таблицу индексов: 1~ О' 1 ~8' 1+0 О+О 1+0+0' О+О +О 1+0+0 +О 1+О +О Оз 8 9 1О 11 12 13 14 Ниже указываются минимальные многочлены элементов (1 поля Ктв пад полем Кв: — — О: й",(х) = х.
-= 1: яе (х) = х+ 1. 1~:=- О: различными сопряженными с 0 элементами относительно Ке являются О, 0', Ое, 0', н минимальный многочлен каждого из них равен Кв (х) = (х О) (х О ) (х О ) (х О ) = = х'+ х+ 1. б ==- От: различными сопряженными с От элементами относительно Кв являются бв, Ое, Ом, Ом = 8', и минимальным многочлейом каждого из них является л, (х) =- (х — О") (х — 0') (х — О') (х — О") = = х'+ хв + х'+ х+ 1. Р =- О'. так как р' =- (1, то различными сопряженными с О' относительно Кв элементами являются 8', 8", и соответствующий минимальный многочлен равен яв (х) =- (х — О') (х — О") = = хв+ х+!.
11 -- О'. различными сопряженными с О' элементами относительно гв являются О', 0'4, Ов' = Отв, 9" = О", и соответствующий минимальный многочлен равен я, (х) = (х — О') (х — 8") (х — О") (х — О") = = х4 + хв + 1 О 1 2 3 б б 7 1 О 0' Оз 1+8 О+О О'+ Ов 1+0+ Ов Гл. 3. Мкогочлены кал конечкммк полкмк 1зб Указанные элементы вместе с их сопряженными относительно !)' составляют поле 'гзв. П Важной проблемой является нахождение прил1игпианых много- членог. Один из подходов основан на том факте, что произведение всех примитивных многочленов степени т над г' равно круго- вому многочлену Я„где е — д — 1 (см, теорему 2.47 (й) и упр. 3.42).
Поэтому все примитивные многочлеиы пад !Г» сте. пени и можно найти, применяя один из алгоритмов разложения (см. гл. 4) к круговому многочлену 1г,, Другой метод опирается на построение какого-либо прими- тивного элемента поля К»~, для которого затем описанными выше, способами вычислнется его минимальный многочлен над К (этот, многочлен и является примитивным). Для нахождения примитив-,' ного элемента поля гч~ берут порядок д — 1 этого элемента в группе К' и разлагают его на множители: д — 1 ==- Ь, „, й»,;; где натуральные числа Й„..., Йд попарно взаимно просты.
Если' ! для каждого Йь 1 41~( л, можно найти элемент а; Г- ~„' по- '„: рядка йы то произведение а =- а, ... ял имеет порядок д — 1: и, следовательно, явлнется примитивным элементом поля !)» . ', 3.44. Пример. Найдем примитивный миогочлен степени 4 над полем Кз. Поскольку 3' — 1 =- 16 5, мы предварительно построим два элемента группы П~ соответственно порядков !6 и 5.
Эле- менты порядка 16 являются корнями кругового многочлена (ств (х) = х + 1 с !Гз [х). Так как показатель, которому при- надлежит число 3 по модулю !6, равен 4, то 1,')зв разлагается на два нормированных неприводимых многочлена степени 4 иэ Гз (х). Далее л + 1 = (х' — 1)' — х' =- (х' — 1 + хз) (х' — 1 — х'), так что миогочлен ) (х) — хв — хв — 1 неприводим иад !1'„и 'гвз = гз (О) для некоторого корня О многочлена 1.
Кроме того 0 — элемент порядка 16 группы гзь Чтобы найги элемент а порядка 5, запишем его в виде а —.= а+ ЬО+ сбв+ дОз с неопределенными коэффициентами а, Ь, с и д из !(з. Так как а'в =- 1 то 1 = аза = (а + ЬО'+ с0'" + д0'-') (а ЬО + сО» + дО') =: = (а — ЬО + сО» — дО') (а —:; ЬО -, 'сОз -! дпз)— = (а + сО')' — (ЬО + д0»)з —— = а' + (2ас — Ь') О' + (св — 2Ьд) 0" — ачО» =- = аз + сз — дз + Ьд -1- (св -Р дз — Ьв — ас -1- Ьд) Ов. 4 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
